Основные примеры и свойства

Покажите, что если $p : A \to B$ — накрывающее отображение, а $C$ — линейно связное, локально линейно связное хаусдорфово пространство, то $P : A \times C \to B \times C$, $P(a, c) = (p(a), c)$ является накрывающим отображением.

Покажите, что если $p_1 : A_1 \to B_1$, $p_2 : A_2 \to B_2$ — накрывающие отображения, то таковым же является $P : A_1 \times A_2 \to B_1 \times B_2$, $P(a_1, a_2) = (p_1(a_1), p_2(a_2))$.

Покажите, что $p_m : S^1 \to S^1$, $p_m(z) = z^m$ (комплексное умножение) — или, эквивалентно, $p(\cos x, \sin x) = (\cos mx, \sin mx)$ — является накрывающим отображением.

Покажите, что если $A$ компактно, а $p : A \to B$ — накрывающее отображение, то для любого $b \in B$ множество $p^{-1}(b)$ состоит из конечного числа точек.

Используя контекст упражнения 4.1.4 (что $A$ компактно, а $p : A \to B$ — накрывающее отображение), покажите, что поскольку $B$ предполагается линейно связным, число точек в $p^{-1}(b)$ не зависит от $b$.

Напомним, что порядок накрывающего отображения — это (постоянное) число точек в каждом прообразе $p^{-1}(x)$; когда это число конечно и равно $k$, накрытие называется $k$-листным.

Рассмотрим накрытие $P_{2,1} : T \to T$ из упражнения 4.1.6. На рисунке 4.1(a) изображено это накрытие. Теперь изменим базовое пространство на $T^{(2)}$, используя ту же конструкцию, которая применялась для получения $T$ из $S^2$ (хирургия: удаление двух дисков и замена их цилиндром), а в накрывающем пространстве $T$ проделаем эту хирургию дважды, как показано на рисунке 4.1(b).

Построение накрытия p : T^{(3)} \to T^{(2)}.

Продолжая хирургическую конструкцию из упражнения 4.1.7 и начиная с $P_{m,1}$, но теперь выполняя $n$ хирургий над базовым пространством, постройте $m$-листное накрытие $p : T^{(mn+1)} \to T^{(n+1)}$.

Напомним (из изучения неориентируемых поверхностей), что существуют двулистные накрытия $p : S \to P$ и $p : T \to K$, где $S, T$ — сфера и тор, а $P, K$ — проективная плоскость и бутылка Клейна. Из них можно получить новые накрывающие пространства с помощью хирургии (удаление диска как из накрывающего пространства, так и из базового пространства, согласованным с накрывающим отображением образом, и замена каждого из них ручкой), как в упражнениях 4.1.7-4.1.8. Покажите, что существует двулистное накрытие $p_n : T^{(2n)} \to P^{(2n+1)}$.

Покажите, что существует двулистное накрытие $p_n : T^{(2n+1)} \to P^{(2n+2)}$.

Начнём с $K = S^1 \times S^1 / (z, w) \sim (-z, \overline{w})$ (обычная конструкция бутылки Клейна $K$ как фактора тора). Для нечётного $n$ образуем новое пространство $K_n = S^1 \times S^1 / (z, w) \sim (e^{\pi i/n} z, \overline{w})$; заметим, что при $n = 1$ получается обычная конструкция $K$. Существует естественное отображение из $K$ в $K_n$, индуцированное тождественным отображением $T = S^1 \times S^1$ на себя (оно корректно определено, поскольку $n$ нечётно, так что $(z, w) \sim (-z, \overline{w})$ является частью отношения эквивалентности, задающего $K_n$). Покажите, что $K_n$ гомеоморфно $K$.

Для каждого из конечных накрытий $p : A \to B$ поверхностей, построенных хирургией в упражнениях 4.1.6-4.1.11, проверьте, что имеет место формула

связывающая эйлеровы характеристики $A$ и $B$, где $k$ — порядок накрытия.

Предполагая формулу $\chi (A) = k\chi (B)$ для поверхностей (упражнение 4.1.12), покажите, что единственные поверхности без края, которые могут накрывать сами себя с порядком $k > 1$, — это $T$ (тор) и $K$ (бутылка Клейна).

Пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение конечного порядка $k$ одной поверхности на другую, и пусть дано разбиение $B$ на ручки, в котором каждая ручка лежит в равномерно накрытой окрестности.

Пусть $W$ — букет $S^1_a \vee S^1_b$ двух окружностей, помеченных $a, b$. Накрывающее пространство порядка $2$ можно изобразить, пометив накрытие как $a_1, a_2, b_1, b_2$. На рисунке 4.2 показан один такой пример, в котором каждая окружность $W$ двулистно накрывается одной окружностью.

Двулистное накрытие S^1 \vee S^1.

Существуют ещё два неэквивалентных 2-листных накрывающих пространства для $W$, отличных от изображённого выше. Приведите их изображения.

На рисунке 4.3 показано 3-листное накрытие $W = S^1_a \vee S^1_b$. Рёбра, помеченные $a$, отображаются на одну окружность, а помеченные $b$ — на другую.

Трёхлистное накрытие S^1 \vee S^1.

Приведите изображения двух различных неэквивалентных 3-листных накрывающих пространств для $W$, отличных от изображённого на рисунке 4.3.

Докажите следующую лемму: пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение, и $U \subset B$ — линейно связное открытое множество, которое равномерно накрыто, причём $p^{-1}(U) = \bigcup_i U_i$, и $b \in U$. Пусть $a_i \in U_i$ удовлетворяют $p(a_i) = b$. Если $X$ связно и $f : X \to B$ непрерывно, причём $f(X) \subset U$, $f(x) = b$, то существует единственное поднятие $\tilde{f}_i$ отображения $f$ с $\tilde{f}_i(x) = a_i$. Более того, $\tilde{f}_i(X) \subset U_i$.

Докажите теорему о единственности поднятия пути: пусть $p : A \to B$ — накрывающее отображение с $p(a) = b$. Дан путь $f : I \to B$ с $f(0) = b$; тогда существует единственный путь $\tilde{f} : I \to A$ с $\tilde{f}(0) = a$ и $p\tilde{f} = f$.

Пусть $r : I \to B$ — путь в $B$ с $r(0) = b_1$ и $r(1) = b_2$. Определим отображение из $p^{-1}(b_1)$ в $p^{-1}(b_2)$ следующим образом: для каждого $a \in p^{-1}(b_1)$ пусть $r_a$ — единственное поднятие пути $r$ с $r_a(0) = a$. Затем сопоставим $a$ точку $r_a(1)$. Покажите, что это задаёт биекцию между $p^{-1}(b_1)$ и $p^{-1}(b_2)$.

Докажите следующую теорему: пусть $F : (I \times I, \left\{ 0\right\} \times I, 1 \times I) \to (B, b_1, b_2)$ — гомотопия между $f_0, f_1$, и $p(a) = b_1$.

Используя упражнение 4.1.20, определите отображение из $\pi_1(B, b)$ в $p^{-1}(b)$ следующим образом: сопоставим $[f]$ точку $\tilde{f}(1)$, где $\tilde{f}$ — единственное поднятие пути $f$ с $\tilde{f}(0) = a$.