УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

Пусть $\mathbb {P}\left(A_1 \mid A_2\right) = \mathbb {P}\left(A_1\right)$. Показать справедливость следующих равенств:

Верны ли равенства:

Доказать формулу сложения для условных вероятностей:

Выразить условную вероятность $\mathbb {P}\left(C \mid \overline{A}\, \overline{B}\right)$ через какие-либо из следующих вероятностей: $\mathbb {P}\left(A\right)$, $\mathbb {P}\left(B\right)$, $\mathbb {P}\left(C\right)$, $\mathbb {P}\left(AB\right)$, $\mathbb {P}\left(BC\right)$, $\mathbb {P}\left(AC\right)$ и $\mathbb {P}\left(ABC\right)$.

Доказать, что если $C \subseteq B \subseteq A$, то имеет место равенство $\mathbb {P}\left(C \mid A\right) = \mathbb {P}\left(C \mid B\right)\mathbb {P}\left(B \mid A\right)$.

Известно, что $\mathbb {P}\left(A \mid B\right)$ может быть представлена как взвешенное среднее вероятностей $\mathbb {P}\left(A \mid BC\right)$ и $\mathbb {P}\left(A \mid B\overline{C}\right)$. Найти соответствующие веса.

Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой?

Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из них выпала единица, если на всех трёх костях выпали разные числа?

Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала по крайней мере одна единица. Какова при этом вероятность того, что выпали две или более единицы?

Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть число чётное?

Четыре шара последовательно размещаются в четырёх ящиках. Какова вероятность того, что один из ящиков будет содержать ровно три шара, если известно, что первые два шара оказались в разных ячейках?

Рассмотрим семью с двумя детьми. Какова вероятность того, что в семье оба ребёнка --- мальчики, если:

Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для этого потребовалось чётное число бросаний. Найти вероятность того, что единица впервые выпадет при втором бросании.

Из колоды карт (36 листов) последовательно вынуты две карты. Найти:

Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят --- она оказалась:

Из полной колоды карт (52 листа) вынимают одновременно $n$ карт, $n < 52$. Одну из них смотрят --- она оказывается королём. После этого её перемешивают с остальными вынутыми картами. Найти вероятность того, что повторный выбор из этих $n$ карт опять даст короля.

Письмо находится в письменном столе с вероятностью $p$, причём с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова при этом вероятность, что письмо:

В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что среди них:

Известно, что в обществе, состоящем из 4 человек, дни рождения трёх приходятся на один месяц, а четвёртого --- на один из остальных одиннадцати. Считая вероятность рождения в каждом месяце равной $1/12$, найти вероятность того, что при этом:

Два игрока играют в безобидную игру (у обоих шансы победить одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась до того, как один из них выиграл приз, например, первый игрок выиграл 5 партий, а второй --- 3. Как справедливо следует разделить приз?

Доказать, что если события $A_1, \ldots , A_n$ независимы в совокупности, то они и попарно независимы.

Доказать, что если события $A$ и $B$ независимы, то также независимы события:

Доказать, что если события $A$ и $B$ несовместны, причём $\mathbb {P}\left(A\right) > 0$ и $\mathbb {P}\left(B\right) > 0$, то события $A$ и $B$ зависимы.

Пусть событие $A$ таково, что оно не зависит от самого себя. Доказать, что тогда $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Пусть события $A$ и $B$ независимы. Доказать, что если $A \subseteq B$, то $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(B\right) = 1$.

Выяснить, какими должны быть события $A$ и $B$, чтобы события $AB$ и $A \cup B$ были независимы?

Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или нет события $A = \left\{ \text{выпал герб на первой монете}\right\}$ и $B = \left\{ \text{выпала хотя бы одна решка}\right\}$.

Точка $\xi = (\xi_1, \xi_2)$ выбрана наудачу в квадрате $[0,1]^2$. При каких значениях $r$ события $A = \left\{ \left|\xi_1 - \xi_2\right| \geqslant r\right\}$ и $B = \left\{ \xi_1 + \xi_2 \leqslant 3r\right\}$ независимы?

Рассмотрим все возможные перестановки четырёх букв $a$, $b$, $c$ и $d$. Определить, зависимы или нет события $A = \left\{ a \text{ предшествует } b\right\}$ и $B = \left\{ c \text{ предшествует } d\right\}$.

Брошены две игральные кости. Рассмотрим три события: $A$ --- на первой кости выпало нечётное число, $B$ --- на второй кости выпало нечётное число, $C$ --- сумма чисел на обеих костях нечётна. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

Точка $\xi = (\xi_1, \xi_2)$ выбрана наудачу в квадрате $[0,1]^2$. Определим три события равенствами $A = \left\{ \xi_1 \leqslant 1/2\right\}$, $B = \left\{ \xi_2 \leqslant 1/2\right\}$ и $C = \left\{ (\xi_1 - 1/2)(\xi_2 - 1/2) \leqslant 0\right\}$. Проверить, зависимы или нет эти события:

Брошены три игральные кости. Событие $A$ состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, $B$ --- одинаковое число очков на второй и третьей костях, а $C$ --- на первой и третьей. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

На плоскость брошен тетраэдр, три грани которого покрашены соответственно в красный, синий и зелёный цвета, а на четвёртую грань нанесены все три цвета. Событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С --- грань, содержащая синий цвет, и З --- зелёный цвет. Проверить, зависимы или нет события К, С и З:

Брошены две правильные монеты. Пусть событие $A$ состоит в том, что на первой монете выпал герб, событие $B$ --- на второй монете выпал герб и событие $C$ --- на одной (и только на одной) монете выпал герб. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

Пусть события $A_1, \ldots , A_n$ независимы в совокупности и имеют вероятности $\mathbb {P}\left(A_k\right) = p_k$. Найти вероятности:

Электрическая цепь состоит из элементов $A_k$, соединённых по следующей схеме:

Пусть $\Omega = [0, 1]$, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}$ --- мера Лебега и $A = [0, 1/2]$. Построить события $B$ и $C$ такие, что $\mathbb {P}\left(B\right) = \mathbb {P}\left(C\right) = 1/2$, причём события $A$, $B$ и $C$ независимы в совокупности.

Имеются 3 попарно независимых события, которые, однако, все вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность $p$, определить наибольшее возможное значение $p$.

Пусть события $A$, $B$ и $C$ попарно независимы и $\mathbb {P}\left(C\right) > 0$. Верно ли равенство $\mathbb {P}\left(A \cup B \mid C\right) = \mathbb {P}\left(A \cup B\right)$?

Какое минимальное число точек должно иметь конечное вероятностное пространство, чтобы на этом пространстве можно было задать $n$ независимых в совокупности событий $A_1, \ldots , A_n$, вероятности которых отличны от нуля и единицы?

Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент времени $t_0 = 0$ столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента $t_1$, испытает столкновение в промежутке времени между $t_1$ и $t_1 + \Delta t$ равна $\lambda \Delta t + o(\Delta t)$ при $\Delta t \to 0$. Найти вероятность того, что время свободного пробега (время между двумя соседними столкновениями) будет больше $t$.

Найти вероятность того, что станок, работающий в момент $t_0$, не остановится до момента $t_1$, если известно, что:

1. эта вероятность зависит только от величины промежутка времени $(t_0, t_1)$;

2. работающий в момент времени $t$ станок остановится в промежутке времени $(t, t + \Delta )$ с вероятностью $\alpha \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$, где $\alpha > 0$.

При составлении таблиц смертности часто исходят из следующих допущений:

1. дожившее до возраста $t$ лицо умрёт в течение времени от $t$ до $t + \Delta$ с вероятностью $p(t, \Delta ) = \alpha (t)\Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$, где $\alpha (t) > 0$;

2. вероятность смерти в момент рождения равна нулю. Найти при этих предположениях вероятность смерти до возраста $t$.

Пусть вероятность попадания в цель равна $1/5$. Производится 10 независимых выстрелов. Какова вероятность попадания в цель по меньшей мере дважды?

Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из восьми случайно взятых в этом месяце дней три дня окажутся дождливыми?

