Представления конечных групп

Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — два перестановочных оператора на конечномерном векторном пространстве $V$ над $\mathbb {C}$ и $\mathcal{A}^{m}=\mathcal{B}^{n}=\mathcal{E}$ для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$. Доказать, что пространство $V$ распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ подпространств.

Перечислить все неприводимые комплексные представления групп:

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F, \mathcal{A} \in \mathbf{G L}(V)$ и $\mathcal{A}^{n}=\mathcal{E}$.

Разложить в прямую сумму одномерных представлений регулярное представление группы:

Пусть $H=\langle a\rangle_{3}$ — циклическая подгруппа группы $G, \Phi$ регулярное представление группы $G$ и $\Psi$ — его ограничение на $H$. Найти кратность каждого неприводимого представления группы $H$ в разложении представления $\Psi$ в сумму неприводимых:

Найти все неизоморфные одномерные вещественные представления группы $\langle a\rangle_{n}$.

Доказать, что неприводимое вещественное представление циклической группы имеет размерность не более двух.

Пусть $\rho_{k}:\langle a\rangle_{n} \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(\mathbb {R})$ — представление, для которого

Доказать, что:

Найти число неэквивалентных неприводимых вещественных представлений:

Найти число неэквивалентных двумерных комплексных представлений групп:

Пусть $G$ — абелева группа порядка $n$. Доказать, что число неэквивалентных $k$-мерных комплексных представлений группы $G$ равно коэффициенту при $t^{k}$ ряда $(1-t)^{-n}$. Найти этот коэффициент.

Доказать, что ядро одномерного представления группы $G$ содержит коммутант этой группы.

Пусть $\rho$ — представление группы $G$ в пространстве $V$ и в $V$ существует базис, в котором все операторы $\rho (g)(g \in G)$ диагональны. Доказать, что $\operatorname {Ker} \rho \supseteq G^{\prime }$.

Доказать, что все неприводимые комплексные представления конечной группы одномерны тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Найти все неизоморфные одномерные комплексные представления групп $\mathbf{S}_{3}$ и $\mathbf{A}_{4}$.

Найти все одномерные комплексные представления групп $\mathbf{S}_{n}$ и $\mathbf{D}_{n}$.

Построить неприводимое двумерное комплексное представление группы $\mathbf{S}_{3}$.

Используя гомоморфизм группы $\mathbf{S}_{4}$ на группу $\mathbf{S}_{3}$, построить неприводимое двумерное комплексное представление группы $\mathbf{S}_{4}$.

Используя изоморфизм групп перестановок и соответствующих групп движений куба и тетраэдра (см. 57.13), построить:

Доказать, что если $\varepsilon$ — корень степени $n$ из 1, то отображение

продолжается до представления $\rho_{\varepsilon }$ группы $\mathbf{D}_{n}$. Является ли оно неприводимым при $\varepsilon \neq \pm 1$?

Пусть $\rho_{\varepsilon }$ и $\rho_{\varepsilon^{\prime }}$ — неприводимые двумерные комплексные группы представления $\mathbf{D}_{n}$ из задачи 70.20. Доказать, что $\rho_{\varepsilon }$ и $\rho_{\varepsilon^{\prime }}$ изоморфны тогда и только тогда, когда $\varepsilon^{\prime }=\varepsilon^{ \pm 1}$.

Пусть $\rho$ — неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{D}_{n}$. Доказать, что $\rho$ изоморфно $\rho_{\varepsilon }$ для некоторого $\varepsilon$.

Пусть $\rho$ — естественное двумерное вещественное представление $\mathbf{D}_{n}$ в виде преобразований, составляющих правильный $n$-угольник. Найти такое $\varepsilon$, что $\rho$ изоморфно $\rho_{\varepsilon }$.

Используя реализацию кватернионов в виде комплексных матриц порядка 2 (см. задачу 58.11, в)), построить двумерное комплексное представление группы $\mathbf{Q}_{8}$.

Пусть группа $G$ имеет точное приводимое двумерное представление.

Доказать, что:

Доказать, что точное двумерное комплексное представление конечной некоммутативной группы неприводимо.

