Формула полной вероятности. Формула Байеса

Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, вынимаются наудачу два шара и перекладываются во вторую урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.

Студент пришел на зачёт, зная из 30 вопросов только 24. Если студент не знает ответа на поставленный вопрос, преподаватель задаёт ему ещё один, дополнительный. Зачёт ставится, если студент правильно отвечает хотя бы на один вопрос. Какова вероятность получения зачёта?

Пусть имеется $n$ одинаковых урн. Известно, что урна с номером $i$ содержит $M_i$ шаров, среди которых имеется $m_i$ белых шаров. Наугад выбирается урна, а из неё вынимается шар. Какова вероятность того, что вынут белый шар?

Среди $N$ экзаменационных билетов $n$ «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять «счастливый» билет: у того, кто подошёл первым, или у того, кто подошёл вторым? Или у того, кто подошёл третьим?

Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна $3/10$; вероятность попадания в него в этом случае при каждом отдельном выстреле равна $1/5$. Какова вероятность попадания:

Три игрока А, Б и В участвуют в игре по следующей схеме. В первом туре играют А и Б, а В свободен. Проигравший заменяется игроком В, и во втором туре играют победитель и В, а игрок, потерпевший поражение в первом туре, свободен. Соревнование продолжается таким образом до тех пор, пока один из игроков не выиграет двух партий подряд, и в этом случае его объявляют победителем. Считая игроков равными по силе и исключая возможность ничьих, найти вероятность того, что:

Спортивные общества $A$ и $B$ состязаются тремя командами. Вероятности выигрыша матчей команд общества $A$ против соответствующих команд $B$ можно принять соответственно равными $4/5$ для первой (против первой $B$), $2/5$ для второй (против второй $B$), $2/5$ для третьей (против третьей $B$). Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трёх (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

В ящике находится $a$ новых и $b$ игранных теннисных мячей. Из ящика наугад вынимаются два мяча и ими играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми.

Предположим, что в среднем 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах --- по 2 белых и 3 чёрных шара в каждой; в третьей и четвёртой урнах --- по 1 белому и 4 чёрных шара; в пятой урне --- 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался:

На заводе, изготовляющем болты, на долю машин $A$, $B$ и $C$ приходится соответственно 25, 35 и 40 всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность, что он был изготовлен:

Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причём объём продукции второго завода в $k$ раз превосходит объём продукции первого. Доля брака у первого завода $p_1$, у второго --- $p_2$. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второго завода, если оно оказалось бракованным?

Из урны, в которой было $m \geqslant 3$ белых шаров и $n$ чёрных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для того чтобы определить состав шаров в урне, из неё наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.

При некоторых условиях стрельбы стрелок $A$ поражает мишень с вероятностью $p_1 = 3/5$, стрелок $B$ --- с вероятностью $p_2 = 1/2$, стрелок $C$ --- с вероятностью $p_3 = 2/5$. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее, попал $C$ в мишень или нет?

По каналу связи может быть передана одна из трёх последовательностей букв: $AAAA$, $BBBB$, $CCCC$, причём априорные вероятности каждой из последовательностей есть соответственно $3/10$, $2/5$ и $3/10$. Известно, что под действием шумов вероятность правильного приёма каждой из переданных букв равна $3/5$, а вероятности перевода каждой буквы в любую другую одинаковы и равны $1/5$. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что была передана последовательность $AAAA$, если на приёмном устройстве получена последовательность $ABCA$.

Первое орудие двухорудийной батареи пристреляно таким образом, что вероятность попадания для него равна $3/10$, а для второго орудия она равна $1/5$. Батарея дала два залпа, причём одно из орудий дало только один выстрел; было получено одно попадание и два промаха. Какова вероятность того, что один выстрел дало первое орудие?

Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту с вероятностью $0{,}96$. Предлагается упрощённая система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью $0{,}98$ для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью $0{,}05$. Какова вероятность того, что:

Четыре грани игральной кости $A$ красные и две --- белые; у кости $B$ две грани красные и четыре --- белые. Один раз бросают монету. Если выпал герб, то всё время бросают только кость $A$, если решётка --- только кость $B$.

Рассматривается электрическая цепь, составленная из реле по следующей схеме:

[Figure omitted — see source PDF page 50: a bridge circuit with five relays $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — input splits into two branches, the upper branch through $A$ then $B$ and the lower branch through $C$ then $D$, with $E$ connecting the midpoint between $A,B$ to the midpoint between $C,D$, recombining into the output]

Каждое из реле $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$, работающих независимо, открывается и закрывается с вероятностями $p$ и $1-p$ соответственно.

В трёх урнах находятся белые и чёрные шары: в первой урне --- 2 белых и 3 чёрных шара, во второй --- 2 белых и 2 чёрных шара, в третьей --- 3 белых и 1 чёрный шар. Из первой урны вынут наудачу шар и переложен во вторую. Далее из второй урны вынут наудачу шар и переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую.

В урне $m$ белых и $n$ чёрных шаров. Наудачу извлекается шар; он возвращается обратно, и, кроме того, в урну добавляется $k$ шаров одного с ним цвета. Чему равна вероятность того, что во второй раз будет извлечён белый шар?

