Сходимость по вероятности

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $\xi_n \xrightarrow {p} \eta$. Доказать, что $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $\mathbb {P}\left(\xi = \eta \right) = 1$. Доказать, что $(\xi_n - \eta_n) \xrightarrow {p} 0$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что из сходимости почти наверное вытекает сходимость по вероятности.

Доказать, что из сходимости по вероятности не вытекает, вообще говоря, сходимость почти наверное.

Пусть $\Omega$ --- единичная окружность, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}\left(\right)$ --- равномерное распределение на окружности. Пусть $\xi (\omega ) \equiv 1$, а

где $r(n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac {1}{k}$. Выяснить, сходится ли последовательность $\{ \xi_n\}$ к случайной величине $\xi$:

Доказать, что если последовательность $\xi_n$ сходится по вероятности к $\xi$, то существует подпоследовательность индексов $n_k$ такая, что $\xi_{n_k} \rightarrow \xi$ п.н. при $k \rightarrow \infty$.

Доказать, что если $\xi_1 \leqslant \xi_2 \leqslant \ldots$ и $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$, то $\xi_n$ сходятся к $\xi$ п.н.

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы. Доказать, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } \xi_n$ сходится по вероятности, то он сходится и п.н.

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин, причём $\xi_n$ принимает значения $e^{-\alpha n}$ и $e^{\alpha n}$ с вероятностями $1 - e^{-\beta n}$ и $e^{-\beta n}$ соответственно. При каких значениях $\alpha$ и $\beta$ имеет место сходимость $\xi_n \xrightarrow {p} 0$?

Пусть случайные величины $\xi_1, \xi_2, \ldots$ независимы, причём $\xi_n$ имеет:

Доказать, что $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$ и $\eta_n$ сходятся по вероятности к $\eta$ тогда и только тогда, когда последовательность случайных векторов $(\xi_n, \eta_n)$ сходится по вероятности к $(\xi , \eta )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $g(x)$ --- равномерно непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $g(x)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, причём $\mathbb {P}\left(\xi = 0\right) = 0$. Доказать, что $\dfrac {1}{\xi_n} \xrightarrow {p} \dfrac {1}{\xi }$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $A$ --- множество точек на прямой такое, что $\mathbb {P}\left(\xi \in A\right) = 0$. Рассмотрим функцию $g(x)$, для которой множество точек разрыва содержится в $A$. Доказать, что $g(\xi_n) \xrightarrow {p} g(\xi )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} 1$ и $\eta_n \xrightarrow {p} 1$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ и $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$. Доказать, что:

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $g(x, y)$ --- равномерно непрерывная ограниченная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \xrightarrow {p} g(\xi , \eta )$.

Пусть $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$, $\eta_n \xrightarrow {p} \eta$ и $g(x, y)$ --- непрерывная функция. Доказать, что $g(\xi_n, \eta_n) \xrightarrow {p} g(\xi , \eta )$.

Пусть $(\xi_n - \xi )^2 \xrightarrow {p} 0$. Доказать, что $\xi_n^2 \xrightarrow {p} \xi^2$. Верно ли обратное?

Доказать, что если $\xi_n \xrightarrow {p} \xi$ при $n \rightarrow \infty$ и $g(x)$ --- непрерывная и ограниченная функция, то $\mathbb {E}\left[g(\xi_n)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[g(\xi )\right]$.

Привести пример, подтверждающий, что в условиях задачи 19.22, вообще говоря, нельзя отказаться от требования непрерывности и ограниченности функции $f$.

Пусть $g$ --- непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная на полупрямой $[0, \infty )$ функция, $g(0) = 0$. Доказать, что условие $\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {E}\left[g(\left|\xi_n\right|)\right] = 0$ необходимо и достаточно для того, чтобы $\xi_n \xrightarrow {p} 0$.

Доказать, что $\xi_n$ сходятся по вероятности к $\xi$ тогда и только тогда, когда

Пусть $\{ \xi_n\}$ --- последовательность случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходимости $\xi_n \xrightarrow {p} 0$ при $n \rightarrow \infty$ сходимость $\dfrac {\xi_1 + \ldots + \xi_n}{n} \xrightarrow {p} 0$?