Считая вероятность рождения мальчика равной $1/2$, найти вероятность того, что в семье с 10 детьми:

Среди коконов некоторой партии 30 цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов:

Из урны, содержащей:

Что вероятнее: при бросании четырёх игральных костей хотя бы на одной получить единицу или при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить две единицы?

Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

Некий математик носит с собой два коробка спичек, в каждом из которых первоначально было по $N$ спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наугад один из коробков. Найти вероятность того, что когда математик вытащит в первый раз пустой коробок, в другом будет $r$ спичек.

(Обобщение задачи Банаха о спичечных коробках, см. 6.8.) Некто носит с собой два коробка спичек А и Б, в которых первоначально было $M$ и $N$ спичек соответственно. Когда ему нужна спичка, он берёт её из коробка А с вероятностью $p$ или из коробка Б с вероятностью $1-p$. Найти вероятность того, что когда математик вытащит в первый раз пустой коробок, в другом будет $r$ спичек.

Два человека независимо друг от друга подбрасывают монету по $n$ раз каждый.

Используя схему Бернулли, доказать комбинаторные тождества:

Найти предел при $n \to \infty$ вероятности того, что при бросании правильной монеты $n$ раз число гербов будет в точности равно числу решек.

Вероятность удачного результата при проведении сложного химического опыта равна $2/3$. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее число равно 7.

Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна $1/5$. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна $4/5$. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Симметричную монету бросают до тех пор, пока она не выпадет одной и той же стороной два раза подряд. Найти вероятности следующих событий:

Монету бросают до тех пор, пока герб не выпадет в $m$-й раз. Найти вероятность того, что опыт закончится при $n$-м бросании, если:

Двое играют в игру, поочерёдно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первый откроет решётку. Чему равна вероятность выигрыша для начавшего игру?

Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью $p$ оказаться дефектным. Найти вероятность того, что:

На отрезок $AB$ длиной $a$ брошены наудачу, независимо одна от другой, шесть точек. Найти вероятность того, что:

Какова вероятность получить каждую грань дважды при бросании двенадцати игральных костей?

Два шахматиста $A$ и $B$ согласились сыграть матч на следующих условиях: $A$ должен для победы набрать 12 очков (выигрыш --- очко), $B$ должен набрать 6 очков, причём ничьи не учитываются. $A$ обычно вдвое чаще выигрывает у $B$, если считать только результативные партии, так что вероятность его выигрыша можно принять равной $2/3$. Игру пришлось прекратить после того, как $A$ набрал 8 очков, а $B$ набрал 4 очка. Победу решено присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше. Кто победитель?

В схеме Бернулли вероятность успеха равна $p$, а вероятность неуспеха $q = 1-p$. Найти вероятность того, что:

Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости, а игрок Б в то же время --- две кости. Эти испытания они проводят последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятности следующих событий:

При раздаче колоды в 52 карты четырём игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на «невезение»?

В одном учебном заведении обучаются 730 студентов. День рождения наудачу выбранного студента приходится на определённый день года с вероятностью $1/365$ для каждого из 365 дней. Найти:

Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, вынимаются наудачу два шара и перекладываются во вторую урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

Студент пришел на зачёт, зная из 30 вопросов только 24. Если студент не знает ответа на поставленный вопрос, преподаватель задаёт ему ещё один, дополнительный. Зачёт ставится, если студент правильно отвечает хотя бы на один вопрос. Какова вероятность получения зачёта?

Пусть имеется $n$ одинаковых урн. Известно, что урна с номером $i$ содержит $M_i$ шаров, среди которых имеется $m_i$ белых шаров. Наугад выбирается урна, а из неё вынимается шар. Какова вероятность того, что вынут белый шар?

Среди $N$ экзаменационных билетов $n$ «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошёл первым, или у того, кто подошёл вторым? Или у того, кто подошёл третьим?

Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна $3/10$; вероятность попадания в него в этом случае при каждом отдельном выстреле равна $1/5$. Какова вероятность попадания:

Три игрока А, Б и В участвуют в игре по следующей схеме. В первом туре играют А и Б, а В свободен. Проигравший заменяется игроком В, и во втором туре играют победитель и В, а игрок, потерпевший поражение в первом туре, свободен. Соревнование продолжается таким образом до тех пор, пока один из игроков не выиграет двух партий подряд, и в этом случае его объявляют победителем. Считая игроков равными по силе и исключая возможность ничьих, найти вероятность того, что:

Спортивные общества $A$ и $B$ состязаются тремя командами. Вероятности выигрыша матчей команд общества $A$ против соответствующих команд $B$ можно принять соответственно равными $4/5$ для первой (против первой $B$), $2/5$ для второй (против второй $B$), $2/5$ для третьей (против третьей $B$). Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трёх (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

В ящике находится $a$ новых и $b$ игранных теннисных мячей. Из ящика наугад вынимаются два мяча и ими играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.

Предположим, что в среднем 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах --- по 2 белых и 3 чёрных шара в каждой; в третьей и четвёртой урнах --- по 1 белому и 4 чёрных шара; в пятой урне --- 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался:

На заводе, изготовляющем болты, на долю машин $A$, $B$ и $C$ приходится соответственно 25, 35 и 40 всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность, что он был изготовлен:

Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причём объём продукции второго завода в $k$ раз превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода $p_1$, у второго --- $p_2$. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Из урны, в которой было $m \geqslant 3$ белых шаров и $n$ чёрных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из неё наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

При некоторых условиях стрельбы стрелок $A$ поражает мишень с вероятностью $p_1 = 3/5$, стрелок $B$ --- с вероятностью $p_2 = 1/2$, стрелок $C$ --- с вероятностью $p_3 = 2/5$. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее, попал $C$ в мишень или нет?

По каналу связи может быть передана одна из трёх последовательностей букв: $AAAA$, $BBBB$, $CCCC$, причём априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно $3/10$, $2/5$ и $3/10$. Известно, что под действием шумов вероятность правильного приёма каждой из переданных букв равна $3/5$, а вероятности перевода каждой буквы в любую другую одинаковы и равны $1/5$. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность $AAAA$, если на приёмном устройстве получена последовательность $ABCA$.

Первое орудие двухорудийной батареи пристреляно таким образом, что вероятность попадания для него равна $3/10$, а для второго орудия она равна $1/5$. Батарея дала два залпа, причём одно из орудий дало только один выстрел; было получено одно попадание и два промаха. Какова вероятность того, что один выстрел дало первое орудие?

Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту с вероятностью $0{,}96$. Предлагается упрощённая система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью $0{,}98$ для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью $0{,}05$. Какова вероятность того, что:

Четыре грани игральной кости $A$ красные и две --- белые; у кости $B$ две грани красные и четыре --- белые. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то всё время бросают только кость $A$, если решётка --- только кость $B$.

Рассматривается электрическая цепь, составленная из реле по следующей схеме:

[Figure omitted — see source PDF page 50: a bridge circuit with five relays $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — input splits into two branches, the upper branch through $A$ then $B$ and the lower branch through $C$ then $D$, with $E$ connecting the midpoint between $A,B$ to the midpoint between $C,D$, recombining into the output]

Каждое из реле $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, работающих независимо, открывается и закрывается с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно.

В трёх урнах находятся белые и чёрные шары: в первой урне --- 2 белых и 3 чёрных шара, во второй --- 2 белых и 2 чёрных шара, в третьей --- 3 белых и 1 чёрный шар. Из первой урны вынут наудачу шар и переложен во вторую. Далее из второй урны вынут наудачу шар и переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую.

В урне $m$ белых и $n$ чёрных шаров. Наудачу извлекается шар; он возвращается обратно, и, кроме того, в урну добавляется $k$ шаров одного с ним цвета. Чему равна вероятность того, что во второй раз будет извлечён белый шар?

В урне лежат 12 шаров, из них 8 чёрных и 4 белых. Три игрока $A$, $B$ и $C$ поочерёдно вынимают шары. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Оценить шансы на успех каждого игрока.

$N$ стрелков стреляют поочерёдно по одной мишени. Вероятность попасть в мишень для $i$-го стрелка равна $p_i$. Выигравшим считается тот стрелок, который первым попадёт в мишень. У каждого стрелка имеется $n$ патронов. Определить вероятность того, что выиграет $k$-й стрелок.

