Сходимость средних и в среднем

Доказать, что из сходимости в среднем порядка $\alpha > 0$ следует сходимость в среднем порядка $\beta$ для любого $\beta \in (0, \alpha )$.

Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо порядка вытекает сходимость по вероятности.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости в среднем порядка $\alpha$ не вытекает, вообще говоря, сходимость почти наверное.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости по вероятности не вытекает, вообще говоря, сходимость в среднем порядка $\alpha$.

Привести пример, подтверждающий, что из сходимости почти наверное не вытекает, вообще говоря, сходимость в среднем порядка $\alpha$.

Доказать, что последовательность случайных величин $\xi_n$ сходится в среднем порядка $\alpha$ тогда и только тогда, когда последовательность $\left|\xi_n\right|^{\alpha }$ равномерно интегрируема и $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$.

Пусть $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ п.н.

Пусть $\left|\xi_n\right| \leqslant c < \infty$ п.н. при всех $n$ и $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] \rightarrow 0$ при любом $\alpha > 0$.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- неотрицательные случайные величины такие, что $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|\right] \rightarrow 0$.

Пусть $\alpha > 0$ и $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{\alpha }\right] < \infty$ при всех $n$. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{\alpha }\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|^{\alpha }\right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$;

2. $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|^{\alpha }\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть семейство $\{ \xi_n\}$ случайных величин равномерно интегрируемо. Доказать, что $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$.

Пусть последовательность $\{ \xi_n\}$ случайных величин такова, что $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|^{1+\delta }\right] < \infty$ при некотором $\delta > 0$. Доказать, что эта последовательность равномерно интегрируема.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин. Доказать, что следующие условия эквивалентны:

1. семейство $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируемо;

2. найдётся такая неотрицательная функция $g(x)$, что $g(x) \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \infty$ и $\sup_n \mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right| g(\left|\xi_n\right|)\right] < \infty$.

Пусть последовательность $\{ \xi_n\}$ случайных величин такова, что $\mathbb {P}\left(\left|\xi_n\right| \geqslant x\right) \leqslant \mathbb {P}\left(\left|\eta \right| \geqslant x\right)$ для любого $x > 0$, причём $\mathbb {E}\left[\left|\eta \right|\right] < \infty$. Доказать, что $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность неотрицательных случайных величин с конечными средними значениями такая, что распределение $\xi_n$ слабо сходится к распределению случайной величины $\xi$ и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right] < \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что эта последовательность равномерно интегрируема.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. последовательность $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема;

2. $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$, $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty$ и при $n \rightarrow \infty$

   $$\mathbb {E}\left[\max (0, \xi _n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\max (0, \xi )\right], \qquad \mathbb {E}\left[\min (0, \xi _n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\min (0, \xi )\right].$$

Пусть последовательности $\xi_n$ и $\eta_n$ равномерно интегрируемы. Доказать, что равномерно интегрируемы последовательности:

Пусть независимые случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ одинаково распределены и имеют конечное среднее значение; положим $S_n = \xi_1 + \ldots + \xi_n$. Доказать, что последовательность случайных величин $\{ S_n / n, n \geqslant 1\}$ равномерно интегрируема.

Пусть $x \in \mathbb {R}$ и $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин с конечными средними значениями, причём $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right]$ при $n \rightarrow \infty$. Выяснить, следует ли отсюда сходимость $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n + x\right|\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\left|\xi + x\right|\right]$.

Пусть $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ --- неотрицательные случайные величины такие, что $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {P}\left(\xi > \xi_n + \varepsilon \right) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ для любого $\varepsilon > 0$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|\right] \rightarrow 0$.

Пусть $\left|\xi_n - \xi \right| \leqslant \eta_n$ для любого $n$, $\mathbb {E}\left[\left|\xi \right|\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\eta_n\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что $\xi_n \rightarrow \xi$ по вероятности и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$.

Пусть случайные величины $\xi , \xi_1, \xi_2, \ldots$ таковы, что $\xi_n \Rightarrow \xi$ и $\operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \rightarrow \operatorname {Var}\left[\xi \right]$. Доказать, что $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- равномерно интегрируемая последовательность случайных величин такая, что распределение $\xi_n$ слабо сходится к распределению случайной величины $\xi$. Доказать, что существует $\mathbb {E}\left[\xi \right]$ и $\mathbb {E}\left[\xi_n\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[\xi \right]$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $\xi_n \Rightarrow \xi$. Доказать, что $\liminf_{n \rightarrow \infty } \operatorname {Var}\left[\xi_n\right] \geqslant \operatorname {Var}\left[\xi \right]$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, причём $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$ при всех $n$ и выполняется

Доказать, что последовательность случайных величин $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема и $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n - \xi \right|\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, причём $\mathbb {E}\left[\left|\xi_n\right|\right] < \infty$ при всех $n$ и выполняется

Доказать, что последовательность случайных величин $\{ \xi_n\}$ равномерно интегрируема и $\mathbb {E}\left[(\xi_n - \xi )^2\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \xi_n$ из некоррелированных случайных величин сходится в среднеквадратичном тогда и только тогда, когда сходятся ряды $\sum_{n=1}^{\infty } \mathbb {E}\left[\xi_n\right]$ и $\sum_{n=1}^{\infty } \operatorname {Var}\left[\xi_n\right]$.