Накрывающие преобразования

Если $p : A \to B$ — накрывающее отображение, то гомеоморфизм $T : A \to A$ с $pT = p$ называется накрывающим преобразованием. Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение, $p(a_1) = p(a_2) = b$ и $G_i = p_*(\pi_1(A, a_i)) \subset \pi_1(B, b)$. Пусть $T : A \to A$ — накрывающее преобразование с $T(a_1) = a_2$. Покажите, что $G_1 = G_2$.

Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение с $p(a_1) = p(a_2) = b$. Покажите, что существует накрывающее преобразование $T : A \to A$ с $T(a_1) = a_2$ тогда и только тогда, когда $p_*(\pi_1(A, a_1)) = p_*(\pi_1(A, a_2))$.

Покажите, что множество всех накрывающих преобразований отображения $p : A \to B$ образует группу, которую мы обозначим $G_p$, относительно операции композиции гомеоморфизмов.

Покажите, что если $T_1, T_2$ — накрывающие преобразования с $T_1(a) = T_2(a)$ для некоторого $a \in A$, то $T_1 = T_2$.

Рассмотрим гомеоморфизм $T_n : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $T_n(x) = x + n$, $n \in \mathbb {Z}$. Пусть $p : \mathbb {R} \to S^1$ — стандартное накрывающее отображение $p(t) = e^{2\pi i t}$.

Покажите, что если $T : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — накрывающее преобразование, то $T = T_n$ для некоторого $n$ (упражнение 4.3.5). Заключите, что $G_p \simeq \mathbb {Z}$ для $(\mathbb {R}, p, S^1)$.

Найдите группу накрывающих преобразований накрытия $p : S^2 \to P$, $p(x) = [x]$ (где $P = S^2/x \sim -x$, а $[x]$ обозначает класс эквивалентности точки $x$).

Найдите группу накрывающих преобразований накрытия $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$ (см. упражнение 4.1.3).

Рассмотрим накрывающее пространство для $S^1 \vee S^1$ из упражнения 4.2.8. Покажите, что не существует накрывающего преобразования, переводящего $v_1$ в $v_2$.

Докажите следующую теорему: пусть $p : A \to B$ — накрывающее пространство, $p(a) = b$ и $\pi_1(A, a) \simeq \left\{ e\right\}$. Тогда группа накрывающих преобразований $G_p$ изоморфна фундаментальной группе $\pi_1(B, b)$.

Следуйте плану, приведённому ниже. Определите отображение $r : G_p \to \pi_1(B, b)$ следующим образом. Для $T \in G_p$ пусть $s$ — путь в $A$, соединяющий $a$ и $T(a)$, и пусть $r(T) = [ps]$. Докажите, что $r$ является изоморфизмом, выполнив следующие шаги.

Используя упражнение 4.3.11, приведите другое доказательство для упражнения 4.3.9.

Нормализатор $N(H)$ подгруппы $H \subset G$ — это подгруппа $\left\{ g \in G : gHg^{-1} = H\right\}$. Докажите следующую теорему, обобщающую теорему 4.3.1 (упражнение 4.3.10): существует изоморфизм между группой накрывающих преобразований $G_p$ пространства $p : A \to B$ и фактор-группой $N(H)/H$, где $H = p_*(\pi_1(A, a)) \subset \pi_1(B, b)$.

Покажите, что существует биекция между

и $N(H)/H$ (обозначения как в упражнении 4.3.13).

Группа $G$ гомеоморфизмов пространства $A$ называется собственно разрывной, если для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое, что $g(U)$ не пересекается с $U$ при всех $g \neq e$. Покажите, что если $G$ — собственно разрывная группа гомеоморфизмов, то для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое, что $g_0(U) \cap g_1(U) = \emptyset$ для всех $g_0 \neq g_1 \in G$.

Напомним, что накрывающее пространство $p : A \to B$ называется регулярным, если $p_*(\pi_1(A, a))$ является нормальной подгруппой в $\pi_1(B, b)$; по упражнению 4.3.15 это эквивалентно тому, что группа накрывающих преобразований действует транзитивно на $p^{-1}(b)$. Напомним также, что группа $G$ гомеоморфизмов пространства $A$ называется собственно разрывной (упражнение 4.3.16), если для каждого $a \in A$ существует открытое множество $U$, содержащее $a$, такое что $g(U) \cap U = \emptyset$ при $g \neq e$.

Предположим, что $A$ линейно связно и локально линейно связно, а $G$ — группа гомеоморфизмов пространства $A$. Пусть $A/G$ обозначает факторпространство, образованное из $A$, где $a \sim g(a)$ для $g \in G$.

Докажите следующую теорему (характеризация регулярных накрывающих пространств): предположим, что $p : A \to B$ — регулярное накрывающее пространство (упражнение 4.3.17), и $G$ — его группа накрывающих преобразований. Тогда $p = hq$, где $q : A \to A/G$ — факторнакрывающее пространство, а $h$ — гомеоморфизм, индуцированный $p$ посредством факторконструкции.