$A$ говорит правду в 3 случаях из 4, а $B$ --- в 4 случаях из 5. Из урны, в которой было 9 разноцветных шаров, в том числе один белый, вынули один шар. $A$ и $B$ посмотрели на него и оба сказали, что шар --- белый. Найти вероятность того, что они сказали правду.

Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна $p$; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью $p_0$. Стрельба ведётся до поражения цели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется $n$, $n > 2$, ракет. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.

Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна $p$, а вероятность поражения цели при $k$ попаданиях в неё равна $1 - r^k$. Какова вероятность того, что цель поражена, если произведено $n$ выстрелов?

Пусть некоторое насекомое откладывает $r$ яиц с вероятностью $\dfrac {\lambda^r}{r!} e^{-\lambda }$. Вероятность развития насекомого из яйца равна $p$. Предполагая взаимную независимость развития насекомых из яиц, найти вероятность появления $k$ новых насекомых из одной кладки яиц.

Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одну за другой $n$ торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью $p$ и при попадании --- с одинаковой вероятностью в любой из $k$ отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идёт ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. С какой вероятностью корабль будет затоплен?

По резервуару с горючим производится $n$ независимых выстрелов зажигательными снарядами. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью $p$. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью $p_0$, а если два снаряда --- с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при $n$ выстрелах горючее воспламенится.

Три орудия производят стрельбу по трём целям. Для каждого орудия выбирается цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью $p$. С какой вероятностью из трёх целей будут поражены ровно две?

Пусть количество потомков некоторого насекомого случайно и имеет геометрическое распределение с параметром $p$. Каждый потомок с равной вероятностью может оказаться мужского или женского пола. Найти вероятность того, что в потомстве будет $k$ самцов.

Указание. Воспользоваться равенством

Два игрока $A$ и $B$, имеющие соответственно капиталы $a$ и $b$, играют в азартную игру, состоящую из отдельных партий. Предположим, что каждую партию игрок $A$ выигрывает с вероятностью $p$ и проигрывает с вероятностью $1-p$. После каждой партии проигравший уплачивает 1 рубль выигравшему. Игра продолжается до разорения одного из игроков. Найти вероятность того, что разорится второй игрок, если:

Предположим, что в условиях предыдущей задачи (см. 7.32) игрок $A$ выигрывает с вероятностью $p$ и проигрывает с вероятностью $q$; кроме того, возможна ничья с вероятностью $r = 1 - p - q$. Найти вероятность разорения второго игрока.

Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) вероятность бактерии разделиться за промежуток времени $\Delta$ равна $\lambda \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$ и не зависит от числа предшествующих делений, а также от числа имеющихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент времени 0 была одна бактерия, то в момент времени $t$ окажется $i$ бактерий.

К линии электропередачи подключено $n$ механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени $t$, прекратит её потребление до момента $t+\Delta$, равна $\alpha \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$. Если в момент времени $t$ механизм не потребляет энергию, то вероятность того, что он станет её потреблять до момента $t+\Delta$, равна $\beta \Delta + o(\Delta )$. Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности $P_r(t)$ того, что в момент времени $t$ энергию потребляют $r$ механизмов.

Три самолёта-разведчика высылаются в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено $n$ ракет. При уточнённых координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна $p_1$, при неуточнённых --- $p_2$. Каждый разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника с вероятностью $p_3$. Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Каждое сообщение принимается командным пунктом с вероятностью $p_4$. Для уточнения координат достаточно приёма сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учётом деятельности разведки.

Из $n$ стрелков можно выделить четыре группы: $a_1$ отличных стрелков, $a_2$ хороших, $a_3$ посредственных и $a_4$ плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка $i$-й группы равна $p_i$. Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

В автобусе едут $n$ пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью $p$ независимо от других; кроме того, в автобус с вероятностью $p_0$ не входит ни один пассажир; с вероятностью $1-p_0$ входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что, когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нём будет по-прежнему $n$ пассажиров.

Урна содержит два шара: один белый и один чёрный. Производятся последовательные испытания с возвращением вынутого шара в урну. Число испытаний неограниченно. Какова вероятность вынуть когда-нибудь: