Независимые события

Доказать, что если события $A_1, \ldots , A_n$ независимы в совокупности, то они и попарно независимы.

Доказать, что если события $A$ и $B$ независимы, то также независимы события:

Доказать, что если события $A$ и $B$ несовместны, причём $\mathbb {P}\left(A\right) > 0$ и $\mathbb {P}\left(B\right) > 0$, то события $A$ и $B$ зависимы.

Пусть событие $A$ таково, что оно не зависит от самого себя. Доказать, что тогда $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Пусть события $A$ и $B$ независимы. Доказать, что если $A \subseteq B$, то $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$ или $\mathbb {P}\left(B\right) = 1$.

Выяснить, какими должны быть события $A$ и $B$, чтобы события $AB$ и $A \cup B$ были независимы?

Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или нет события $A = \left\{ \text{выпал герб на первой монете}\right\}$ и $B = \left\{ \text{выпала хотя бы одна решка}\right\}$.

Точка $\xi = (\xi_1, \xi_2)$ выбрана наудачу в квадрате $[0,1]^2$. При каких значениях $r$ события $A = \left\{ \left|\xi_1 - \xi_2\right| \geqslant r\right\}$ и $B = \left\{ \xi_1 + \xi_2 \leqslant 3r\right\}$ независимы?

Рассмотрим все возможные перестановки четырёх букв $a$, $b$, $c$ и $d$. Определить, зависимы или нет события $A = \left\{ a \text{ предшествует } b\right\}$ и $B = \left\{ c \text{ предшествует } d\right\}$.

Брошены две игральные кости. Рассмотрим три события: $A$ --- на первой кости выпало нечётное число, $B$ --- на второй кости выпало нечётное число, $C$ --- сумма чисел на обеих костях нечётна. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

Точка $\xi = (\xi_1, \xi_2)$ выбрана наудачу в квадрате $[0,1]^2$. Определим три события равенствами $A = \left\{ \xi_1 \leqslant 1/2\right\}$, $B = \left\{ \xi_2 \leqslant 1/2\right\}$ и $C = \left\{ (\xi_1 - 1/2)(\xi_2 - 1/2) \leqslant 0\right\}$. Проверить, зависимы или нет эти события:

Брошены три игральные кости. Событие $A$ состоит в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй костях, $B$ --- одинаковое число очков на второй и третьей костях, а $C$ --- на первой и третьей. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

На плоскость брошен тетраэдр, три грани которого покрашены соответственно в красный, синий и зелёный цвета, а на четвёртую грань нанесены все три цвета. Событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С --- грань, содержащая синий цвет, и З --- зелёный цвет. Проверить, зависимы или нет события К, С и З:

Брошены две правильные монеты. Пусть событие $A$ состоит в том, что на первой монете выпал герб, событие $B$ --- на второй монете выпал герб и событие $C$ --- на одной (и только на одной) монете выпал герб. Проверить, зависимы или нет события $A$, $B$ и $C$:

Пусть события $A_1, \ldots , A_n$ независимы в совокупности и имеют вероятности $\mathbb {P}\left(A_k\right) = p_k$. Найти вероятности:

Электрическая цепь состоит из элементов $A_k$, соединённых по следующей схеме:

Пусть $\Omega = [0, 1]$, $\mathscr {F}$ --- $\sigma$-алгебра борелевских множеств, $\mathbb {P}$ --- мера Лебега и $A = [0, 1/2]$. Построить события $B$ и $C$ такие, что $\mathbb {P}\left(B\right) = \mathbb {P}\left(C\right) = 1/2$, причём события $A$, $B$ и $C$ независимы в совокупности.

Имеются 3 попарно независимых события, которые, однако, все вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность $p$, определить наибольшее возможное значение $p$.

Пусть события $A$, $B$ и $C$ попарно независимы и $\mathbb {P}\left(C\right) > 0$. Верно ли равенство $\mathbb {P}\left(A \cup B \mid C\right) = \mathbb {P}\left(A \cup B\right)$?

Какое минимальное число точек должно иметь конечное вероятностное пространство, чтобы на этом пространстве можно было задать $n$ независимых в совокупности событий $A_1, \ldots , A_n$, вероятности которых отличны от нуля и единицы?

Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент времени $t_0 = 0$ столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента $t_1$, испытает столкновение в промежутке времени между $t_1$ и $t_1 + \Delta t$ равна $\lambda \Delta t + o(\Delta t)$ при $\Delta t \to 0$. Найти вероятность того, что время свободного пробега (время между двумя соседними столкновениями) будет больше $t$.

Найти вероятность того, что станок, работающий в момент $t_0$, не остановится до момента $t_1$, если известно, что:

1. эта вероятность зависит только от величины промежутка времени $(t_0, t_1)$;

2. работающий в момент времени $t$ станок остановится в промежутке времени $(t, t + \Delta )$ с вероятностью $\alpha \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$, где $\alpha > 0$.

При составлении таблиц смертности часто исходят из следующих допущений:

1. дожившее до возраста $t$ лицо умрёт в течение времени от $t$ до $t + \Delta$ с вероятностью $p(t, \Delta ) = \alpha (t)\Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$, где $\alpha (t) > 0$;

2. вероятность смерти в момент рождения равна нулю. Найти при этих предположениях вероятность смерти до возраста $t$.