В урне лежат 12 шаров, из них 8 чёрных и 4 белых. Три игрока $A$, $B$ и $C$ поочерёдно вынимают шары. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Оценить шансы на успех каждого игрока.

$N$ стрелков стреляют поочерёдно по одной мишени. Вероятность попасть в мишень для $i$-го стрелка равна $p_i$. Выигравшим считается тот стрелок, который первым попадёт в мишень. У каждого стрелка имеется $n$ патронов. Определить вероятность того, что выиграет $k$-й стрелок.

$A$ говорит правду в 3 случаях из 4, а $B$ --- в 4 случаях из 5. Из урны, в которой было 9 разноцветных шаров, в том числе один белый, вынули один шар. $A$ и $B$ посмотрели на него и оба сказали, что шар --- белый. Найти вероятность того, что они сказали правду.

Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна $p$; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью $p_0$. Стрельба ведётся до поражения цели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется $n$, $n > 2$, ракет. Найти вероятность того, что не весь боезапас будет израсходован.

Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна $p$, а вероятность поражения цели при $k$ попаданиях в неё равна $1 - r^k$. Какова вероятность того, что цель поражена, если произведено $n$ выстрелов?

Пусть некоторое насекомое откладывает $r$ яиц с вероятностью $\dfrac {\lambda^r}{r!} e^{-\lambda }$. Вероятность развития насекомого из яйца равна $p$. Предполагая взаимную независимость развития насекомых из яиц, найти вероятность появления $k$ новых насекомых из одной кладки яиц.

Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одну за другой $n$ торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью $p$ и при попадании --- с одинаковой вероятностью в любой из $k$ отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идёт ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. С какой вероятностью корабль будет затоплен?

По резервуару с горючим производится $n$ независимых выстрелов зажигательными снарядами. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью $p$. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью $p_0$, а если два снаряда --- с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при $n$ выстрелах горючее воспламенится.

Три орудия производят стрельбу по трём целям. Для каждого орудия выбирается цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью $p$. С какой вероятностью из трёх целей будут поражены ровно две?

Пусть количество потомков некоторого насекомого случайно и имеет геометрическое распределение с параметром $p$. Каждый потомок с равной вероятностью может оказаться мужского или женского пола. Найти вероятность того, что в потомстве будет $k$ самцов.

Указание. Воспользоваться равенством

Два игрока $A$ и $B$, имеющие соответственно капиталы $a$ и $b$, играют в азартную игру, состоящую из отдельных партий. Предположим, что каждую партию игрок $A$ выигрывает с вероятностью $p$ и проигрывает с вероятностью $1-p$. После каждой партии проигравший уплачивает 1 рубль выигравшему. Игра продолжается до разорения одного из игроков. Найти вероятность того, что разорится второй игрок, если:

Предположим, что в условиях предыдущей задачи (см. 7.32) игрок $A$ выигрывает с вероятностью $p$ и проигрывает с вероятностью $q$; кроме того, возможна ничья с вероятностью $r = 1 - p - q$. Найти вероятность разорения второго игрока.

Считая, что при размножении бактерий делением (на две бактерии) вероятность бактерии разделиться за промежуток времени $\Delta$ равна $\lambda \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$ и не зависит от числа предшествующих делений, а также от числа имеющихся бактерий, найти вероятность того, что если в момент времени 0 была одна бактерия, то в момент времени $t$ окажется $i$ бактерий.

К линии электропередачи подключено $n$ механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени $t$, прекратит её потребление до момента $t+\Delta$, равна $\alpha \Delta + o(\Delta )$ при $\Delta \to 0$. Если в момент времени $t$ механизм не потребляет энергию, то вероятность того, что он станет её потреблять до момента $t+\Delta$, равна $\beta \Delta + o(\Delta )$. Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности $P_r(t)$ того, что в момент времени $t$ энергию потребляют $r$ механизмов.

Три самолёта-разведчика высылаются в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу ракетами. Для поражения объекта выделено $n$ ракет. При уточнённых координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна $p_1$, при неуточнённых --- $p_2$. Каждый разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника с вероятностью $p_3$. Если разведчик не сбит, он сообщает координаты объекта по радио. Каждое сообщение принимается командным пунктом с вероятностью $p_4$. Для уточнения координат достаточно приёма сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учётом деятельности разведки.

Из $n$ стрелков можно выделить четыре группы: $a_1$ отличных стрелков, $a_2$ хороших, $a_3$ посредственных и $a_4$ плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка $i$-й группы равна $p_i$. Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

В автобусе едут $n$ пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью $p$ независимо от других; кроме того, в автобус с вероятностью $p_0$ не входит ни один пассажир; с вероятностью $1-p_0$ входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что, когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нём будет по-прежнему $n$ пассажиров.

Урна содержит два шара: один белый и один чёрный. Производятся последовательные испытания с возвращением вынутого шара в урну. Число испытаний неограниченно. Какова вероятность вынуть когда-нибудь: