СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ и $\xi_n \rightarrow \eta$ п.н. Доказать, что тогда $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Пусть последовательность независимых случайных величин $\xi_n$ сходится почти наверное. Доказать, что дисперсия предела равна нулю.

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что последовательность случайных величин сходится почти наверное к некоторой случайной величине тогда и только тогда, когда она фундаментальна с вероятностью 1.

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что последовательность случайных величин $\{ \xi_n\}$ фундаментальна с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Пусть независимые случайные величины $\xi_n$ принимают значения 1 и 0 с вероятностями $p_n$ и $1 - p_n$ соответственно. При каких условиях на $p_n$ для последовательности случайных величин $\{ \xi_n\}$ имеет место сходимость п.н.:

Пусть $\Omega = [0, 1]$, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}\left(\right)$ --- мера Лебега. Доказать, что последовательность случайных величин

сходится п.н. и найти предел.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \rightarrow 1$ и $\eta_n \rightarrow 1$ п.н. Доказать, что:

Пусть $(\xi_n - \xi )^2 \rightarrow 0$ п.н. Доказать, что $\xi_n^2 \rightarrow \xi^2$ п.н.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. и $g(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \rightarrow g(\xi )$ п.н.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$, $\eta_n \rightarrow \eta$ п.н. и $g(x, y)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \rightarrow g(\xi , \eta )$ п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин такая, что для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ и $\{ \eta_n\}$ --- две последовательности случайных величин такие, что для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что если $\eta_n \rightarrow a$ п.н., то $\xi_n \rightarrow a$ п.н.

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы и $\xi_n \rightarrow 0$ п.н. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|\xi_n\right| > 1\right)$ сходится.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности положительных чисел $\{ \varepsilon_n\}$

то последовательность $\{ \xi_n\}$ с вероятностью 1 сходится к некоторой случайной величине.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\xi_n^2\right]$ сходится, то $\xi_n \rightarrow 0$ п.н.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- случайные величины такие, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^a\right]$ сходится при некотором $a > 0$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- последовательность независимых случайных величин таких, что $\mathbb {E}\left[\xi_n^2\right] < \sigma^2$ и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] = 0$. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {\xi_n}{2^n}$ сходится п.н.

Доказать, что радиус сходимости $R$ случайного степенного ряда $\sum_{i=0}^{\infty } \xi_i z^i$, коэффициенты $\xi_i$ которого независимы, есть константа (почти наверное).

Доказать, что радиус сходимости $R$ случайного степенного ряда $\sum_{i=0}^{\infty } \xi_i z^i$, коэффициенты $\xi_i$ которого независимы и имеют одинаковое невырожденное распределение, равен 1 или 0 в зависимости от того, конечен или бесконечен момент $\mathbb {E}\left[\ln (1 + \left|\xi_0\right|)\right]$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, имеющие распределение Коши. Доказать, что

а при $\alpha > 0$

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \prod_{i=1}^{n} \xi_i$ сходится п.н.

Пусть независимые одинаково распределённые случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ принимают значения в множестве $\{ 1, \ldots , J\}$, причём $p(k) = \mathbb {P}\left(\xi_1 = k\right) > 0$ при любом $k \in \{ 1, \ldots , J\}$. Обозначим через $N_n(k) = \sum_{i=1}^{n} \; \mathbb {1}_{\xi_i = k}$ число элементов $\xi_1, \ldots , \xi_n$, равных $k$; положим $\eta_n = \prod_{k=1}^{J} (p(k))^{N_n(k)}$. Доказать, что последовательность $\dfrac {\ln \eta_n}{n}$ сходится п.н., и найти её предел.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $\xi_n \xrightarrow {p} \eta$. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$. Доказать, что $(\xi_n - \eta_n) \xrightarrow {p} 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что из сходимости почти наверное вытекает сходимость по вероятности.

Доказать, что из сходимости по вероятности не вытекает, вообще говоря, сходимость почти наверное.

Пусть $\Omega$ --- единичная окружность, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}\left(\right)$ --- равномерное распределение на окружности. Пусть $\xi (\omega ) \equiv 1$, а

где $r(n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac {1}{k}$. Выяснить, сходится ли последовательность $\{ \xi_n\}$ к случайной величине $\xi$:

Доказать, что если последовательность $\xi_n$ сходится по вероятности к $\xi$, то существует подпоследовательность индексов $n_k$ такая, что $\xi_{n_k} \rightarrow \xi$ п.н. при $k \rightarrow \infty$.

Доказать, что если $\xi_1 \leqslant \xi_2 \leqslant \ldots$ и $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$, то $\xi_n$ сходятся к $\xi$ п.н.

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы. Доказать, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \xi_n$ сходится по вероятности, то он сходится и п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин, причём $\xi_n$ принимает значения $e^{-\alpha n}$ и $e^{\alpha n}$ с вероятностями $1 - e^{-\beta n}$ и $e^{-\beta n}$ соответственно. При каких значениях $\alpha$ и $\beta$ имеет место сходимость $\xi_n \xrightarrow {p} 0$?

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы, причём $\xi_n$ имеет:

Доказать, что $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$ и $\eta_n$ сходятся по вероятности к $\eta$ тогда и только тогда, когда последовательность случайных векторов $(\xi_n, \eta_n)$ сходится по вероятности к $(\xi , \eta )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $g(x)$ --- равномерно непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $g(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, причём $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) = 0$. Доказать, что $\dfrac {1}{\xi_n} \xrightarrow {p} \dfrac {1}{\xi }$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $A$ --- множество точек на прямой такое, что $\mathbb {P}\left(\xi \in A\right) = 0$. Рассмотрим функцию $g(x)$, для которой множество точек разрыва содержится в $A$. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} 1$ и $\eta_n \xrightarrow {p} 1$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $g(x, y)$ --- равномерно непрерывная ограниченная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \xrightarrow {p} g(\xi , \eta )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $g(x, y)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \xrightarrow {p} g(\xi , \eta )$.

Пусть $(\xi_n - \xi )^2 \xrightarrow {p} 0$. Доказать, что $\xi_n^2 \xrightarrow {p} \xi^2$. Верно ли обратное?

Доказать, что если $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ при $n \rightarrow \infty$ и $g(x)$ --- непрерывная и ограниченная функция, то $\mathbb {E}\left[g(\xi_n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[g(\xi )\right]$.

Привести пример, подтверждающий, что в условиях задачи 19.22, вообще говоря, нельзя отказаться от требования непрерывности и ограниченности функции $f$.

Пусть $g$ --- непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная на полупрямой $[0, \infty )$ функция, $g(0) = 0$. Доказать, что условие $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[g(\left|\xi_n\right|)\right] = 0$ необходимо и достаточно для того, чтобы $\xi_n \xrightarrow {p} 0$.

Доказать, что $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$ тогда и только тогда, когда

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости $\xi_n \xrightarrow {p} 0$ при $n \rightarrow \infty$ сходимость $\dfrac {\xi_1 + \ldots + \xi_n}{n} \xrightarrow {p} 0$?

Доказать, что сходимость по вероятности последовательности случайных величин влечёт слабую сходимость последовательности соответствующих распределений.

Привести пример, подтверждающий, что из слабой сходимости распределений не вытекает, вообще говоря, сходимость по вероятности последовательности случайных величин.

Пусть последовательность распределений $F_n$ слабо сходится к распределению $F$. На одном вероятностном пространстве построить случайную величину $\xi$ с распределением $F$ и каждую из $\xi_n$ с распределением $F_n$ так, чтобы имела место сходимость $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$.

Пусть $\xi_n$ слабо сходится к некоторой константе $c$. Доказать, что тогда $\xi_n \xrightarrow {p} c$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность вырожденных распределений, причём $F_n$ сосредоточено в точке $x_n$. Доказать, что слабая сходимость $F_n \Rightarrow F$ эквивалентна существованию предела $\lim_{n \rightarrow \infty } x_n = x$ и вырожденности распределения $F$ в точке $x$.

Построить пример последовательности распределений $\{ F_n\}$ и ограниченной функции $g$ таких, что $F_n \Rightarrow F$, но не выполняется соотношение

Построить пример последовательности распределений $\{ F_n\}$ и непрерывной функции $g$ таких, что $F_n \Rightarrow F$, но не выполняется соотношение

Пусть для любой ограниченной равномерно непрерывной функции $g$ имеет место сходимость интегралов

Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции $g$ имеет место сходимость интегралов

Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность распределений в $\mathbb {R}$. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:

1. $F_n \Rightarrow F$;

2. $\limsup_{n \rightarrow \infty } F_n(B) \leqslant F(B)$ для любого замкнутого множества $B$;

3. $\liminf_{n \rightarrow \infty } F_n(B) \geqslant F(B)$ для любого открытого множества $B$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность целочисленных распределений. Доказать, что $F_n \Rightarrow F$ тогда и только тогда, когда $F_n(\{ i\} ) \rightarrow F(\{ i\} )$ для каждого целого $i$.

Пусть $F, F_1, F_2, \ldots$ --- абсолютно непрерывные распределения с плотностями $p, p_1, p_2, \ldots$ соответственно. Доказать, что если $p_n(x) \rightarrow p(x)$ при $n \rightarrow \infty$ равномерно на любом компакте, то $F_n \Rightarrow F$. Верно ли обратное?

Рассмотрим последовательность функций распределения

Выяснить, существует ли у данной последовательности слабый предел.

Пусть $F$ --- мера Лебега на отрезке $[0, 1]$, а распределение $F_n$ приписывает вероятность $1/n$ точкам, выбранным произвольным образом по одной в интервалах $\left[\dfrac {i-1}{n}, \dfrac {i}{n}\right)$, $i = 1, \ldots , n$. Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть случайная величина $\xi_n$ имеет равномерное распределение в интервале $[-\sqrt{n}, n]$. Имеет ли место слабая сходимость последовательности распределений случайных величин:

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $f(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $f(\xi_n) \Rightarrow f(\xi )$.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$. Верно ли, что $\xi_n - \xi \Rightarrow 0$?

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $a_n \rightarrow a$, где $\{ a_n\}$ --- числовая последовательность, $a \in \mathbb {R}$. Доказать, что $a_n \xi_n \Rightarrow a \xi$.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $\eta_n \Rightarrow \eta$, причём, во-первых, $\xi_n$ и $\eta_n$ независимы при каждом $n$ и, во-вторых, $\xi$ и $\eta$ также независимы. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $\eta_n \xrightarrow {p} 0$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n$ --- независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным вторым моментом. Доказать, что

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром 1. Положим $\zeta_n = \max (\xi_1, \ldots , \xi_n)$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$. Положим $\zeta_n = \min (\xi_1, \ldots , \xi_n)$. Найти предельное распределение $n^{\gamma } \zeta_n$ при $\gamma \in \mathbb {R}$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые одинаково распределённые случайные величины с непрерывной функцией распределения $F$. Найти предельное распределение случайной величины $\zeta_n = n(1 - F(M_n))$, где $M_n = \max (\xi_1, \ldots , \xi_n)$.

Доказать, что слабый предел последовательности безгранично делимых распределений безгранично делим.

Доказать, что из сходимости в среднем порядка $\alpha > 0$ следует сходимость в среднем порядка $\beta$ для любого $\beta \in (0, \alpha )$.

Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо порядка вытекает сходимость по вероятности.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости в среднем порядка $\alpha$ не вытекает, вообще говоря, сходимость почти наверное.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости по вероятности не вытекает, вообще говоря, сходимость в среднем порядка $\alpha$.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости почти наверное не вытекает, вообще говоря, сходимость в среднем порядка $\alpha$.

Доказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится в среднем порядка $\alpha$ тогда и только тогда, когда последовательность $\left|\xi_n\right|^{\alpha }$ равномерно интегрируема и $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$.

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\left|\xi_n\right| \leqslant c < \infty$ п.н. при всех $n$ и $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] \rightarrow 0$ при любом $\alpha > 0$.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- неотрицательные случайные величины такие, что $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|\right] \rightarrow 0$.

Пусть $\alpha > 0$ и $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{\alpha }\right] < \infty$ при всех $n$. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{\alpha }\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$;

2. $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть семейство $\{ \xi_n\}$ случайных величин равномерно интегрируемо. Доказать, что $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$.

Пусть последовательность $\{ \xi_n\}$ случайных величин такова, что $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{1+\delta }\right] < \infty$ при некотором $\delta > 0$. Доказать, что эта последовательность равномерно интегрируема.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

1. семейство $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируемо;

2. найдётся такая неотрицательная функция $g(x)$, что $g(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \infty$ и $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right| g(\left|\xi_n\right|)\right] < \infty$.

Пусть последовательность $\{ \xi_n\}$ случайных величин такова, что $\mathbb {P}\left(\left|\xi_n\right| \geqslant x\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta \right| \geqslant x\right)$ для любого $x > 0$, причём $\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|\right] < \infty$. Доказать, что $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность неотрицательных случайных величин с конечными средними значениями такая, что распределение $\xi_n$ слабо сходится к распределению случайной величины $\xi$ и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что эта последовательность равномерно интегрируема.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. последовательность $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема;

2. $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$, $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty$ и при $n \rightarrow \infty$

   $$\mathbb {E}\left[\max (0, \xi _n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\max (0, \xi )\right], \qquad \mathbb {E}\left[\min (0, \xi _n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\min (0, \xi )\right].$$

Пусть последовательности $\xi_n$ и $\eta_n$ равномерно интегрируемы. Доказать, что равномерно интегрируемы последовательности:

Пусть независимые случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ одинаково распределены и имеют конечное среднее значение; положим $S_n = \xi_1 + \ldots + \xi_n$. Доказать, что последовательность случайных величин $\{ S_n / n, n \geqslant 1\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин с конечными средними значениями, причём $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right]$ при $n \rightarrow \infty$. Выяснить, следует ли отсюда сходимость $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n + x\right|\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi + x\right|\right]$.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- неотрицательные случайные величины такие, что $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {P}\left(\xi > \xi_n + \varepsilon \right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ для любого $\varepsilon > 0$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|\right] \rightarrow 0$.

Пусть $\left|\xi_n - \xi \right| \leqslant \eta_n$ для любого $n$, $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\eta_n\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$.