Банк задач по математике

Задача 69.1

Доказать, что отображение $\rho : \mathbb {Z} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ , при котором

\rho (n)=\left[\begin{smallmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right], \quad n \in \mathbb {Z},

является приводимым двумерным комплексным представлением группы $\mathbb {Z}$ и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений.

?

Задача 69.2

Доказать, что отображение $\rho :\langle a\rangle_{p} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}\left(\mathbb {F}_{p}\right)$ ( $p$ — простое число), при котором

\rho \left(a^{k}\right)=\left[\begin{smallmatrix} 1 & k \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right],

является приводимым двумерным представлением циклической группы $\langle a\rangle_{p}$ и не эквивалентно прямой сумме двух одномерных представлений.

?

Задача 69.3

Пусть $A \in \mathbf{G L}_{n}(\mathbb {C})$ . Доказать, что отображение $\rho_{A}: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$ , при котором $\rho_{A}(n)=A^{n}$ , является представлением группы $\mathbb {Z}$ и представления $\rho_{A}$ и $\rho_{B}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда жордановы нормальные формы матриц $A$ и $B$ совпадают (с точностью до порядка клеток).

?

Задача 69.4

Будет ли линейным представлением группы $\mathbb {R}$ в пространстве $C(\mathbb {R})$ непрерывных функций на вещественной прямой отображение $L$ , определяемое по формулам:

?

(а)

$(L(t) f)(x)=f(x-t)$ ;

(б)

$(L(t) f)(x)=f(t x)$ ;

(в)

$(L(t) f)(x)=f\left(e^{t} x\right)$ ;

(г)

$(L(t) f)(x)=e^{t} f(x)$ ;

(д)

$(L(t) f)(x)=f(x)+t$ ;

(е)

$(L(t) f)(x)=e^{t} f(x+t)$ ?

Задача 69.5

Какие из подпространств в $C(\mathbb {R})$ инвариантны относительно линейного представления $L$ из задачи 69.4, а):

?

(а)

подпространство бесконечно дифференцируемых функций;

(б)

подпространство многочленов;

(в)

подпространство многочленов степени $\leqslant n$ ;

(г)

подпространство чётных функций;

(д)

подпространство нечётных функций;

(е)

линейная оболочка функций $\sin x$ и $\cos x$ ;

(ж)

подпространство многочленов от $\cos x$ и $\sin x$ ;

(з)

линейная оболочка функций $\cos x, \cos 2 x, \ldots , \cos n x$ ;

(и)

линейная оболочка функций $e^{c_{1} t}, e^{c_{2} t}, \ldots , e^{c_{n} t}$ , где $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n}$ — различные фиксированные вещественные числа?

Задача 69.6

Найти подпространства пространства многочленов, инвариантные относительно представления $L$ из задачи 69.4а.

?

Задача 69.7

Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления $L$ из задачи 69.5 на подпространство многочленов степени $\leqslant 2$ .

?

Задача 69.8

Записать матрицами (в каком-либо базисе) ограничение линейного представления $L$ из задачи 69.5 на линейную оболочку функций $\sin x$ и $\cos x$ .

?

Задача 69.9

(а)(б)(в)

Доказать, что каждая из следующих формул определяет линейное представление группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$ в пространстве $\mathbf{M}_{n}(F)$ :

?

(а)

$\Lambda (A) \cdot X=A X$ ;

(б)

$\operatorname {Ad}(A) \cdot X=A X A^{-1}$ ;

(в)

$\Phi (A) \cdot X=A X^{t} A$ .

Задача 69.10

Доказать, что линейное представление $\Lambda$ (см. задачу 69.9, а)) вполне приводимо и его инвариантные подпространства совпадают с левыми идеалами алгебры $\mathbf{M}_{n}(K)$ .

?

Задача 69.11

Доказать, что если char $F$ не делит $n$ , то линейное представление Ad (см. задачу 69.9, б)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространство матриц с нулевым следом и пространство скалярных матриц.

?

Задача 69.12

Доказать, что если char $F \neq 2$ , то линейное представление $\Phi$ (см. задачу 69.9, в)) вполне приводимо и его нетривиальные инвариантные подпространства — пространства симметрических и кососимметрических матриц.

?

Задача 69.13

Пусть $V$ — двумерное пространство над полем $F$ . Показать, что существуют представления $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ группы $\mathbf{S}_{3}$ на $V$ , для которых в некотором базисе пространства $V$ будут выполнены соотношения

\begin{array}{ll} \rho _{1}\left(\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \end{array}

= 0 1 1 0 , _1 1 2 3 = 0 -1 1 -1 _2 1 2 = 0 1 1 0 , _2 1 2 3 = 0 1 -1 -1 .

Доказать, что эти представления изоморфны тогда и только тогда, когда $\operatorname {char} F \neq 3$ .

?

Задача 69.14

Пусть $V$ — двумерное векторное пространство над полем $F$ . Показать, что существуют два представления $\rho_{1}, \rho_{2}$ группы

\mathbf{D}_{4}= \left\langle a, b \mid a^{4}=b^{2}=(a b)^{2}=1\right\rangle

на $V$ , для которых в некотором базисе пространства $V$ будут выполнены соотношения

\begin{array}{ll} \rho _{1}(a)=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}

, _1(b)= 0 1 1 0 _2(a)= 0 1 -1 0 , _2(b)= 1 0 0 -1

Будут ли эти представления эквивалентны?

?

Задача 69.15

Пусть $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ — представления групп $\mathbf{S}_{3}$ и $\mathbf{D}_{4}$ из задач 69.13 и 69.14. Будут ли эти представления неприводимы?

?

Задача 69.16

(а)(б)(в)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ . Зададим отображение $\psi : \mathbf{S}_{n} \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , полагая

\psi _{\sigma }\left(e_{i}\right)=e_{\sigma (i)}

где $\sigma \in \mathbf{S}_{n}, i=1, \ldots , n$ . Доказать, что:

?

(а)

$\psi$ — представление группы $\mathbf{S}_{n}$ ;

(б)

подпространство $W$ векторов, сумма координат которых относительно базиса $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ равна нулю, и подпространство $U$ векторов с равными координатами инвариантны относительно представления $\psi$ ;

(в)

если $\operatorname {char} F$ не делит $n$ , то ограничение представления $\psi$ на $W$ неприводимое $(n-1)$ -мерное представление группы $\mathbf{S}_{n}$ .

Задача 69.17

Пусть $P_{n, m}$ — подпространство однородных многочленов степени $m$ в алгебре $F\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ и $\operatorname {char} F=0$ . Определим отображение $\Theta : \mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F) \rightarrow \mathbf{G L}\left(P_{n, m}\right)$ , полагая для $f \in P_{n, m}$ и $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{G L}_{n}(F)$ :

\left(\Theta _{A} f\right)\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=f\left(\sum _{i=1}^{n} x_{i} a_{i 1}, \ldots , \sum _{i=1}^{n} x_{i} a_{i n}\right)

Доказать, что $\Theta$ — неприводимое представление группы $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(F)$ на пространстве $P_{n, m}$ .

?

Задача 69.18

Пусть задано $n$ -мерное пространство $V$ над полем $F$ нулевой характеристики. Определим отображение $\theta : \mathbf{G L}(V) \rightarrow \mathbf{G L}\left(\Lambda^{m} V\right)$ , полагая

\theta (f)\left(x_{1} \wedge \ldots \wedge x_{m}\right)=\left(f x_{1}\right) \wedge \ldots \wedge \left(f x_{m}\right)

где $x_{1}, \ldots , x_{m} \in V$ и $f \in \mathbf{G} \mathbf{L}(V)$ . Доказать, что $\theta$ — неприводимое представление группы $\mathbf{G L}(V)$ .

?

Задача 69.19

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

для любого представления $\rho$ группы $G$ существует представление $\rho^{\otimes m}$ группы $G$ на пространстве

V^{\otimes m}=\underset {m}{\rightarrow } \underbrace{V \otimes \ldots \otimes V}

$m$ раз контравариантных тензоров на пространстве $V$ такое, что

\rho ^{\otimes m}(g)\left(v_{1} \otimes \ldots \otimes v_{m}\right)=\left(\rho (g) v_{1}\right) \otimes \ldots \otimes \left(\rho (g) v_{m}\right)

при любых $v_{1}, \ldots , v_{m} \in V, g \in G$ ;

(б)

подпространства симметрических и кососимметрических тензоров являются инвариантными подпространствами для представления $\rho^{\otimes m}$ . Найти размерности этих подпространств, если $\operatorname {dim} V=n$ .

Задача 69.20

Пусть задано представление $\Phi : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ над полем $F$ и гомоморфизм $\xi : G \rightarrow F^{*}$ . Рассмотрим отображение $\Phi_{\xi }: G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , заданное по правилу $\Phi_{\xi }(g)=\xi (g) \Phi (g), g \in G$ . Доказать, что $\Phi_{\xi }$ - представление группы $G$ . Оно неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо представление $\Phi$ .

?

Задача 69.21

Пусть $\Phi$ — комплексное представление конечной группы $G$ . Доказать, что каждый оператор $\Phi_{g}, g \in G$ , диагонализируем.

?

Задача 69.22

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — конечномерное представление группы $G$ над полем $F$ . Доказать, что в $V$ существует базис, в котором для любого $g \in G$ матрица $\rho (g)$ имеет клеточно-верхнетреугольный вид

\rho (g)=\left[\begin{smallmatrix} \rho _{1}(g) & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \rho _{m}(g) \end{smallmatrix}\right]

где $\rho_{i}$ — неприводимые представления группы $G$ .

?

Задача 69.23

(а)(б)(в)

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — конечномерное представление группы $G$ и в $V$ существует базис $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ , в котором для любого $g \in G$ матрица $\rho (g)$ имеет клеточно-верхнетреугольный вид из задачи 69.22, где размер $d_{i}$ квадратной матрицы $\rho_{i}(g)$ не зависит от $g$ . Доказать, что:

?

(а)

линейная оболочка $V_{i}$ векторов $e_{d_{1}+\ldots +d_{i-1}+1}, \ldots , e_{d_{1}+\ldots +d_{i}}$ является $G$ -инвариантным подпространством $(1 \leqslant i \leqslant m)$ ;

(б)

отображение $g \mapsto \rho_{i}(g)$ является матричным представлением группы $G$ ;

(в)

линейное представление группы $G$ , соответствующее этому матричному представлению, изоморфно представлению, возникающему на факторпространстве $V_{i} / V_{i-1}$ (по определению $V_{0}=0$ ).

Задача 69.24

(а)(б)(в)

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — представление группы $G$ .

Доказать, что:

?

(а)

для любого $v \in V$ линейная оболочка $\langle \rho (g) v \mid g \in G\rangle$ является инвариантным подпространством для представления $\rho$ ;

(б)

любой вектор из $V$ лежит в некотором инвариантном подпространстве размерности $\leqslant \left|G\right|$ .

(в)

минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор $v \in V$ , совпадает с $\langle \rho (g) v \mid g \in G\rangle$ .

Задача 69.25

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — представление группы $G$ и $H$ подгруппа в $G,[G: H]=k<\infty$ . Доказать, что если подпространство $U$ инвариантно относительно ограничения представления $\rho$ на подгруппу $H$ , то размерность минимального подпространства, содержащего $U$ , инвариантного относительно представления $\rho$ , не превосходит $k \cdot \operatorname {dim} U$ .

?

Задача 69.26

(а)(б)(в)(г)

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\mathbb {C}$ с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ . Определим в $V$ представление $\Phi$ циклической группы $\langle a\rangle_{n}$ , полагая $\Phi (a)\left(e_{i}\right)=e_{i+1}$ при $i<n$ и $\Phi (a)\left(e_{n}\right)=e_{1}$ . При $n=2 m$ найти размерность минимального инвариантного подпространства, содержащего векторы:

?

(а)

$e_{1}+e_{m+1}$ ;

(б)

$e_{1}+e_{3}+\ldots +e_{2 m-1}$ ;

(в)

$e_{1}-e_{2}+e_{3}-\ldots -e_{2 m}$ ;

(г)

$e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{m}$ .

Задача 69.27

Доказать, что у любого множества попарно коммутирующих операторов на конечномерном комплексном векторном пространстве $V$ есть общий собственный вектор.

?

Задача 69.28

Доказать, что всякое неприводимое представление абелевой группы на конечномерном векторном пространстве над полем $\mathbb {C}$ одномерно.

?

Задача 69.29

Пусть $G=\langle a\rangle_{p} \times \langle b\rangle_{p}$ , где $p$ — простое число и $K$ — поле характеристики $p$ . Предположим, что $V$ — векторное пространство над $K$ с базисом $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}, y_{1}, \ldots , y_{n}$ . Зададим отображение $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ , полагая

\begin{aligned} & \rho (a) x_{i}=\rho (b) x_{i}=x_{i}, \quad 0 \leqslant i \leqslant n, \\ & \rho (a) y_{i}=x_{i}+y_{i}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n ; \\ & \rho (b) y_{i}=y_{i}+x_{i-1}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n. \end{aligned}

Доказать, что $\rho$ продолжается до представления группы $G$ . Проверить, что это представление неразложимо.

?

Задача 69.30

Доказать, что неприводимые комплексные представления группы $\mathbf{U}_{p^{\infty }}$ взаимно однозначно соответствуют последовательностям $\left(a_{n}\right)$ натуральных чисел таким, что

0 \leqslant a_{n} \leqslant p^{n}-1, \quad a_{n} \equiv a_{n+1} \quad \left(\bmod p^{n}\right)

при всех $n$ .

?

Задача 69.31

Доказать, что неприводимые комплексные представления группы $\mathbb {Q} / \mathbb {Z}$ взаимно однозначно соответствуют последовательностям натуральных чисел $\left(a_{n}\right)$ таким, что

0 \leqslant a_{n} \leqslant n-1, \quad a_{n} \equiv a_{m} \quad (\bmod n),

если $n$ делит $m$ .

?

Представления групп. Основные понятия