Слабая сходимость

Доказать, что сходимость по вероятности последовательности случайных величин влечёт слабую сходимость последовательности соответствующих распределений.

Привести пример, подтверждающий, что из слабой сходимости распределений не вытекает, вообще говоря, сходимость по вероятности последовательности случайных величин.

Пусть последовательность распределений $F_n$ слабо сходится к распределению $F$. На одном вероятностном пространстве построить случайную величину $\xi$ с распределением $F$ и каждую из $\xi_n$ с распределением $F_n$ так, чтобы имела место сходимость $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$.

Пусть $\xi_n$ слабо сходится к некоторой константе $c$. Доказать, что тогда $\xi_n \xrightarrow {p} c$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность вырожденных распределений, причём $F_n$ сосредоточено в точке $x_n$. Доказать, что слабая сходимость $F_n \Rightarrow F$ эквивалентна существованию предела $\lim_{n \rightarrow \infty } x_n = x$ и вырожденности распределения $F$ в точке $x$.

Построить пример последовательности распределений $\{ F_n\}$ и ограниченной функции $g$ таких, что $F_n \Rightarrow F$, но не выполняется соотношение

Построить пример последовательности распределений $\{ F_n\}$ и непрерывной функции $g$ таких, что $F_n \Rightarrow F$, но не выполняется соотношение

Пусть для любой ограниченной равномерно непрерывной функции $g$ имеет место сходимость интегралов

Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции $g$ имеет место сходимость интегралов

Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность распределений в $\mathbb {R}$. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:

1. $F_n \Rightarrow F$;

2. $\limsup_{n \rightarrow \infty } F_n(B) \leqslant F(B)$ для любого замкнутого множества $B$;

3. $\liminf_{n \rightarrow \infty } F_n(B) \geqslant F(B)$ для любого открытого множества $B$.

Пусть $\{ F_n\}$ --- последовательность целочисленных распределений. Доказать, что $F_n \Rightarrow F$ тогда и только тогда, когда $F_n(\{ i\} ) \rightarrow F(\{ i\} )$ для каждого целого $i$.

Пусть $F, F_1, F_2, \ldots$ --- абсолютно непрерывные распределения с плотностями $p, p_1, p_2, \ldots$ соответственно. Доказать, что если $p_n(x) \rightarrow p(x)$ при $n \rightarrow \infty$ равномерно на любом компакте, то $F_n \Rightarrow F$. Верно ли обратное?

Рассмотрим последовательность функций распределения

Выяснить, существует ли у данной последовательности слабый предел.

Пусть $F$ --- мера Лебега на отрезке $[0, 1]$, а распределение $F_n$ приписывает вероятность $1/n$ точкам, выбранным произвольным образом по одной в интервалах $\left[\dfrac {i-1}{n}, \dfrac {i}{n}\right)$, $i = 1, \ldots , n$. Доказать, что $F_n \Rightarrow F$.

Пусть случайная величина $\xi_n$ имеет равномерное распределение в интервале $[-\sqrt{n}, n]$. Имеет ли место слабая сходимость последовательности распределений случайных величин:

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $f(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $f(\xi_n) \Rightarrow f(\xi )$.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$. Верно ли, что $\xi_n - \xi \Rightarrow 0$?

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $a_n \rightarrow a$, где $\{ a_n\}$ --- числовая последовательность, $a \in \mathbb {R}$. Доказать, что $a_n \xi_n \Rightarrow a \xi$.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $\eta_n \Rightarrow \eta$, причём, во-первых, $\xi_n$ и $\eta_n$ независимы при каждом $n$ и, во-вторых, $\xi$ и $\eta$ также независимы. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $\eta_n \xrightarrow {p} 0$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n$ --- независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным вторым моментом. Доказать, что

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром 1. Положим $\zeta_n = \max (\xi_1, \ldots , \xi_n)$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$. Положим $\zeta_n = \min (\xi_1, \ldots , \xi_n)$. Найти предельное распределение $n^{\gamma } \zeta_n$ при $\gamma \in \mathbb {R}$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые одинаково распределённые случайные величины с непрерывной функцией распределения $F$. Найти предельное распределение случайной величины $\zeta_n = n(1 - F(M_n))$, где $M_n = \max (\xi_1, \ldots , \xi_n)$.

Доказать, что слабый предел последовательности безгранично делимых распределений безгранично делим.