Банк задач по математике

Задача 73.1

(а)(б)(в)

Пусть $F$ есть поле $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ .

Доказать, что:

?

(а)

для любой матрицы $A \in \mathbf{M}_{n}(F)$ отображение $P_{A}: t \mapsto e^{t A}(t \in F)$ является дифференцируемым матричным представлением аддитивной группы поля $F$ ;

(б)

всякое дифференцируемое матричное представление $P$ аддитивной группы поля $F$ имеет вид $P_{A}$ , где $A=P^{\prime }(0)$ ;

(в)

представления $P_{A}$ и $P_{B}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы $A$ и $B$ подобны.

Задача 73.2

Доказать, что $P$ является матричным представлением аддитивной группы поля $\mathbb {R}$ , и найти такую матрицу $A$ , что $P=P_{A}$ , если:

?

(а)

$P(t)=\left(\begin{array}{rr}\cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t\end{array}\right)$ ;

(б)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}\operatorname {ch} t & \operatorname {sh} t \\ \operatorname {sh} t & \operatorname {ch} t\end{array}\right)$ ;

(в)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}e^{t} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$P(t)=\left(\begin{array}{cc}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{-t}\end{array}\right)$ ;

(д)

$P(t)=\left(\begin{array}{ll}1 & t \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(е)

$P(t)=\left(\begin{array}{cc}1 & e^{t}-1 \\ 0 & e^{t}\end{array}\right)$ .

Задача 73.3

Какие из матричных представлений группы $\mathbb {R}$ из задачи 73.2 эквивалентны?

?

Задача 73.4

В каком случае представления $P_{A}$ и $P_{-A}$ эквивалентны для $F=\mathbb {C}$ ?

?

Задача 73.5

(а)(б)(в)(г)

Найти все дифференцируемые комплексные матричные представления групп:

?

(а)

$\mathbb {R}_{+}^{*}$ ;

(б)

$\mathbb {R}^{*}$ ;

(в)

$\mathbb {C}^{*}$ ;

(г)

$\mathbf{U}$ (предполагается дифференцируемость представления по аргументу комплексного числа $z$ ).

Задача 73.6

Всякое ли комплексное линейное представление группы $\mathbb {Z}$ получается ограничением на $\mathbb {Z}$ некоторого представления группы $\mathbb {C}$ ?

?

Задача 73.7

Найти в пространстве $\mathbb {C}^{n}$ все подпространства, инвариантные относительно матричного представления $P_{A}$ (см. задачу 73.1) в случае, когда характеристический многочлен матрицы $A$ не имеет кратных корней.

?

Задача 73.8

Доказать, что матричное представление $P_{A}$ , (см. задачу 73.1) вполне приводимо тогда и только тогда, когда матрица $A$ диагонализируема.

?

Задача 73.9

Пусть $R_{n}$ — пространство однородных многочленов степени $n$ от $x, y$ с комплексными коэффициентами. Для

A=\left[\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right] \in \mathbf{S L}_{2}(\mathbb {C})

и $f \in R_{n}$ положим

\left(\Phi _{n}(A) f\right)(x, y)=f(a x+c y, b x+d y)

Доказать, что ограничение представления $\Phi_{n}$ на подгруппу $\mathrm{SU}_{2}(\mathbb {C})$ неприводимо.

?

Задача 73.10

Пусть $G=\mathbf{G L}_{2}(\mathbb {C})$ . Комплексную функцию на $G$ назовем полиномиальной, если она есть многочлен от матричных элементов.

?

(а)

Пусть $t(A)=\operatorname {tr} A, d(A)=\operatorname {det} A$ . Доказать, что $t$ и $d$ — центральные полиномиальные функции на $G$ .

(б)

Доказать, что любая центральная полиномиальная функция на $G$ является многочленом от $t$ и $d$ .

(в)

Пусть $A=\left(a_{i j}\right) \in G$ и $R=\mathbb {C}\left[x, y\right]$ . Обозначим через $\Psi (A)$ гомоморфизм $R \rightarrow R$ , для которого

\begin{aligned} & \Psi (A): x \mapsto a_{11} x+a_{12} y \\ & \Psi (A): y \mapsto a_{21} x+a_{22} y \end{aligned}

Доказать, что $\Psi$ — представление группы $G$ в пространстве $R$ и подпространства однородных многочленов степени $n$ инвариантны относительно представления $\Psi$ .

(г)

Доказать, что для $A \in \mathbf{S L}_{2}(\mathbb {C})$ ограничение $\Psi (A)$ на подпространство $R_{n}$ совпадает с оператором $\Phi_{n}(A)$ из задачи 73.9.

(д)

Пусть $\chi_{n}$ — характер ограничения $\left.\Psi \right|_{R_{n}}$ . Доказать, что

\chi _{n}=t \chi _{n-1}-d \chi _{n-2}

Задача 73.11

(а)(б)(в)

Пусть $\mathbb {H}$ — пространство комплексных матриц вида

X=\left[\begin{smallmatrix} z & w \\ -\bar{w} & \bar{z} \end{smallmatrix}\right]

со структурой четырехмерного евклидова пространства $(X, X)=\operatorname {det} X$ и $\mathbb {H}_{0}=\left\{ X \in \mathbb {H} \mid \operatorname {tr} X=0\right\}$ .

Доказать, что:

?

(а)

отображение $P: \mathbf{S U}_{2} \rightarrow \mathbf{G L}\left(\mathbb {H}_{0}\right)$ , определенное формулой

P(A): X \mapsto A X A^{-1},

является (вещественным) линейным представлением группы $\mathbf{S U}_{2}$ , $\operatorname {Ker} P= \pm E$ , а $\operatorname {Im} P$ состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства $H_{0}$ ;

(б)

отображение $R: \mathbf{S U}_{2} \times \mathbf{S} \mathbf{U}_{2} \rightarrow \mathbf{G L}(\mathbb {H})$ , определенное формулой $R(A, B): X \mapsto A X B^{-1}$ , является (вещественным) линейным представлением группы $\mathbf{S U}_{2} \times \mathbf{S U}_{2}, \operatorname {Ker} R=\left\{ (E, E),(-E,-E)\right\}$ , а $\operatorname {Im} R$ состоит из всех собственных ортогональных преобразований пространства $\mathbb {H}_{0}$ ;

(в)

комплексификация линейного представления $P$ изоморфна ограничению представления $\Phi_{2}$ группы $\mathbf{S L}_{2}$ из задачи 73.9 на подгруппу $\mathbf{S U}_{2}$ .

Задача 73.12

(а)(б)

Пусть $G$ — топологическая связная разрешимая группа и $\rho$ — непрерывный гомоморфизм $G$ в группу невырожденных линейных операторов в конечномерном комплексном пространстве $V$ .

Доказать, что:

?

(а)

в $V$ существует ненулевой вектор, являющийся собственным для всех операторов $\rho (g), g \in G$ ;

(б)

в $V$ существует такой базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ , что все матрицы $\rho (g)$ , $g \in G$ , в этом базисе верхнетреугольные.

Задача 73.13

Пусть $F$ — алгебраически замкнутое поле и $G$ — разрешимая группа невырожденных линейных операторов в конечномерном векторном пространстве $V$ над $F$ . Доказать, что существуют такие базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$ в $V$ и нормальная подгруппа $N$ в $G$ конечного индекса (зависящего только от $n$ ), что $N$ состоит из верхнетреугольных матриц.

?

Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп