Сопряжённые подгруппы $\pi_1$ и эквивалентные накрытия

Покажите, что $p_* : \pi_1(A, a) \to \pi_1(B, b)$ является инъективным (взаимно однозначным). Таким образом, $p_*(\pi_1(A, a))$ — это подгруппа группы $\pi_1(B, b)$, изоморфная $\pi_1(A, a)$.

Объединив идеи упражнений 4.1.21 и 4.2.1, покажите, что $p_*(\pi_1(A, a)) \subset \pi_1(B, b)$ — это подгруппа классов петель $[f]$, для которых поднятие петли до пути $\tilde{f}$ с $\tilde{f}(0) = a$ удовлетворяет условию $\tilde{f}(1) = a$. То есть это подгруппа петель в точке $b$, которые поднимаются до петель в точке $a$.

Две подгруппы $H_1, H_2 \subset G$ называются сопряжёнными, если существует элемент $g \in G$ такой, что $H_1 = g H_2 g^{-1}$; то есть каждый элемент $H_1$ имеет вид $g h g^{-1}$, где $h \in H_2$. Покажите, что сопряжённость является отношением эквивалентности на подгруппах группы $G$.

Докажите следующую теорему: пусть $a_0, a_1$ удовлетворяют $p(a_0) = p(a_1) = b$. Пусть $\alpha$ — путь, соединяющий $a_0$ с $a_1$, с $\alpha (0) = a_0$, $\alpha (1) = a_1$. Пусть $\alpha = p\tilde\alpha$ и $g = [\alpha ] \in \pi_1(B, b)$. Пусть $G_0 = p_*(\pi_1(A, a_0)) \subset \pi_1(B, b)$ и $G_1 = p_*(\pi_1(A, a_1)) \subset \pi_1(B, b)$.

Сопряжённые петли.

Для накрывающего отображения $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$, из упражнения 4.1.3, вычислите $(p_m)_*(\pi_1(S^1, 1))$ и $(p_m)_*(\pi_1(S^1, e^{2\pi i/m}))$. Являются ли они сопряжёнными? Объясните.

Рассмотрим накрывающее пространство $A$ букета двух окружностей $B = S^1_x \vee S^1_y$, которое образовано объединением оси $x$ и оси $y$ вместе с копиями окружности, присоединёнными в каждой ненулевой целой точке $(n, 0)$ и $(0, m)$. Обозначим эти окружности как $S^1_{xn}$ и $S^1_{ym}$. Отображение $p : A \to B$ переводит ось $x$ в окружность $S^1_x$ обычным накрывающим отображением и аналогично переводит ось $y$ в окружность $S^1_y$. Окружность $S^1_{xn}$ отображается посредством отождествления в окружность $S^1_y$, а окружность $S^1_{ym}$ отображается посредством отождествления в окружность $S^1_x$. См. рис. 4.5.

Накрывающее пространство для упражнения 4.2.6.

Рассмотрим двулистное накрывающее пространство $A$ трёх касающихся окружностей над букетом двух окружностей $B$, изображённое на рис. 4.6. Дуги, помеченные $a_i$, накрывают первую окружность, а окружности, помеченные $b_i$, накрывают вторую окружность.

Накрывающее пространство для упражнения 4.2.7.

Покажите, что $G_1 = p_*(\pi_1(A, v_1)) = p_*(\pi_1(A, v_2)) = G_2$.

Рассмотрим накрывающее пространство $A$ букета двух окружностей $B = S^1_a \vee S^1_b$ (с базовой точкой $v$, в которой соединяются обе окружности), изображённое на рисунке 4.7. В этом накрывающем пространстве каждая дуга $a_i$ один раз обходит окружность $S^1_a$ против часовой стрелки, а каждая дуга (или петля) $b_i$ один раз обходит окружность $S^1_b$ против часовой стрелки. Обозначим образующие группы $\pi_1(B, v)$ через $a, b$ — это классы эквивалентности петель, однократно обходящих каждую из окружностей.

Накрывающее пространство к упражнению 4.2.8.

Непрерывное отображение $\tilde{f} : X \to A$ называется поднятием отображения $f : X \to B$, если $p\tilde{f} = f$. Докажите следующую теорему (критерий поднятия): пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение и $p(a) = b$. Пусть $G = p_*(\pi_1(A, a))$. Пусть $X$ — линейно связное, локально линейно связное пространство и $f : (X, x) \to (B, b)$ непрерывно. Существует (единственное) поднятие отображения $f : X \to B$ до $\tilde{f} : X \to A$ с $\tilde{f}(x) = a$ тогда и только тогда, когда

Следуйте приведённому ниже плану.

Пусть $p_i : A_i \to B$ — накрывающие отображения, $p_i(a_i) = b$. Пусть

Тогда существует непрерывное отображение $P : A_1 \to A_2$ с $P(a_1) = a_2$, $p_2 P = p_1$, причём $P$ является накрывающим отображением.

Пусть $f : A \to A$ — непрерывное отображение, являющееся поднятием $p : A \to B$, и $f(a) = a$. Тогда $f$ — тождественное отображение.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — эквивалентные накрывающие пространства с эквивалентностью $h : A_1 \to A_2$ и $h(a_1) = a_2$. Покажите, что $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — накрытия с $p_i(a_i) = b$. Покажите, что если $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$, то эти накрытия эквивалентны посредством эквивалентности $F : A_1 \to A_2$ с $F(a_1) = a_2$.

Объедините упражнения 4.2.10--4.2.13 с теоремой 4.2.1 (упражнение 4.2.4), чтобы доказать следующую характеризацию: два накрытия $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ с $p_i(a_i) = b$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a_1))$ и $(p_2)_*(\pi_1(A_2, a_2))$ являются сопряжёнными подгруппами группы $\pi_1(B, b)$.

Покажите, что существует лишь два накрытия пространства $\mathbb {R} P^2$ с точностью до эквивалентности: одно из них — тождественное накрытие, а другое — $p : S^2 \to \mathbb {R} P^2$.

Пусть $p : A \to B$ — накрытие, $A$ линейно связно и $\pi_1(B, b) = \left\{ e\right\}$. Покажите, что $p$ является гомеоморфизмом.

Пусть $p_1 : A_1 \to B$, $p_2 : A_2 \to B$ — накрывающие отображения, а непрерывное отображение $h : A_1 \to A_2$ удовлетворяет условиям $p_1 = p_2 h$, $(p_1)_*(\pi_1(A_1, a)) = (p_2)_*(\pi_1(A_2, h(a)))$. Покажите, что $h$ — гомеоморфизм, и, следовательно, является эквивалентностью между накрытиями.

Подгруппа $G \subset F$ называется подгруппой индекса $k$, если множество правых смежных классов $Gf$ по $G$ содержит $k$ элементов. Используя упражнение 4.1.15, найдите все классы сопряжённости подгрупп индекса 2 $G$ свободной группы $F_2$.