Условная вероятность

Пусть $\mathbb {P}\left(A_1 \mid A_2\right) = \mathbb {P}\left(A_1\right)$. Показать справедливость следующих равенств:

Верны ли равенства:

Доказать формулу сложения для условных вероятностей:

Выразить условную вероятность $\mathbb {P}\left(C \mid \overline{A}\, \overline{B}\right)$ через какие-либо из следующих вероятностей: $\mathbb {P}\left(A\right)$, $\mathbb {P}\left(B\right)$, $\mathbb {P}\left(C\right)$, $\mathbb {P}\left(AB\right)$, $\mathbb {P}\left(BC\right)$, $\mathbb {P}\left(AC\right)$ и $\mathbb {P}\left(ABC\right)$.

Доказать, что если $C \subseteq B \subseteq A$, то имеет место равенство $\mathbb {P}\left(C \mid A\right) = \mathbb {P}\left(C \mid B\right)\mathbb {P}\left(B \mid A\right)$.

Известно, что $\mathbb {P}\left(A \mid B\right)$ может быть представлена как взвешенное среднее вероятностей $\mathbb {P}\left(A \mid BC\right)$ и $\mathbb {P}\left(A \mid B\overline{C}\right)$. Найти соответствующие веса.

Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой?

Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из них выпала единица, если на всех трёх костях выпали разные числа?

Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала по крайней мере одна единица. Какова при этом вероятность того, что выпали две или более единицы?

Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть число чётное?

Четыре шара последовательно размещаются в четырёх ящиках. Какова вероятность того, что один из ящиков будет содержать ровно три шара, если известно, что первые два шара оказались в разных ячейках?

Рассмотрим семью с двумя детьми. Какова вероятность того, что в семье оба ребёнка --- мальчики, если:

Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для этого потребовалось чётное число бросаний. Найти вероятность того, что единица впервые выпадет при втором бросании.

Из колоды карт (36 листов) последовательно вынуты две карты. Найти:

Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят --- она оказалась:

Из полной колоды карт (52 листа) вынимают одновременно $n$ карт, $n < 52$. Одну из них смотрят --- она оказывается королём. После этого её перемешивают с остальными вынутыми картами. Найти вероятность того, что повторный выбор из этих $n$ карт опять даст короля.

Письмо находится в письменном столе с вероятностью $p$, причём с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова при этом вероятность, что письмо:

В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что среди них:

Известно, что в обществе, состоящем из 4 человек, дни рождения трёх приходятся на один месяц, а четвёртого --- на один из остальных одиннадцати. Считая вероятность рождения в каждом месяце равной $1/12$, найти вероятность того, что при этом:

Два игрока играют в безобидную игру (у обоих шансы победить одинаковы), и они договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле игра остановилась до того, как один из них выиграл приз, например, первый игрок выиграл 5 партий, а второй --- 3. Как справедливо следует разделить приз?