Пусть $G$ — конечная группа, $\rho$ — её конечномерное комплексное представление и в некотором базисе матрицы всех операторов $\rho (g)(g \in G)$ верхнетреугольные. Доказать, что $\operatorname {Ker}(\rho ) \supseteq G^{\prime }$.

Доказать, что если в задачах 69.22, 69.23 основное поле является полем комплексных чисел и группа $G$ конечна, то представление $\rho$ эквивалентно прямой сумме представлений $\rho_{1}, \ldots , \rho_{m}$.

Доказать, что если в задаче 69.22 основное поле является полем комплексных чисел и группа $G$ конечна, то существует такая невырожденная матрица $C$, что для всех $g \in G$

Пусть $G$ — конечная группа порядка $n, \rho$ — её регулярное представление. Доказать, что

Доказать, что для любого неединичного элемента конечной группы существует неприводимое комплексное представление, переводящее его в неединичный оператор.

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы в конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $F$ характеристики 0 и $\mathcal{A}^{3}=\mathcal{B}^{2}=\mathcal{E}$, $\mathcal{A B}=\mathcal{B} \mathcal{A}^{2}$.

Доказать, что для всякого подпространства $U$, инвариантного относительно $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$, существует подпространство $W$, инвариантное относительно $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и такое, что $V=U \oplus W$.

Найти все неэквивалентные двумерные комплексные представления групп:

Найти число и размерности неприводимых комплексных представлений групп:

Сколько прямых слагаемых в разложении на неприводимые компоненты регулярного представления следующих групп:

С помощью теории представлений доказать, что группа порядка 24 не может совпадать со своим коммутантом.

Могут ли неприводимые комплексные представления конечной группы исчерпываться:

Доказать, что в группе $\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ нет подгруппы, изоморфной $\mathbf{S}_{4}$.

Доказать существование двумерного инвариантного подпространства в любом восьмимерном комплексном представлении группы $\mathbf{S}_{4}$.

Доказать существование одномерного инвариантного подпространства в любом пятимерном представлении группы $\mathbf{A}_{4}$.

Доказать, что число неприводимых представлений группы $G$ строго больше числа неприводимых представлений любой её факторгруппы по нетривиальной нормальной подгруппе.

Для каких конечных групп регулярное представление над полем $\mathbb {C}$ содержит лишь конечное число подпредставлений?

Доказать, что любое неприводимое представление конечной $p$-группы над полем характеристики $p$ единично.

Пусть $G$ — конечная $p$-группа и $\rho$ — её представление в конечномерном пространстве $V$ над полем характеристики $p$. Доказать, что в $V$ существует такой базис, что для любого $g \in G$ матрица оператора $\rho (g)$ верхняя унитреугольная.

Пусть $H$ — нормальная подгруппа в конечной группе $G$. Доказать, что размерность любого неприводимого представления группы $G$ над полем $F$ не превосходит $[G: H] m$, где $m$ — наибольшая размерность неприводимого представления группы $H$ над полем $F$.

Доказать, что в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$ существует лишь конечное число попарно несопряжённых подгрупп фиксированного конечного порядка.

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}_{3}(\mathbb {R})$ — неприводимое трехмерное вещественное представление конечной группы $G$ и представление $\widetilde{\rho }: G \rightarrow \mathbf{G} \mathbf{L}_{3}(\mathbb {C})$ получается как композиция отображения $\rho$ со стандартным вложением $\mathbf{G L}_{3}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbf{G L}_{3}(\mathbb {C})$. Доказать, что представление $\widetilde{\rho }$ неприводимо.

Доказать, что всякое неприводимое неодномерное комплексное представление группы порядка $p^{3}$ является точным.

Найти число неприводимых комплексных представлений некоммутативной группы порядка $p^{3}$ и их размерности.

Вещественное представление $\Phi$ циклической группы $\langle a\rangle$ порядка 4, при котором

разложить в прямую сумму неприводимых.

Рассмотрим вещественное трехмерное представление группы $G=\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$, где

Разложить $\Phi$ в прямую сумму неприводимых представлений.

Рассмотрим двумерное комплексное представление $\Phi$ группы $G=\langle a\rangle_{2} \times \langle b\rangle_{2}$, где

Разложить $\Phi$ в прямую сумму неприводимых представлений.