Характеры представлений

Пусть элемент $g$ группы $G$ имеет порядок $k$ и $\chi -n$-мерный характер группы $G$. Доказать, что $\chi (g)$ есть сумма $n$ (не обязательно различных) корней степени $k$ из 1.

Пусть $\Phi$ — трехмерное комплексное представление группы $\langle a\rangle_{3}$ и $\chi_{\Phi }(g)=0$ для некоторого $g \in \mathbf{Z}_{3}$. Доказать, что $\Phi$ эквивалентно регулярному представлению.

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер группы $G=\langle a\rangle_{3} \times \langle b\rangle_{3}$. Доказать, что $\chi (g) \neq 0$ для всякого $g \in G$.

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер группы нечётного порядка. Доказать, что $\chi (g) \neq 0$ для любого $g \in G$.

Пусть $\Phi$ - $n$-мерное комплексное представление конечной группы $G$. Доказать, что $\chi_{\Phi }(g)=n$ тогда и только тогда, когда $g$ принадлежит ядру представления $\Phi$.

Пусть $A$ — аддитивная группа $n$-мерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {F}_{p}$ и $\chi$ — неприводимый нетривиальный комплексный характер группы $A$. Доказать, что подмножество

есть $(n-1)$-мерное подпространство в $V$.

Пусть $\chi$ — комплексный характер конечной группы $G$ и $m=\max \left\{ \left|\chi (g)\right| \mid g \in G\right\}$. Доказать, что

— нормальные подгруппы в $G$.

Доказать, что двумерный комплексный характер $\chi$ группы $\mathbf{S}_{3}$ неприводим тогда и только тогда, когда $\chi ((123))=-1$.

Пусть $\chi$ — двумерный комплексный характер конечной группы $G$ и $g \in G^{\prime }$. Доказать, что если $\chi (g) \neq 2$, то $\chi$ неприводим.

Чему равно "среднее значение"

неприводимого характера неединичной конечной группы $G$?

Доказать, что для любого элемента $g$ неединичной конечной группы $G$ существует такой нетривиальный неприводимый комплексный характер $\chi$ группы $G$, что $\chi (g) \neq 0$.

Доказать, что отображение группы $G$ в $\mathbb {C}$ является одномерным характером группы $G$ тогда и только тогда, когда это отображение является гомоморфизмом группы $G$ в группу $\mathbb {C}^{*}$.

Доказать, что центральная функция, равная произведению двух одномерных характеров группы $G$, является одномерным характером группы $G$.

Доказать, что операция умножения функций определяет во множестве одномерных характеров группы $G$ структуру абелевой группы $\widehat{G}$, двойственной к группе $G$.

Доказать, что для конечной циклической группы $A$ группа $\widehat{A}$ — конечная циклическая группа того же порядка.

Пусть конечная абелева группа $A$ разлагается в прямое произведение $A=A_{1} \times A_{2}, \alpha_{1} \in \widehat{A}_{1}, \alpha_{2} \in \widehat{A}_{2}$. Доказать, что отображение $A \rightarrow \mathbb {C}^{*}$, переводящее элемент $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ в $\alpha_{1}\left(a_{1}\right) \cdot \alpha_{2}\left(a_{2}\right)$, является одномерным характером группы $A$ и $\widehat{A} \simeq \widehat{A}_{1} \times \widehat{A}_{2}$.

Пусть $B$ — подгруппа конечной абелевой группы $A$ и

Доказать, что:

Пусть $\Phi$ — гомоморфизм группы $G$ в $\mathbf{G} \mathbf{L}_{n}(\mathbb {C})$.

Доказать, что:

Пусть $\Phi$ — неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{S}_{n}$ и $\Phi^{\prime }(\sigma )=\Phi (\sigma ) \operatorname {sgn} \sigma \left(\sigma \in \mathbf{S}_{n}\right)$.

Доказать, что $\Phi^{\prime }$ — представление группы $\mathbf{S}_{n}$ и следующие утверждения эквивалентны:

В задаче 58.11 задана группа матриц из $\mathbf{M}_{2}(\mathbb {C})$, изоморфная группе кватернионов $\mathbf{Q}_{8}$. Доказать неприводимость этого двумерного представления группы $\mathbf{Q}_{8}$ и найти его характер.

Найти характер представления группы $\mathbf{S}_{n}$ в пространстве с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$, задаваемого формулой

Найти характер двумерного представления группы $\mathbf{D}_{n}$, определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{D}_{n}$ с группой симметрий фиксированного правильного $n$-угольника.

