Сборник задач по алгебре/III · Основные алгебраические структуры

Глава XV

Элементы теории представлений

[190/50%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

69 · Представления групп. Основные понятия

70 · Представления конечных групп

71 · Групповые алгебры и модули над ними

72 · Характеры представлений

73 · Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп

69 · Представления групп. Основные понятия[31/42%]

Задача 69.1

Доказать, что отображение $\rho : \mathbb {Z} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ , при котором

\rho (n)=\left[\begin{smallmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad n \in \mathbb {Z},

является приводимым двумерным комплексным представлением группы $\mathbb {Z}$ и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.2

Доказать, что отображение $\rho :\langle a\rangle_{p} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}\left(\mathbb {F}_{p}\right)$ ( $p$ — простое число), при котором

\rho \left(a^{k}\right)=\left[\begin{smallmatrix} 1 & k \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],

является приводимым двумерным представлением циклической группы $\langle a\rangle_{p}$ и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.3

Пусть $A \in \mathbf{G L}_{n}(\mathbb {C})$ . Доказать, что отображение $\rho_{A}: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$ , при котором $\rho_{A}(n)=A^{n}$ , является представлением группы $\mathbb {Z}$ и представления $\rho_{A}$ и $\rho_{B}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда жордановы нормальные формы матриц $A$ и $B$ совпадают (с точностью до порядка клеток).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.4

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Будет ли линейным представлением группы $\mathbb {R}$ в пространстве $C(\mathbb {R})$ непрерывных функций на вещественной прямой отображение $L$ , определяемое по формулам:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$(L(t) f)(x)=f(x-t)$ ;

(б)

$(L(t) f)(x)=f(t x)$ ;

(в)

$(L(t) f)(x)=f\left(e^{t} x\right)$ ;

(г)

$(L(t) f)(x)=e^{t} f(x)$ ;

(д)

$(L(t) f)(x)=f(x)+t$ ;

(е)

$(L(t) f)(x)=e^{t} f(x+t)$ ?

Задача 69.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)

Какие из подпространств в $C(\mathbb {R})$ инвариантны относительно линейного представления $L$ из задачи 69.4, а):

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

подпространство бесконечно дифференцируемых функций;

(б)

подпространство многочленов;

(в)

подпространство многочленов степени $\leqslant n$ ;

(г)

подпространство чётных функций;

(д)

подпространство нечётных функций;

(е)

линейная оболочка функций $\sin x$ и $\cos x$ ;

(ж)

подпространство многочленов от $\cos x$ и $\sin x$ ;

(з)

линейная оболочка функций $\cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x$ ;

(и)

линейная оболочка функций $e^{c_{1} t}, e^{c_{2} t}, \ldots , e^{c_{n} t}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}$ — различные фиксированные вещественные числа?

Задача 69.6

Найти подпространства пространства многочленов, инвариантные относительно представления $L$ из задачи 69.4а.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.7

Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления $L$ из задачи 69.5 на подпространство многочленов степени $\leqslant 2$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.8

Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления $L$ из задачи 69.5 на линейную оболочку функций $\sin x$ и $\cos x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.9

(а)(б)(в)

Доказать, что каждая из следующих формул определяет линейное представление группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$ в пространстве $\mathbf{M}_{n}(F)$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\Lambda (A) \cdot X=A X$ ;

(б)

$\operatorname {Ad}(A) \cdot X=A X A^{-1}$ ;

(в)

$\Phi (A) \cdot X=A X^{t} A$ .

Задача 69.10

Доказать, что линейное представление $\Lambda$ (см. задачу 69.9, а)) вполне приводимо и его инвариантные подпространства совпадают с левыми идеалами алгебры $\mathbf{M}_{n}(K)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.11

Доказать, что если char $F$ не делит $n$ , то линейное представление Ad (см. задачу 69.9, б)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространство матриц с нулевым следом и пространство скалярных матриц.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.12

Доказать, что если char $F \neq 2$ , то линейное представление $\Phi$ (см. задачу 69.9, в)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространства симметрических и кососимметрических матриц.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.13

Пусть $V$ — двумерное пространство над полем $F$ . Показать, что существуют представления $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ группы $\mathbf{S}_{3}$ на $V$ , для которых в некотором базисе пространства $V$ будут выполнены соотношения

\begin{array}{ll} \rho _{1}\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \end{array}

= 0 1 1 0 , _1 1 2 3 = 0 -1 1 -1 _2 1 2 = 0 1 1 0 , _2 1 2 3 = 0 1 -1 -1 .

Доказать, что эти представления изоморфны тогда и только тогда, когда $\operatorname {char} F \neq 3$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.14

Пусть $V$ — двумерное векторное пространство над полем $F$ . Показать, что существуют два представления $\rho_{1}, \rho_{2}$ группы

\mathbf{D}_{4}= \left\langle a, b \mid a^{4}=b^{2}=(a b)^{2}=1\right\rangle

на $V$ , для которых в некотором базисе пространства $V$ будут выполнены соотношения

\begin{array}{ll} \rho _{1}(a)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}

, _1(b)= 0 1 1 0 _2(a)= 0 1 -1 0 , _2(b)= 1 0 0 -1

Будут ли эти представления эквивалентны?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.15

Пусть $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — представления групп $\mathbf{S}_{3}$ и $\mathbf{D}_{4}$ из задач 69.13 и 69.14. Будут ли эти представления неприводимы?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.16

(а)(б)(в)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ . Зададим отображение $\psi : \mathbf{S}_{n} \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , полагая

\psi _{\sigma }\left(e_{i}\right)=e_{\sigma (i)}

где $\sigma \in \mathbf{S}_{n}, i=1, \ldots , n$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\psi$ — представление группы $\mathbf{S}_{n}$ ;

(б)

подпространство $W$ векторов, сумма координат которых относительно базиса $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ равна нулю, и подпространство $U$ векторов с равными координатами инвариантны относительно представления $\psi$ ;

(в)

если $\operatorname {char} F$ не делит $n$ , то ограничение представления $\psi$ на $W$ неприводимое $(n-1)$ -мерное представление группы $\mathbf{S}_{n}$ .

Задача 69.17

Пусть $P_{n, m}$ — подпространство однородных многочленов степени $m$ в алгебре $F\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ и $\operatorname {char} F=0$ . Определим отображение $\Theta : \mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F) \rightarrow \mathbf{G L}\left(P_{n, m}\right)$ , полагая для $f \in P_{n, m}$ и $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{G L}_{n}(F)$ :

\left(\Theta _{A} f\right)\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=f\left(\sum _{i=1}^{n} x_{i} a_{i 1}, \ldots , \sum _{i=1}^{n} x_{i} a_{i n}\right)

Доказать, что $\Theta$ — неприводимое представление группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$ на пространстве $P_{n, m}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.18

Пусть задано $n$ -мерное пространство $V$ над полем $F$ нулевой характеристики. Определим отображение $\theta : \mathbf{G L}(V) \rightarrow \mathbf{G L}\left(\Lambda^{m} V\right)$ , полагая

\theta (f)\left(x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{m}\right)=\left(f x_{1}\right) \wedge \ldots \wedge \left(f x_{m}\right)

где $x_{1}, \ldots , x_{m} \in V$ и $f \in \mathbf{G} \mathbf{L}(V)$ . Доказать, что $\theta$ — неприводимое представление группы $\mathbf{G L}(V)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.19

(а)(б)

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

для любого представления $\rho$ группы $G$ существует представление $\rho^{\otimes m}$ группы $G$ на пространстве

V^{\otimes m}=\underset {m}{\rightarrow } \underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}

$m$ раз контравариантных тензоров на пространстве $V$ такое, что

\rho ^{\otimes m}(g)\left(v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{m}\right)=\left(\rho (g) v_{1}\right) \otimes \ldots \otimes \left(\rho (g) v_{m}\right)

при любых $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V, g \in G$ ;

(б)

подпространства симметрических и кососимметрических тензоров являются инвариантными подпространствами для представления $\rho^{\otimes m}$ . Найти размерности этих подпространств, если $\operatorname {dim} V=n$ .

Задача 69.20

Пусть задано представление $\Phi : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ над полем $F$ и гомоморфизм $\xi : G \rightarrow F^{*}$ . Рассмотрим отображение $\Phi_{\xi }: G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , заданное по правилу $\Phi_{\xi }(g)=\xi (g) \Phi (g), g \in G$ . Доказать, что $\Phi_{\xi }$ - представление группы $G$ . Оно неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо представление $\Phi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.21

Пусть $\Phi$ — комплексное представление конечной группы $G$ . Доказать, что каждый оператор $\Phi_{g}, g \in G$ , диагонализируем.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.22

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — конечномерное представление группы $G$ над полем $F$ . Доказать, что в $V$ существует базис, в котором для любого $g \in G$ матрица $\rho (g)$ имеет клеточно-верхнетреугольный вид

\rho (g)=\left[\begin{smallmatrix} \rho _{1}(g) & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \rho _{m}(g) \end{smallmatrix}\right]

где $\rho_{i}$ — неприводимые представления группы $G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.23

(а)(б)(в)

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — конечномерное представление группы $G$ и в $V$ существует базис $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ , в котором для любого $g \in G$ матрица $\rho (g)$ имеет клеточно-верхнетреугольный вид из задачи 69.22, где размер $d_{i}$ квадратной матрицы $\rho_{i}(g)$ не зависит от $g$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

линейная оболочка $V_{i}$ векторов $e_{d_{1}+\ldots +d_{i-1}+1}, \ldots , e_{d_{1}+\ldots +d_{i}}$ является $G$ -инвариантным подпространством $(1 \leqslant i \leqslant m)$ ;

(б)

отображение $g \mapsto \rho_{i}(g)$ является матричным представлением группы $G$ ;

(в)

линейное представление группы $G$ , соответствующее этому матричному представлению, изоморфно представлению, возникающему на факторпространстве $V_{i} / V_{i-1}$ (по определению $V_{0}=0$ ).

Задача 69.24

(а)(б)(в)

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — представление группы $G$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

для любого $v \in V$ линейная оболочка $\langle \rho (g) v \mid g \in G\rangle$ является инвариантным подпространством для представления $\rho$ ;

(б)

любой вектор из $V$ лежит в некотором инвариантном подпространстве размерности $\leqslant \left|G\right|$ .

(в)

минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор $v \in V$ , совпадает с $\langle \rho (g) v \mid g \in G\rangle$ .

Задача 69.25

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — представление группы $G$ и $H$ подгруппа в $G,[G: H]=k<\infty$ . Доказать, что если подпространство $U$ инвариантно относительно ограничения представления $\rho$ на подгруппу $H$ , то размерность минимального подпространства, содержащего $U$ , инвариантного относительно представления $\rho$ , не превосходит $k \cdot \operatorname {dim} U$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.26

(а)(б)(в)(г)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {C}$ с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ . Определим в $V$ представление $\Phi$ циклической группы $\langle a\rangle_{n}$ , полагая $\Phi (a)\left(e_{i}\right)=e_{i+1}$ при $i<n$ и $\Phi (a)\left(e_{n}\right)=e_{1}$ . При $n=2 m$ найти размерность минимального инвариантного подпространства, содержащего векторы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$e_{1}+e_{m+1}$ ;

(б)

$e_{1}+e_{3}+\ldots +e_{2 m-1}$ ;

(в)

$e_{1}-e_{2}+e_{3}-\ldots -e_{2 m}$ ;

(г)

$e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{m}$ .

Задача 69.27

Доказать, что у любого множества попарно коммутирующих операторов на конечномерном комплексном векторном пространстве $V$ есть общий собственный вектор.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.28

Доказать, что всякое неприводимое представление абелевой группы на конечномерном векторном пространстве над полем $\mathbb {C}$ одномерно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.29

Пусть $G=\langle a\rangle_{p} \times \langle b\rangle_{p}$ , где $p$ — простое число и $K$ — поле характеристики $p$ . Предположим, что $V$ — векторное пространство над $K$ с базисом $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}, y_{1}, \ldots , y_{n}$ . Зададим отображение $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , полагая

\begin{aligned} & \rho (a) x_{i}=\rho (b) x_{i}=x_{i}, \quad 0 \leqslant i \leqslant n, \\ & \rho (a) y_{i}=x_{i}+y_{i}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n ; \\ & \rho (b) y_{i}=y_{i}+x_{i-1}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n. \end{aligned}

Доказать, что $\rho$ продолжается до представления группы $G$ . Проверить, что это представление неразложимо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.30

Доказать, что неприводимые комплексные представления группы $\mathbf{U}_{p^{\infty }}$ взаимно однозначно соответствуют последовательностям $\left(a_{n}\right)$ натуральных чисел таким, что

0 \leqslant a_{n} \leqslant p^{n}-1, \quad a_{n} \equiv a_{n+1} \quad \left(\bmod p^{n}\right)

при всех $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 69.31

Доказать, что неприводимые комплексные представления группы $\mathbb {Q} / \mathbb {Z}$ взаимно однозначно соответствуют последовательностям натуральных чисел $\left(a_{n}\right)$ таким, что

0 \leqslant a_{n} \leqslant n-1, \quad a_{n} \equiv a_{m} \quad (\bmod n),

если $n$ делит $m$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

70 · Представления конечных групп[52/37%]

Задача 70.1

Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — два перестановочных оператора на конечномерном векторном пространстве $V$ над $\mathbb {C}$ и $\mathcal{A}^{m}=\mathcal{B}^{n}=\mathcal{E}$ для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$ . Доказать, что пространство $V$ распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ подпространств.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)

Перечислить все неприводимые комплексные представления групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\langle a\rangle_{2}$ ;

(б)

$\langle a\rangle_{4}$ ;

(в)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$ ;

(г)

$\langle a\rangle_{6}$ ;

(д)

$\langle a\rangle_{8}$ ;

(е)

$\langle a\rangle_{4} \times \langle b\rangle_{2}$ ;

(ж)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2} \times \langle c\rangle_{2}$ ;

(з)

$\langle a\rangle_{6} \times \langle b\rangle_{3}$ ;

(и)

$\langle a\rangle_{9} \times \langle b\rangle_{27}$ .

Задача 70.3

(а)(б)(в)(г)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F, \mathcal{A} \in \mathbf{G L}(V)$ и $\mathcal{A}^{n}=\mathcal{E}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что соответствие $a^{k} \mapsto \mathcal{A}^{k}$ определяет представление циклической группы $\langle a\rangle_{n}$ на пространстве $V$ .

(б)

Найти все инвариантные подпространства этого представления в случаях:

n=4, \quad \mathcal{A}=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right] ; \quad n=6, \quad \mathcal{A}=\left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{smallmatrix}\right].

(в)

Пусть $F=\mathbb {C}$ и в $V$ имеется такой базис $e_{0}, e_{1}, \ldots , e_{n-1}$ , что

\mathcal{A}\left(e_{i}\right)= \begin{cases} e_{i+1}, & \text{ если } i<n-1, \\ e_{0}, & \text{ если } i=n-1. \end{cases}

Разложить это представление в прямую сумму неприводимых.

(г)

Доказать, что представление из в) изоморфно регулярному представлению группы $\langle a\rangle_{n}$ .

Задача 70.4

(а)(б)(в)

Разложить в прямую сумму одномерных представлений регулярное представление группы:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$ ;

(б)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{3} ;$

(в)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{4}$ .

Задача 70.5

(а)(б)

Пусть $H=\langle a\rangle_{3}$ — циклическая подгруппа группы $G, \Phi$ регулярное представление группы $G$ и $\Psi$ — его ограничение на $H$ . Найти кратность каждого неприводимого представления группы $H$ в разложении представления $\Psi$ в сумму неприводимых:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\langle b\rangle_{6}, \quad a=b^{2} ;$

(б)

$G=\mathbf{S}_{3}, \quad a=(1,2,3)$ .

Задача 70.6

Найти все неизоморфные одномерные вещественные представления группы $\langle a\rangle_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.7

Доказать, что неприводимое вещественное представление циклической группы имеет размерность не более двух.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.8

(а)(б)(в)

Пусть $\rho_{k}:\langle a\rangle_{n} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {R})$ — представление, для которого

\rho _{k}(a)=\left[\begin{smallmatrix} \cos \frac{2 \pi k}{n} & -\sin \frac{2 \pi k}{n} \\ \sin \frac{2 \pi k}{n} & \cos \frac{2 \pi k}{n} \end{smallmatrix}\right], \quad 0<k<n

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

представление $\rho_{k}$ неприводимо, если $k \neq n / 2$ ;

(б)

представления $\rho_{k}$ и $\rho_{k^{\prime }}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $k=k^{\prime }$ или $k+k^{\prime }=n$ ;

(в)

любое двумерное вещественное неприводимое представление группы $\langle a\rangle_{n}$ эквивалентно представлению $\rho_{k}$ для некоторого $k$ .

Задача 70.9

(а)(б)

Найти число неэквивалентных неприводимых вещественных представлений:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

группы $\mathbf{Z}_{n}$ ;

(б)

всех абелевых групп порядка 8.

Задача 70.10

(а)(б)(в)

Найти число неэквивалентных двумерных комплексных представлений групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbf{Z}_{2}$ ,

(б)

$\mathbf{Z}_{4}$ ,

(в)

$\mathbf{Z}_{2} \oplus \mathbf{Z}_{2}$ .

Задача 70.11

Пусть $G$ — абелева группа порядка $n$ . Доказать, что число неэквивалентных $k$ -мерных комплексных представлений группы $G$ равно коэффициенту при $t^{k}$ ряда $(1-t)^{-n}$ . Найти этот коэффициент.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.12

Доказать, что ядро одномерного представления группы $G$ содержит коммутант этой группы.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.13

Пусть $\rho$ — представление группы $G$ в пространстве $V$ и в $V$ существует базис, в котором все операторы $\rho (g)(g \in G)$ диагональны. Доказать, что $\operatorname {Ker} \rho \supseteq G^{\prime }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.14

Доказать, что все неприводимые комплексные представления конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.15

Найти все неизоморфные одномерные комплексные представления групп $\mathbf{S}_{3}$ и $\mathbf{A}_{4}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.16

Найти все одномерные комплексные представления групп $\mathbf{S}_{n}$ и $\mathbf{D}_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.17

Построить неприводимое двумерное комплексное представление группы $\mathbf{S}_{3}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.18

Используя гомоморфизм группы $\mathbf{S}_{4}$ на группу $\mathbf{S}_{3}$ , построить неприводимое двумерное комплексное представление группы $\mathbf{S}_{4}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.19

(а)(б)

Используя изоморфизм групп перестановок и соответствующих групп движений куба и тетраэдра (см. 57.13), построить:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

два неприводимых трехмерных матричных комплексных представления группы $\mathbf{S}_{4}$ ;

(б)

неприводимое трехмерное представление группы $\mathbf{A}_{4}$ .

Задача 70.20

Доказать, что если $\varepsilon$ — корень степени $n$ из 1, то отображение

a \mapsto \left[\begin{smallmatrix} \varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon ^{-1} \end{smallmatrix}\right], \quad b \mapsto \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right]

продолжается до представления $\rho_{\varepsilon }$ группы $\mathbf{D}_{n}$ . Является ли оно неприводимым при $\varepsilon \neq \pm 1$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.21

Пусть $\rho_{\varepsilon }$ и $\rho_{\varepsilon^{\prime }}$ — неприводимые двумерные комплексные группы представления $\mathbf{D}_{n}$ из задачи 70.20. Доказать, что $\rho_{\varepsilon }$ и $\rho_{\varepsilon^{\prime }}$ изоморфны тогда и только тогда, когда $\varepsilon^{\prime }=\varepsilon^{ \pm 1}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.22

Пусть $\rho$ — неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{D}_{n}$ . Доказать, что $\rho$ изоморфно $\rho_{\varepsilon }$ для некоторого $\varepsilon$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.23

Пусть $\rho$ — естественное двумерное вещественное представление $\mathbf{D}_{n}$ в виде преобразований, составляющих правильный $n$ -угольник. Найти такое $\varepsilon$ , что $\rho$ изоморфно $\rho_{\varepsilon }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.24

Используя реализацию кватернионов в виде комплексных матриц порядка 2 (см. задачу 58.11, в)), построить двумерное комплексное представление группы $\mathbf{Q}_{8}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.25

(а)(б)

Пусть группа $G$ имеет точное приводимое двумерное представление.

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

коммутант группы $G^{\prime }$ — абелева группа;

(б)

если $G$ конечна и основное поле имеет характеристику 0, то $G$ коммутативна.

Задача 70.26

Доказать, что точное двумерное комплексное представление конечной некоммутативной группы неприводимо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.27

Пусть $G$ — конечная группа, $\rho$ — её конечномерное комплексное представление и в некотором базисе матрицы всех операторов $\rho (g)(g \in G)$ верхнетреугольные. Доказать, что $\operatorname {Ker}(\rho ) \supseteq G^{\prime }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.28

Доказать, что если в задачах 69.22, 69.23 основное поле является полем комплексных чисел и группа $G$ конечна, то представление $\rho$ эквивалентно прямой сумме представлений $\rho_{1}, \ldots , \rho_{m}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.29

Доказать, что если в задаче 69.22 основное поле является полем комплексных чисел и группа $G$ конечна, то существует такая невырожденная матрица $C$ , что для всех $g \in G$

C^{-1} \rho (g) C=\left[\begin{smallmatrix} \rho _{1}(g) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \rho _{m}(g) \end{smallmatrix}\right]

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.30

Пусть $G$ — конечная группа порядка $n, \rho$ — её регулярное представление. Доказать, что

\operatorname {tr} \rho (g)= \begin{cases} 0, & g \neq 1 \\ n, & g=1 \end{cases}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.31

Доказать, что для любого неединичного элемента конечной группы существует неприводимое комплексное представление, переводящее его в неединичный оператор.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.32

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы в конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$ характеристики 0 и $\mathcal{A}^{3}=\mathcal{B}^{2}=\mathcal{E}$ , $\mathcal{A B}=\mathcal{B} \mathcal{A}^{2}$ .

Доказать, что для всякого подпространства $U$ , инвариантного относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ , существует подпространство $W$ , инвариантное относительно $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и такое, что $V=U \oplus W$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.33

(а)(б)

Найти все неэквивалентные двумерные комплексные представления групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbf{A}_{4}$ ;

(б)

$S_{3}$ .

Задача 70.34

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$S_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{A}_{4}$ ;

(в)

$\mathrm{S}_{4}$ ;

(г)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(д)

$\mathbf{D}_{n}$ ;

(е)

$\mathbf{A}_{5}$ .

Задача 70.35

(а)(б)(в)(г)

Сколько прямых слагаемых в разложении на неприводимые компоненты регулярного представления следующих групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbf{Z}_{3}$ ;

(б)

$S_{3}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(г)

$\mathbf{A}_{4}$ ?

Задача 70.36

С помощью теории представлений доказать, что группа порядка 24 не может совпадать со своим коммутантом.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.37

(а)(б)(в)

Могут ли неприводимые комплексные представления конечной группы исчерпываться:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

тремя одномерными и четырьмя двумерными;

(б)

двумя одномерными и двумя пятимерными;

(в)

пятью одномерными и одним пятимерным?

Задача 70.38

Доказать, что в группе $\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ нет подгруппы, изоморфной $\mathbf{S}_{4}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.39

Доказать существование двумерного инвариантного подпространства в любом восьмимерном комплексном представлении группы $\mathbf{S}_{4}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.40

Доказать существование одномерного инвариантного подпространства в любом пятимерном представлении группы $\mathbf{A}_{4}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.41

Доказать, что число неприводимых представлений группы $G$ строго больше числа неприводимых представлений любой её факторгруппы по нетривиальной нормальной подгруппе.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.42

Для каких конечных групп регулярное представление над полем $\mathbb {C}$ содержит лишь конечное число подпредставлений?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.43

Доказать, что любое неприводимое представление конечной $p$ -группы над полем характеристики $p$ единично.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.44

Пусть $G$ — конечная $p$ -группа и $\rho$ — её представление в конечномерном пространстве $V$ над полем характеристики $p$ . Доказать, что в $V$ существует такой базис, что для любого $g \in G$ матрица оператора $\rho (g)$ верхняя унитреугольная.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.45

Пусть $H$ — нормальная подгруппа в конечной группе $G$ . Доказать, что размерность любого неприводимого представления группы $G$ над полем $F$ не превосходит $[G: H] m$ , где $m$ — наибольшая размерность неприводимого представления группы $H$ над полем $F$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.46

Доказать, что в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$ существует лишь конечное число попарно несопряжённых подгрупп фиксированного конечного порядка.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.47

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}_{3}(\mathbb {R})$ — неприводимое трехмерное вещественное представление конечной группы $G$ и представление $\widetilde{\rho }: G \rightarrow \mathbf{G} \mathbf{L}_{3}(\mathbb {C})$ получается как композиция отображения $\rho$ со стандартным вложением $\mathbf{G L}_{3}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbf{G L}_{3}(\mathbb {C})$ . Доказать, что представление $\widetilde{\rho }$ неприводимо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.48

Доказать, что всякое неприводимое неодномерное комплексное представление группы порядка $p^{3}$ является точным.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.49

Найти число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка $p^{3}$ и их размерности.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.50

Вещественное представление $\Phi$ циклической группы $\langle a\rangle$ порядка 4, при котором

\Phi (a)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]

разложить в прямую сумму неприводимых.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.51

Рассмотрим вещественное трехмерное представление группы $G=\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$ , где

\Phi (a)=\left[\begin{smallmatrix} 5 & -4 & 0 \\ 6 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Phi (b)=-E.

Разложить $\Phi$ в прямую сумму неприводимых представлений.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 70.52

Рассмотрим двумерное комплексное представление $\Phi$ группы $G=\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$ , где

\Phi (a)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right], \quad \Phi (b)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right]

Разложить $\Phi$ в прямую сумму неприводимых представлений.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

71 · Групповые алгебры и модули над ними[50/42%]

Задача 71.1

(а)(б)

Является ли алгебра кватернионов вещественной групповой алгеброй:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

группы кватернионов;

(б)

какой-либо группы?

Задача 71.2

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ с базисом $\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right), \varphi : F\left[\mathbf{S}_{3}\right] \rightarrow \operatorname {End} V$ — гомоморфизм, где $\varphi (\sigma )\left(e_{i}\right)=e_{\sigma (i)}$ для всех $\sigma \in \mathbf{S}_{3}(i=1,2,3)$ . Найти размерность ядра и размерность образа гомоморфизма $\varphi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.3

Найти базис ядра гомоморфизма $\varphi : \mathbb {C}\left(\langle a\rangle_{n}\right) \rightarrow \mathbb {C}$ , при котором $\varphi (a)=\varepsilon$ , где $\varepsilon$ — корень степени $n$ из 1.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.4

Пусть группа $H$ изоморфна факторгруппе группы $G$ . Доказать, что $F[H]$ изоморфна факторалгебре алгебры $F[G]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.5

Пусть $G=G_{1} \times G_{2}$ . Доказать, что в

F[G] \simeq F\left[G_{1}\right] \otimes F\left[G_{2}\right]

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.6

Пусть $G$ — конечная группа, $R$ — множество отображений из $G$ в поле $F$ . Определим на $R$ операции, полагая для $f_{1}, f_{2} \in R$

\begin{gathered} \left(\alpha f_{1}+\beta f_{2}\right)(g)=\alpha f_{1}(g)+\beta f_{2}(g) \\ \left(f_{1} f_{2}\right)(g)=\sum _{h \in G} f_{1}(h) f_{2}\left(h^{-1} g\right) \end{gathered}

Доказать, что $R$ — алгебра над полем $F$ и отображение

f \mapsto \sum _{g \in G} f(g) g

из $R$ в $F[G]$ — изоморфизм алгебр.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.7

Доказать, что если группа $G$ содержит элементы конечного порядка, то групповая алгебра $F[G]$ имеет делители нуля.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.8

Доказать, что всякий неприводимый $F[G]$ -модуль изоморфен фактормодулю регулярного $F[G]$ -модуля.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.9

(а)(б)(в)

Найти все коммутативные двусторонние идеалы групповой алгебры $\mathbb {C}\left[G\right]$ для:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\mathrm{S}_{3}$ ;

(б)

$G=\mathbf{Q}_{8}$ ;

(в)

$G=\mathbf{D}_{5}$ .

Задача 71.10

Найти все элементы $x$ групповой алгебры $F[G]$ , удовлетворяющие условию $x g=x$ при любом $g \in G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.11

(а)(б)(в)

Найти базис центра групповой алгебры групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$S_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(в)

$\mathbf{A}_{4}$ .

Задача 71.12

Доказать, что в групповой алгебре $A$ свободной абелевой группы ранга $r$ нет делителей нуля. Поле частных для $A$ изоморфно полю рациональных дробей от $r$ переменных.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.13

Пусть $A$ — кольцо, $V$ - $A$ -модуль и $V=U \oplus W$ , причём $U$ — неприводимый модуль и в $W$ нет подмодулей, изоморфных $U$ . Доказать, что если $\alpha$ — автоморфизм модуля $V$ , то $\alpha (U)=U$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.14

Пусть $A$ — кольцо, $A$ -модуль $V$ разложен в прямую сумму подмодулей $V=U \oplus W, \varphi : U \rightarrow W$ — гомоморфизм $A$ -модулей. Доказать, что $U_{1}=\left\{ x+\varphi (x) \mid x \in U\right\}$ есть $A$ -подмодуль в $V$ , изоморфный $U$ , и $V=U_{1} \oplus W$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.15

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $A$ -модуль $V$ разлагается в прямую сумму попарно неизоморфных неприводимых $A$ -модулей: $V=V_{1} \oplus \ldots \oplus V_{k}$ . Найти группу автоморфизмов модуля $V$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.16

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $A$ модуль $V$ есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых $A$ -модулей. Доказать, что группа автоморфизмов $A$ -модуля $V$ изоморфна $\mathbf{G} \mathbf{L}_{2}(\mathbb {C})$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.17

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $V-A$ -модуль, конечномерный над $\mathbb {C}$ . Доказать, что $V$ имеет конечное число $A$ -подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых $A$ -модулей.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.18

Пусть $G$ — конечная группа, $F$ — поле характеристики 0 и групповая алгебра $A=F[G]$ рассматривается как левый модуль над собой. Доказать, что для любого его подмодуля $U$ и гомоморфизма $A$ -модулей $\varphi : U \rightarrow A$ существует такой элемент $a \in A$ , что $\varphi (u)=u a$ для всех $u \in U$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.19

Для каких конечных групп комплексная групповая алгебра является простой?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.20

Пусть $A=F[G]$ ( $F$ — поле), $G$ — конечная группа порядка $n>1$ , и для $n \cdot 1 \neq 0$ положим

e_{1}=(n \cdot 1)^{-1} \sum _{g \in G} g, e_{2}=1-e_{1}

Доказать, что $A e_{1}$ и $A e_{2}$ — собственные двусторонние идеалы и $A=A e_{1} \oplus A e_{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.21

Доказать, что равенство

x y=f(x, y) \cdot 1+\sum _{g \in G \backslash \left\{ 1\right\} } \alpha _{g} \cdot g, \quad \alpha _{g} \in F

в групповой алгебре $F[G]$ задает на пространстве $F[G]$ симметрическую билинейную функцию и ядро этой функции $f$ — двусторонний идеал в $F[G]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.22

(а)(б)(в)(г)

Пусть $G$ — конечная группа, $f$ — билинейная функция на $\mathbb {R}\left[G\right]$ , определенная в задаче 71.21. Доказать, что $f$ невырождена, и найти сигнатуру функции $f$ для групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbf{Z}_{2}$ ;

(б)

$\mathbf{Z}_{3}$ ;

(в)

$\mathbf{Z}_{4}$ ;

(г)

$\mathbf{Z}_{2} \oplus \mathbf{Z}_{2}$ .

Задача 71.23

Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ и $\omega (H)$ — левый идеал в $F[G]$ , минимальный среди левых идеалов, содержащих $\left\{ h-1 \mid h \in H\right\}$ . Доказать, что если $H$ — нормальная подгруппа, то идеал $\omega (H)$ двусторонний.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.24

Разложить в прямую сумму полей групповые алгебры группы $\langle a\rangle_{3}$ над полями вещественных и комплексных чисел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.25

Доказать, что $\mathbb {Q}\left[\langle a\rangle_{p}\right]$ ( $p$ — простое число) есть прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из которых изоморфен $\mathbb {Q}$ , а другой $\mathbb {Q}(\varepsilon )$ , где $\varepsilon$ — первообразный корень степени $p$ из 1.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.26

Пусть $G$ — конечная группа, $\operatorname {char} F$ не делит $\left|G\right|, I$ — идеал в $F[G]$ . Доказать, что $I^{2}=I$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.27

(а)(б)(в)(г)

Найти идемпотенты и минимальные идеалы в кольцах:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbb {F}_{3}\left[\langle a\rangle_{2}\right]$ ;

(б)

$\mathbb {F}_{2}\left[\langle a\rangle_{2}\right] ;$

(в)

$\mathbb {C}\left[\langle a\rangle_{2}\right] ;$

(г)

$\mathbb {R}\left[\langle a\rangle_{3}\right]$ .

Задача 71.28

Пусть $G$ — конечная группа. Доказать, что при любом $a \in \mathbb {C}\left[G\right]$ уравнение $a=a x a$ разрешимо в $\mathbb {C}\left[G\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.29

(а)(б)

Сколько различных двусторонних идеалов в алгебре:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbb {C}\left[\mathbf{S}_{3}\right]$ ;

(б)

$\mathbb {C}\left[\mathbf{Q}_{8}\right]$ ?

Задача 71.30

(а)(б)(в)

Для каких конечных групп $G$ групповая алгебра $\mathbb {C}\left[G\right]$ является прямой суммой $n$ матричных алгебр, если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$n = 1$ ;

(б)

$n = 2$ ;

(в)

$n = 3$ ?

Задача 71.31

Пусть $G$ — группа, $A$ — алгебра над полем $F$ с единицей, $\varphi$ — гомоморфизм $G \rightarrow A^{*}$ . Доказать, что существует единственный гомоморфизм $F[G] \rightarrow A$ , ограничение которого на $G$ совпадает с $\varphi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.32

Доказать, что если char $F$ не делит порядка конечной группы $G$ , то любой двусторонний идеал групповой алгебры $F[G]$ является кольцом с единицей. Верно ли это утверждение для произвольных алгебр с единицей?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.33

Пусть $F$ — поле характеристики $p>0, p$ делит порядок конечной группы $G$ и

u=\sum _{g \in G} g \in F[G]

Доказать, что $F[G] u$ — подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющийся прямым слагаемым.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.34

Пусть $G=\langle a\rangle_{p}, F$ — поле характеристики $p, \Phi : G \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(F)$ , где

\Phi \left(a^{s}\right)=\left[\begin{smallmatrix} 1 & s \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]

— представление группы $G$ . Указать такой $F[G]$ подмодуль $U$ регулярного представления $V=F[G]$ , что представление $G$ на $V / U$ изоморфно $\Phi$ . При каких $p$ представление $\Phi$ изоморфно регулярному представлению?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.35

Доказать, что алгебра $\mathbb {F}_{2}\left[\langle a\rangle_{2}\right]$ не является прямой суммой минимальных левых идеалов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.36

(а)(б)

Пусть $H-p$ -группа, являющаяся нормальной подгруппой в конечной группе $G, F$ — поле характеристики $p$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что идеал $\omega (H)$ из задачи 71.23 нильпотентен.

(б)

Найти индекс нильпотентности идеала $\omega (H)$ при $G=\langle a\rangle_{2}$ , $H=\langle a\rangle_{2}, F=\mathbb {F}_{2}$ .

Задача 71.37

Доказать, что все идеалы групповой алгебры бесконечной циклической группы главные.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.38

Доказать, что циклический модуль над алгеброй $F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$ либо конечномерен над $F$ , либо изоморфен левому регулярному $F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$ -модулю.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.39

(а)(б)(в)

Пусть $A=\mathbb {C}\left[\langle g\rangle_{\infty }\right], P=A x_{1} \oplus A x_{2}$ — свободный $A$ -модуль с базисом $\left(x_{1}, x_{2}\right), H$ — подмодуль, порожденный в $P$ элементами $h_{1}, h_{2}$ . Разложить $P / H$ в прямую сумму циклических $A$ -модулей и найти их размерности, если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$h_{1}=g x_{1}+x_{2}, \quad h_{2}=x_{1}-(g+1) x_{2}$ ;

(б)

$h_{1}=g^{2} x_{1}+g^{-2} x_{2}, \quad h_{2}=g^{4} x_{1}+(1-g) x_{2}$ ;

(в)

$h_{1}=g x_{1}+2 g^{-1} x_{2}, \quad h_{2}=(1+g) x_{1}+2\left(g^{-2}+g^{-1}\right) x_{2}$ .

Задача 71.40

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы на $V=F[x], \mathcal{A}(f(x))=f^{\prime }(x), \mathcal{B}(f(x))=x f(x)$ . Доказать, что отображение $\varphi : g \mapsto \mathcal{A B}$ продолжается до гомоморфизма $F\left[\langle g\rangle_{\infty }\right] \rightarrow \operatorname {End} V$ , и найти $\operatorname {Ker} \varphi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.41

(а)(б)(в)

Пусть $M$ — максимальный идеал алгебры $A=F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$ и $r=\operatorname {dim}_{F}(A / M)$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $F=\mathbb {C}$ , то $r=1$ ;

(б)

если $F=\mathbb {R}$ , то $r=1$ или $r=2$ ;

(в)

если $F=\mathbf{F}_{2}$ , то $r$ может быть неограниченно велико.

Задача 71.42

Доказать, что групповая алгебра свободной абелевой группы конечного ранга является нётеровой.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.43

Доказать, что в групповой алгебре свободной абелевой группы конечного ранга справедлива теорема о существовании и единственности разложения на простые множители.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.44

(а)(б)

Разложить в произведение простых множителей элемент групповой алгебры $A=\mathbb {C}\left[G\right]$ свободной абелевой группы $G$ с бази $\operatorname {com}\left(g_{1}, g_{2}\right)$ :

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$g_{1} g_{2}+g_{1}^{-1} g_{2}^{-1}$ ;

(б)

$1+g_{1}^{-1} g_{2}-g_{1} g_{2}^{-1}-g_{1}^{-2} g_{2}^{2}$ .

