Сходимость почти наверное

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ и $\xi_n \rightarrow \eta$ п.н. Доказать, что тогда $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Пусть последовательность независимых случайных величин $\xi_n$ сходится почти наверное. Доказать, что дисперсия предела равна нулю.

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что последовательность случайных величин сходится почти наверное к некоторой случайной величине тогда и только тогда, когда она фундаментальна с вероятностью 1.

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что последовательность случайных величин $\{ \xi_n\}$ фундаментальна с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon > 0$

Пусть независимые случайные величины $\xi_n$ принимают значения 1 и 0 с вероятностями $p_n$ и $1 - p_n$ соответственно. При каких условиях на $p_n$ для последовательности случайных величин $\{ \xi_n\}$ имеет место сходимость п.н.:

Пусть $\Omega = [0, 1]$, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}\left(\right)$ --- мера Лебега. Доказать, что последовательность случайных величин

сходится п.н. и найти предел.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \rightarrow 1$ и $\eta_n \rightarrow 1$ п.н. Доказать, что:

Пусть $(\xi_n - \xi )^2 \rightarrow 0$ п.н. Доказать, что $\xi_n^2 \rightarrow \xi^2$ п.н.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н. и $g(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \rightarrow g(\xi )$ п.н.

Пусть $\xi_n \rightarrow \xi$, $\eta_n \rightarrow \eta$ п.н. и $g(x, y)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \rightarrow g(\xi , \eta )$ п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин такая, что для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ и $\{ \eta_n\}$ --- две последовательности случайных величин такие, что для любого $\varepsilon > 0$

Доказать, что если $\eta_n \rightarrow a$ п.н., то $\xi_n \rightarrow a$ п.н.

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы и $\xi_n \rightarrow 0$ п.н. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {P}\left(\left|\xi_n\right| > 1\right)$ сходится.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности положительных чисел $\{ \varepsilon_n\}$

то последовательность $\{ \xi_n\}$ с вероятностью 1 сходится к некоторой случайной величине.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\xi_n^2\right]$ сходится, то $\xi_n \rightarrow 0$ п.н.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- случайные величины такие, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^a\right]$ сходится при некотором $a > 0$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- последовательность независимых случайных величин таких, что $\mathbb {E}\left[\xi_n^2\right] < \sigma^2$ и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] = 0$. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {\xi_n}{2^n}$ сходится п.н.

Доказать, что радиус сходимости $R$ случайного степенного ряда $\sum_{i=0}^{\infty } \xi_i z^i$, коэффициенты $\xi_i$ которого независимы, есть константа (почти наверное).

Доказать, что радиус сходимости $R$ случайного степенного ряда $\sum_{i=0}^{\infty } \xi_i z^i$, коэффициенты $\xi_i$ которого независимы и имеют одинаковое невырожденное распределение, равен 1 или 0 в зависимости от того, конечен или бесконечен момент $\mathbb {E}\left[\ln (1 + \left|\xi_0\right|)\right]$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \ldots$ --- независимые случайные величины, имеющие распределение Коши. Доказать, что

а при $\alpha > 0$

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы и имеют равномерное распределение на отрезке $[0, 1]$. Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \prod_{i=1}^{n} \xi_i$ сходится п.н.

Пусть независимые одинаково распределённые случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ принимают значения в множестве $\{ 1, \ldots , J\}$, причём $p(k) = \mathbb {P}\left(\xi_1 = k\right) > 0$ при любом $k \in \{ 1, \ldots , J\}$. Обозначим через $N_n(k) = \sum_{i=1}^{n} \; \mathbb {1}_{\xi_i = k}$ число элементов $\xi_1, \ldots , \xi_n$, равных $k$; положим $\eta_n = \prod_{k=1}^{J} (p(k))^{N_n(k)}$. Доказать, что последовательность $\dfrac {\ln \eta_n}{n}$ сходится п.н., и найти её предел.