Найти характер трехмерного представления группы $\mathbf{S}_{4}$, определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{S}_{4}$ с группой симметрий фиксированного правильного тетраэдра.

Найти характер представления группы $\mathbf{S}_{4}$, определяющегося изоморфизмом группы $\mathbf{S}_{4} \mathbf{c}$ группой вращений куба.

Составить таблицу неприводимых характеров групп:

Составить таблицу характеров одномерных представлений и вычислить группу одномерных характеров (задача 72.14) для групп:

Найти модуль определителя матрицы, строки которой совпадают со строками таблицы неприводимых характеров абелевой группы порядка $n$.

Составить таблицу неприводимых характеров групп:

Может ли характер представления некоторой группы порядка 8 принимать значения $(1,-1,2,0,0,-2,0,0)$?

Разложить центральную функцию

на $\mathbf{Q}_{8}$ по базису неприводимых характеров. Является ли она характером какого-либо представления?

Определить, какая из центральных функций на $\mathbf{S}_{3}$

является характером, и указать это представление.

Пусть $A$ — аддитивная группа конечномерного векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {F}_{p}$ и $\Psi$ — нетривиальный неприводимый (комплексный) характер аддитивной группы поля $\mathbb {F}_{p}$.

Пусть в условиях предыдущей задачи $f$ — комплекснозначная функция на $A$. Определим функцию $\widehat{f}$ на $\widehat{A}$, полагая для $\chi \in \widehat{A}$

Пусть $A$ — аддитивная группа поля $\mathbf{F}_{p}$. Рассмотрим функцию $f$ на $A$, полагая

Доказать, что если $\chi$ — неприводимый комплексный характер группы $A$, то $\left|(f, \chi )_{A}\right|=p^{-1 / 2}$.

Пусть $G$ — конечная группа, $H$ — её подгруппа. Доказать, что центральная функция на $H$, получающаяся ограничением на $H$ характера группы $G$, является характером группы $H$.

Пусть $\Phi$ — матричное $n$-мерное представление группы $G$. Построим представление $\Psi$ группы $G$ на пространстве квадратных матриц порядка $n$, полагая для $\mathcal{A} \in \mathbf{M}_{n}(K)$

Выразить $\chi_{\Psi }$ через $\chi_{\Phi }$.

Найти неприводимые слагаемые представления $\Psi$ задачи 72.36 и их кратности, если:

Пусть $\Phi$ — матричное $n$-мерное представление группы $G$. Построим представление $\Psi$ группы $G$ на пространстве квадратных матриц $\mathbf{M}_{n}(K)$, полагая

Выразить $\chi_{\Psi }$ через $\chi_{\Phi }$.

Пусть $\rho : G \rightarrow \mathbf{G L}(V)$ — регулярное комплексное представление группы $\langle a\rangle_{n}$. Найти кратность единичного представления группы $\mathbf{Z}_{n}$ в разложении представления $\rho^{\otimes m}$ (см. задачу 69.19) на неприводимые представления.

Пусть $\rho$ — двумерное неприводимое комплексное представление группы $\mathbf{S}_{3}$. Разложить на неприводимые представления:

Пусть $\rho :\langle a\rangle_{n} \mapsto \mathbf{G L}(V)$ — комплексное регулярное представление группы $\langle a\rangle_{n}$. Найти кратность единичного представления группы в разложении на неприводимые компоненты представления, возникающего на пространстве кососимметрических $m$-контравариантных тензоров на $V$ (см. задачу 69.19).

Пусть $\chi$ — характер группы $G, f$ — центральная функция на $G$,

Доказать, что $f$ — характер группы $G$.

Пусть $\Phi$ — представление группы $G=\mathrm{S}_{3}$ в пространстве $\mathbb {C}(G)$ всех комплекснозначных функций на $G$ :

$f_{0} \in \mathbb {C}(G)$ и $V_{0}$ — линейная оболочка множества элементов вида $\Phi_{\sigma } f_{0}$, где $\sigma \in G$.

Найти характер ограничения $\Phi$ на $V_{0}$ для:

Пусть $\Phi$ — комплексное представление конечной группы $G$ на пространстве $V, \Psi$ — представление группы $G$ на пространстве $W$. Обозначим через $T(\Phi , \Psi )$ пространство таких линейных отображений $S$ из $V$ в $W$, что $S \circ \Phi_{g}=\Psi_{g} \circ S$ для всех $g \in G$. Доказать, что