Задача 71.45

(а)(б)(в)

Пусть $G$ — свободная абелева группа с базисом $\left(g_{1}, g_{2}\right)$ . Найти факторалгебру групповой алгебры $A=F[G]$ по идеалу $I$ , порожденному элементами:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$g_{1} g_{2}^{-1}$ ;

(б)

$g_{1}-g_{2}$ ;

(в)

$g_{1}-1$ и $g_{2}-2$ .

Задача 71.46

Доказать, что если группа $G$ конечна и алгебра $\mathbb {C}\left[G\right]$ не имеет нильпотентных элементов, то $G$ коммутативна.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.47

(а)(б)

Пусть $H$ — нормальная подгруппа в группе $G, V$ — некоторый $F[G]$ -модуль и $(H-1) V$ — линейная оболочка элементов вида $(h-1) v$ , где $h \in H, v \in V$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$(H-1) V$ является $F[G]$ -подмодулем в $V$ ;

(б)

если $H-$ силовская (нормальная) $p$ -подгруппа в $G, \operatorname {char} F=p$ и $(H-1) V=V$ , то $V=0$ .

Задача 71.48

Доказать, что комплексные групповые алгебры групп $\mathbf{D}_{4}$ и $\mathbf{Q}_{8}$ изоморфны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.49

Найти число попарно неизоморфных комплексных групповых алгебр размерности 12.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 71.50

Доказать, что число слагаемых в разложении групповой алгебры симметрической группы $\mathbf{S}_{n}$ над полем $\mathbb {C}$ в прямую сумму матричных алгебр равно числу представлений числа $n$ в виде

n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}

где $n_{1} \geqslant n_{2} \geqslant \ldots \geqslant n_{k}>0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

72 · Характеры представлений[44/70%]

Задача 72.1

Пусть элемент $g$ группы $G$ имеет порядок $k$ и $\chi -n$ -мерный характер группы $G$ . Доказать, что $\chi (g)$ есть сумма $n$ (не обязательно различных) корней степени $k$ из 1.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.2

Пусть $\Phi$ — трехмерное комплексное представление группы $\langle a\rangle_{3}$ и $\chi_{\Phi }(g)=0$ для некоторого $g \in \mathbf{Z}_{3}$ . Доказать, что $\Phi$ эквивалентно регулярному представлению.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.3

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер группы $G=\langle a\rangle_{3} \times \langle b\rangle_{3}$ . Доказать, что $\chi (g) \neq 0$ для всякого $g \in G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.4

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер группы нечётного порядка. Доказать, что $\chi (g) \neq 0$ для любого $g \in G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.5

Пусть $\Phi$ - $n$ -мерное комплексное представление конечной группы $G$ . Доказать, что $\chi_{\Phi }(g)=n$ тогда и только тогда, когда $g$ принадлежит ядру представления $\Phi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.6

Пусть $A$ — аддитивная группа $n$ -мерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {F}_{p}$ и $\chi$ — неприводимый нетривиальный комплексный характер группы $A$ . Доказать, что подмножество

\left\{ a \in A \mid \chi (\alpha )=1\right\}

есть $(n-1)$ -мерное подпространство в $V$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.7

Пусть $\chi$ — комплексный характер конечной группы $G$ и $m=\max \left\{ \left|\chi (g)\right| \mid g \in G\right\}$ . Доказать, что

H=\left\{ g \in G \mid \chi (g)=m\right\} , \quad K=\left\{ g \in G| | \chi (g) \mid =m\right\}

— нормальные подгруппы в $G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.8

Доказать, что двумерный комплексный характер $\chi$ группы $\mathbf{S}_{3}$ неприводим тогда и только тогда, когда $\chi ((123))=-1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.9

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер конечной группы $G$ и $g \in G^{\prime }$ . Доказать, что если $\chi (g) \neq 2$ , то $\chi$ неприводим.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.10

Чему равно "среднее значение"

\frac{1}{\left|G\right|} \sum _{g \in G} \chi (g)

неприводимого характера неединичной конечной группы $G$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.11

Доказать, что для любого элемента $g$ неединичной конечной группы $G$ существует такой нетривиальный неприводимый комплексный характер $\chi$ группы $G$ , что $\chi (g) \neq 0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.12

Доказать, что отображение группы $G$ в $\mathbb {C}$ является одномерным характером группы $G$ тогда и только тогда, когда это отображение является гомоморфизмом группы $G$ в группу $\mathbb {C}^{*}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.13

Доказать, что центральная функция, равная произведению двух одномерных характеров группы $G$ , является одномерным характером группы $G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.14

Доказать, что операция умножения функций определяет во множестве одномерных характеров группы $G$ структуру абелевой группы $\widehat{G}$ , двойственной к группе $G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.15

Доказать, что для конечной циклической группы $A$ группа $\widehat{A}$ — конечная циклическая группа того же порядка.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.16

Пусть конечная абелева группа $A$ разлагается в прямое произведение $A=A_{1} \times A_{2}, \alpha_{1} \in \widehat{A}_{1}, \alpha_{2} \in \widehat{A}_{2}$ . Доказать, что отображение $A \rightarrow \mathbb {C}^{*}$ , переводящее элемент $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ в $\alpha_{1}\left(a_{1}\right) \cdot \alpha_{2}\left(a_{2}\right)$ , является одномерным характером группы $A$ и $\widehat{A} \simeq \widehat{A}_{1} \times \widehat{A}_{2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.17

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $B$ — подгруппа конечной абелевой группы $A$ и

B^{0}=\left\{ \alpha \in \widehat{A} \mid \alpha (b)=1 \text{ для всякого } b \in B\right\} .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$B^{0}$ — подгруппа в $\widehat{A}$ и всякая подгруппа в $\widehat{A}$ совпадает с $B^{0}$ для некоторой подгруппы $B$ ;

(б)

$\widehat{B} \simeq \widehat{A} / B^{0}$ ;

(в)

$B_{1} \subset B_{2}$ тогда и только тогда, когда $B_{1}^{0} \supset B_{2}^{0}$ ;

(г)

$\left(B_{1} \cap B_{2}\right)^{0}=B_{1}^{0} \cdot B_{2}^{0}$ ;

(д)

$\left(B_{1} B_{2}\right)^{0}=B_{1}^{0} \cap B_{2}^{0}$ .

Задача 72.18

(а)(б)(в)

Пусть $\Phi$ — гомоморфизм группы $G$ в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

отображение $\Phi^{*}: g \mapsto \left(\Phi \left(g^{-1}\right)\right)^{t}$ также является представлением группы $G$ ;

(б)

$\chi_{\Phi }(g)=\bar{\chi }_{\Phi^{*}}(g)$ для всякого $g \in G$ ;

(в)

представления $\Phi$ и $\Phi^{*}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда значения характера $\chi$ вещественны.

Задача 72.19

(а)(б)(в)

Пусть $\Phi$ — неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{S}_{n}$ и $\Phi^{\prime }(\sigma )=\Phi (\sigma ) \operatorname {sgn} \sigma \left(\sigma \in \mathbf{S}_{n}\right)$ .

Доказать, что $\Phi^{\prime }$ — представление группы $\mathbf{S}_{n}$ и следующие утверждения эквивалентны:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\Phi \sim \Phi^{\prime }$ ;

(б)

ограничение представления $\Phi$ на $\mathbf{A}_{n}$ приводимо;

(в)

$\chi_{\Phi }(\sigma )=0$ для любой нечётной подстановки $\sigma \in \mathbf{S}_{n}$ .

Задача 72.20

В задаче 58.11 задана группа матриц из $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$ , изоморфная группе кватернионов $\mathbf{Q}_{8}$ . Доказать неприводимость этого двумерного представления группы $\mathbf{Q}_{8}$ и найти его характер.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.21

Найти характер представления группы $\mathbf{S}_{n}$ в пространстве с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ , задаваемого формулой

\Phi (\sigma ) e_{i}=e_{\sigma (i)} \quad \text{ для } \quad \sigma \in \mathbf{S}_{n}.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.22

Найти характер двумерного представления группы $\mathbf{D}_{n}$ , определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{D}_{n}$ с группой симметрий фиксированного правильного $n$ -угольника.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.23

Найти характер трехмерного представления группы $\mathbf{S}_{4}$ , определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{S}_{4}$ с группой симметрий фиксированного правильного тетраэдра.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.24

Найти характер представления группы $\mathbf{S}_{4}$ , определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{S}_{4} \mathbf{c}$ группой вращений куба.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.25

(а)(б)(в)(г)(д)

Составить таблицу неприводимых характеров групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\langle a\rangle_{2}$ ;

(б)

$\langle a\rangle_{3}$ ;

(в)

$\langle a\rangle_{4}$ ;

(г)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$ ;

(д)

$\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2} \times \langle c\rangle_{2}$ .

Задача 72.26

(а)(б)(в)(г)(д)

Составить таблицу характеров одномерных представлений и вычислить группу одномерных характеров (задача 72.14) для групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbf{S}_{3}$ ;

(б)

$\mathbf{A}_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(г)

$\mathbf{S}_{n}$ ;

(д)

$\mathbf{D}_{n}$ .

Задача 72.27

Найти модуль определителя матрицы, строки которой совпадают со строками таблицы неприводимых характеров абелевой группы порядка $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.28

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Составить таблицу неприводимых характеров групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathrm{S}_{3}$ ;

(б)

$S_{4}$ ;

(в)

$\mathbf{Q}_{8}$ ;

(г)

$\mathbf{D}_{4}$ ;

(д)

$\mathbf{D}_{5}$ ;

(е)

$\mathbf{A}_{4}$ .

Задача 72.29

Может ли характер представления некоторой группы порядка 8 принимать значения $(1,-1,2,0,0,-2,0,0)$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.30

Разложить центральную функцию

(1,-1, i,-i, j,-j, k,-k) \mapsto (5,-3,0,0,-1,-1,0,0)

на $\mathbf{Q}_{8}$ по базису неприводимых характеров. Является ли она характером какого-либо представления?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.31

Определить, какая из центральных функций на $\mathbf{S}_{3}$

\begin{aligned} & f_{1}:(e,(12),(13),(23),(123),(132)) \mapsto (6,-4,-4,-4,0,0), \\ & f_{2}:(e,(12),(13),(23),(123),(132)) \mapsto (6,-4,-4,-4,3,3) \end{aligned}

является характером, и указать это представление.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.32

(а)(б)(в)

Пусть $A$ — аддитивная группа конечномерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {F}_{p}$ и $\Psi$ — нетривиальный неприводимый (комплексный) характер аддитивной группы поля $\mathbb {F}_{p}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что всякий неприводимый характер $\chi$ группы $A$ имеет вид

\chi (a)=\Psi (l(a))

для некоторой линейной функции $l \in V^{*}$ .

(б)

Установить изоморфизм двойственной группы $\widehat{A}$ (см. задачу 72.14) и аддитивной группы пространства $V^{*}$ .

(в)

Построить изоморфизм $A$ и $\widehat{\widehat{A}}$ .

Задача 72.33

(а)(б)(в)

Пусть в условиях предыдущей задачи $f$ — комплекснозначная функция на $A$ . Определим функцию $\widehat{f}$ на $\widehat{A}$ , полагая для $\chi \in \widehat{A}$

\widehat{f}(\chi )=\frac{1}{\left|A\right|} \sum _{a \in A} f(a) \chi (a)=(f, \chi )_{A}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что

f=\sum _{\chi \in \widehat{A}} \widehat{f}(\chi ) \cdot \chi

(б)

Доказать, что

\widehat{f g}(\chi )=\sum _{\varphi \in \widehat{A}} \widehat{f}(\varphi ) \widehat{g}\left(\varphi ^{-1} \cdot \chi \right)

(в)

Сравнить функции $f$ на $A$ и $\widehat{\hat{f}}$ на $\widehat{\hat{A}}$ , используя изоморфизм из задачи 72.32, в).

Задача 72.34

Пусть $A$ — аддитивная группа поля $\mathbf{F}_{p}$ . Рассмотрим функцию $f$ на $A$ , полагая

f(a)=\left\{ \begin{aligned} 0, & \text{ если } a=0 \\ 1, & \text{ если } a=x^{2} \text{ для некоторого } x \in \mathbf{F}_{p}^{*} \\ -1, & \text{ в остальных случаях } \end{aligned}\right\}

Доказать, что если $\chi$ — неприводимый комплексный характер группы $A$ , то $\left|(f, \chi )_{A}\right|=p^{-1 / 2}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.35

Пусть $G$ — конечная группа, $H$ — её подгруппа. Доказать, что центральная функция на $H$ , получающаяся ограничением на $H$ характера группы $G$ , является характером группы $H$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.36

Пусть $\Phi$ — матричное $n$ -мерное представление группы $G$ . Построим представление $\Psi$ группы $G$ на пространстве квадратных матриц порядка $n$ , полагая для $\mathcal{A} \in \mathbf{M}_{n}(K)$

\Psi _{g}(A)=\Phi _{g} A^{t} \Phi _{g}

Выразить $\chi_{\Psi }$ через $\chi_{\Phi }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.37

(а)(б)(в)

Найти неприводимые слагаемые представления $\Psi$ задачи 72.36 и их кратности, если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\Phi$ — двумерное неприводимое представление группы $\mathbf{S}_{3}$ ;

(б)

$\Phi$ — представление из задачи 72.23 ;

(в)

$\Phi$ — двумерное представление группы $\mathbf{Q}_{8}$ из задачи 72.20.

Задача 72.38

Пусть $\Phi$ — матричное $n$ -мерное представление группы $G$ . Построим представление $\Psi$ группы $G$ на пространстве квадратных матриц $\mathbf{M}_{n}(K)$ , полагая

\Psi _{g}(A)=\Phi _{g} \cdot A

Выразить $\chi_{\Psi }$ через $\chi_{\Phi }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.39

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — регулярное комплексное представление группы $\langle a\rangle_{n}$ . Найти кратность единичного представления группы $\mathbf{Z}_{n}$ в разложении представления $\rho^{\otimes m}$ (см. задачу 69.19) на неприводимые представления.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.40

(а)(б)

Пусть $\rho$ — двумерное неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{S}_{3}$ . Разложить на неприводимые представления:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\rho^{\otimes 2}$ ;

(б)

$\rho^{\otimes 3}$ .

Задача 72.41

Пусть $\rho :\langle a\rangle_{n} \mapsto \mathbf{G L}(V)$ — комплексное регулярное представление группы $\langle a\rangle_{n}$ . Найти кратность единичного представления группы в разложении на неприводимые компоненты представления, возникающего на пространстве кососимметрических $m$ -контравариантных тензоров на $V$ (см. задачу 69.19).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.42

Пусть $\chi$ — характер группы $G, f$ — центральная функция на $G$ ,

f(g)=\frac{1}{2}\left(\chi (g)^{2}-\chi \left(g^{2}\right)\right)

Доказать, что $f$ — характер группы $G$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 72.43

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\Phi$ — представление группы $G=\mathrm{S}_{3}$ в пространстве $\mathbb {C}(G)$ всех комплекснозначных функций на $G$ :

\left(\Phi _{\sigma } f\right)(x)=f\left(\sigma ^{-1} x\right), \quad f \in \mathbb {C}(G), \quad x \in G, \quad \sigma \in G,

$f_{0} \in \mathbb {C}(G)$ и $V_{0}$ — линейная оболочка множества элементов вида $\Phi_{\sigma } f_{0}$ , где $\sigma \in G$ .

Найти характер ограничения $\Phi$ на $V_{0}$ для:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{0}(\sigma )=\operatorname {sgn} \sigma$ ;

(б)

$f_{0}(\sigma )= \begin{cases} 1, \quad \text{ если } \sigma \in \left\{ e,(12)\right\} , \\ 0 \quad \text{ в противном случае } ; \end{cases}$

(в)

$f_{0}(\sigma )= \begin{cases} 1, \quad \text{ если } \sigma \in \left\{ e,(123),(132)\right\} , \\ 0 \quad \text{ в противном случае; } \end{cases}$

(г)

$f_{0}(\sigma )= \begin{cases} 1, & \text{ если } \sigma \in \left\{ e,(13),(23)\right\} , \\ -1, & \text{ если } \sigma \in \left\{ (12),(123),(132)\right\} . \end{cases}$

Задача 72.44

Пусть $\Phi$ — комплексное представление конечной группы $G$ на пространстве $V, \Psi$ — представление группы $G$ на пространстве $W$ . Обозначим через $T(\Phi , \Psi )$ пространство таких линейных отображений $S$ из $V$ в $W$ , что $S \circ \Phi_{g}=\Psi_{g} \circ S$ для всех $g \in G$ . Доказать, что

\operatorname {dim} T(\Phi , \Psi )=\left(\chi _{\Phi }, \chi _{\Psi }\right)_{G}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

73 · Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп[13/85%]

Задача 73.1

(а)(б)(в)

Пусть $F$ есть поле $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

для любой матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(F)$ отображение $P_{A}: t \mapsto e^{t A}(t \in F)$ является дифференцируемым матричным представлением аддитивной группы поля $F$ ;

(б)

всякое дифференцируемое матричное представление $P$ аддитивной группы поля $F$ имеет вид $P_{A}$ , где $A=P^{\prime }(0)$ ;

(в)

представления $P_{A}$ и $P_{B}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы $A$ и $B$ подобны.

Задача 73.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Доказать, что $P$ является матричным представлением аддитивной группы поля $\mathbb {R}$ , и найти такую матрицу $A$ , что $P=P_{A}$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$P(t)=\left(\begin{array}{rr}\cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t\end{array}\right)$ ;

(б)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}\operatorname {ch} t & \operatorname {sh} t \\ \operatorname {sh} t & \operatorname {ch} t\end{array}\right)$ ;

(в)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}e^{t} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$P(t)=\left(\begin{array}{cc}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{-t}\end{array}\right)$ ;

(д)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & t \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(е)

$P(t)=\left(\begin{array}{cc}1 & e^{t}-1 \\ 0 & e^{t}\end{array}\right)$ .

Задача 73.3

Какие из матричных представлений группы $\mathbb {R}$ из задачи 73.2 эквивалентны?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.4

В каком случае представления $P_{A}$ и $P_{-A}$ эквивалентны для $F=\mathbb {C}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.5

(а)(б)(в)(г)

Найти все дифференцируемые комплексные матричные представления групп:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathbb {R}_{+}^{*}$ ;

(б)

$\mathbb {R}^{*}$ ;

(в)

$\mathbb {C}^{*}$ ;

(г)

$\mathbf{U}$ (предполагается дифференцируемость представления по аргументу комплексного числа $z$ ).

Задача 73.6

Всякое ли комплексное линейное представление группы $\mathbb {Z}$ получается ограничением на $\mathbb {Z}$ некоторого представления группы $\mathbb {C}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.7

Найти в пространстве $\mathbb {C}^{n}$ все подпространства, инвариантные относительно матричного представления $P_{A}$ (см. задачу 73.1) в случае, когда характеристический многочлен матрицы $A$ не имеет кратных корней.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.8

Доказать, что матричное представление $P_{A}$ , (см. задачу 73.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда матрица $A$ диагонализируема.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.9

Пусть $R_{n}$ — пространство однородных многочленов степени $n$ от $x, y$ с комплексными коэффициентами. Для

A=\left[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{S L}_{2}(\mathbb {C})

и $f \in R_{n}$ положим

\left(\Phi _{n}(A) f\right)(x, y)=f(a x+c y, b x+d y)

Доказать, что ограничение представления $\Phi_{n}$ на подгруппу $\mathrm{SU}_{2}(\mathbb {C})$ неприводимо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 73.10

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $G=\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ . Комплексную функцию на $G$ назовем полиномиальной, если она есть многочлен от матричных элементов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $t(A)=\operatorname {tr} A, d(A)=\operatorname {det} A$ . Доказать, что $t$ и $d$ — центральные полиномиальные функции на $G$ .

(б)

Доказать, что любая центральная полиномиальная функция на $G$ является многочленом от $t$ и $d$ .

(в)

Пусть $A=\left(a_{i j}\right) \in G$ и $R=\mathbb {C}\left[x, y\right]$ . Обозначим через $\Psi (A)$ гомоморфизм $R \rightarrow R$ , для которого

\begin{aligned} & \Psi (A): x \mapsto a_{11} x+a_{12} y \\ & \Psi (A): y \mapsto a_{21} x+a_{22} y \end{aligned}

Доказать, что $\Psi$ — представление группы $G$ в пространстве $R$ и подпространства однородных многочленов степени $n$ инвариантны относительно представления $\Psi$ .

(г)

Доказать, что для $A \in \mathbf{S L}_{2}(\mathbb {C})$ ограничение $\Psi (A)$ на подпространство $R_{n}$ совпадает с оператором $\Phi_{n}(A)$ из задачи 73.9.

(д)

Пусть $\chi_{n}$ — характер ограничения $\left.\Psi \right|_{R_{n}}$ . Доказать, что

\chi _{n}=t \chi _{n-1}-d \chi _{n-2}

Задача 73.11

(а)(б)(в)

Пусть $\mathbb {H}$ — пространство комплексных матриц вида

X=\left[\begin{smallmatrix} z & w \\ -\bar{w} & \bar{z} \end{smallmatrix}\right]

со структурой четырехмерного евклидова пространства $(X, X)=\operatorname {det} X$ и $\mathbb {H}_{0}=\left\{ X \in \mathbb {H} \mid \operatorname {tr} X=0\right\}$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

отображение $P: \mathbf{S U}_{2} \rightarrow \mathbf{G L}\left(\mathbb {H}_{0}\right)$ , определенное формулой

P(A): X \mapsto A X A^{-1},

является (вещественным) линейным представлением группы $\mathbf{S U}_{2}$ , $\operatorname {Ker} P= \pm E$ , а $\operatorname {Im} P$ состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства $H_{0}$ ;

(б)

отображение $R: \mathbf{S U}_{2} \times \mathbf{S} \mathbf{U}_{2} \rightarrow \mathbf{G L}(\mathbb {H})$ , определенное формулой $R(A, B): X \mapsto A X B^{-1}$ , является (вещественным) линейным представлением группы $\mathbf{S U}_{2} \times \mathbf{S U}_{2}, \operatorname {Ker} R=\left\{ (E, E),(-E,-E)\right\}$ , а $\operatorname {Im} R$ состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства $\mathbb {H}_{0}$ ;

(в)

комплексификация линейного представления $P$ изоморфна ограничению представления $\Phi_{2}$ группы $\mathbf{S L}_{2}$ из задачи 73.9 на подгруппу $\mathbf{S U}_{2}$ .

Задача 73.12

(а)(б)

Пусть $G$ — топологическая связная разрешимая группа и $\rho$ — непрерывный гомоморфизм $G$ в группу невырожденных линейных операторов в конечномерном комплексном пространстве $V$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

в $V$ существует ненулевой вектор, являющийся собственным для всех операторов $\rho (g), g \in G$ ;

(б)

в $V$ существует такой базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ , что все матрицы $\rho (g)$ , $g \in G$ , в этом базисе верхнетреугольные.

Задача 73.13

Пусть $F$ — алгебраически замкнутое поле и $G$ — разрешимая группа невырожденных линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ над $F$ . Доказать, что существуют такие базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ в $V$ и нормальная подгруппа $N$ в $G$ конечного индекса (зависящего только от $n$ ), что $N$ состоит из верхнетреугольных матриц.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику