Банк задач по математике

Задача 6.1

Пусть вероятность попадания в цель равна $1/5$ . Производится 10 независимых выстрелов. Какова вероятность попадания в цель по меньшей мере дважды?

?

Задача 6.2

Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из восьми случайно взятых в этом месяце дней три дня окажутся дождливыми?

?

Задача 6.3

(а)(б)

Считая вероятность рождения мальчика равной $1/2$ , найти вероятность того, что в семье с 10 детьми:

?

(а)

5 мальчиков и 5 девочек;

(б)

число мальчиков не меньше 4 и не больше 7.

Задача 6.4

(а)(б)

Среди коконов некоторой партии 30 цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов:

?

(а)

3 цветных;

(б)

не более 3 цветных?

Задача 6.5

(а)(б)

Из урны, содержащей:

?

(а)

$2n$ белых и $2n$ чёрных шаров;

(б)

$n$ белых и $3n$ чёрных шаров,

наудачу извлекают (с возвращением) $2n$ шаров. Какова вероятность того, что среди них окажется поровну шаров белого и чёрного цветов?

Задача 6.6

Что вероятнее: при бросании четырёх игральных костей хотя бы на одной получить единицу или при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить две единицы?

?

Задача 6.7

(а)(б)(в)(г)

Что вероятнее, выиграть у равносильного противника:

?

(а)

3 партии из 4 или 5 из 8;

(б)

не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8;

(в)

не более $n$ из $2n$ партий или более $n$ из $2n$ партий;

(г)

не более $n$ из $2n+1$ партий или более $n$ из $2n+1$ партий?

Задача 6.8

Некий математик носит с собой два коробка спичек, в каждом из которых первоначально было по $N$ спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наугад один из коробков. Найти вероятность того, что когда математик вытащит в первый раз пустой коробок, в другом будет $r$ спичек.

?

Задача 6.9

(Обобщение задачи Банаха о спичечных коробках, см. 6.8.) Некто носит с собой два коробка спичек А и Б, в которых первоначально было $M$ и $N$ спичек соответственно. Когда ему нужна спичка, он берёт её из коробка А с вероятностью $p$ или из коробка Б с вероятностью $1-p$ . Найти вероятность того, что когда математик вытащит в первый раз пустой коробок, в другом будет $r$ спичек.

?

Задача 6.10

(а)(б)

Два человека независимо друг от друга подбрасывают монету по $n$ раз каждый.

?

(а)

Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

(б)

Доказать, что вероятность того, что они наберут одинаковое число гербов, совпадает с вероятностью того, что у них в сумме будет $n$ гербов.

Задача 6.11

(а)(б)

Используя схему Бернулли, доказать комбинаторные тождества:

?

(а)

$2^n = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} C_n^i$ ;

(б)

$C_{2n}^{n} = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} (C_n^i)^2$ .

Задача 6.12

Найти предел при $n \to \infty$ вероятности того, что при бросании правильной монеты $n$ раз число гербов будет в точности равно числу решек.

?

Задача 6.13

Вероятность удачного результата при проведении сложного химического опыта равна $2/3$ . Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее число равно 7.

?

Задача 6.14

Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна $1/5$ . Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

?

Задача 6.15

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна $4/5$ . Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

?

Задача 6.16

(а)(б)

Симметричную монету бросают до тех пор, пока она не выпадет одной и той же стороной два раза подряд. Найти вероятности следующих событий:

?

(а)

опыт закончится до шестого бросания;

(б)

потребуется чётное число бросаний.

Задача 6.17

(а)(б)

Монету бросают до тех пор, пока герб не выпадет в $m$ -й раз. Найти вероятность того, что опыт закончится при $n$ -м бросании, если:

?

(а)

монета симметричная;

(б)

монета несимметричная, т.е. если вероятность выпадения герба равна $p \neq 1/2$ .

Задача 6.18

Двое играют в игру, поочерёдно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первый откроет решётку. Чему равна вероятность выигрыша для начавшего игру?

?

Задача 6.19

(а)(б)(в)

Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью $p$ оказаться дефектным. Найти вероятность того, что:

?

(а)

из 10 проверенных изделий только одно оказалось дефектным;

(б)

первым дефектным оказалось $k$ -е проверенное изделие;

(в)

последующие 10 изделий окажутся годными при условии, что предыдущие $l = 5$ изделий были также годными. Зависит ли эта вероятность от $l$ ?

Задача 6.20

(а)(б)

На отрезок $AB$ длиной $a$ брошены наудачу, независимо одна от другой, шесть точек. Найти вероятность того, что:

?

(а)

две точки будут находиться от точки $A$ на расстоянии, меньшем $b$ , а четыре --- на расстоянии, большем $b$ ;

(б)

две точки будут находиться от $A$ на расстоянии, меньшем $c$ , одна --- на расстоянии, не меньшем $c$ и не большем $b$ , а три точки --- на расстоянии, большем $b$ .

Задача 6.21

Какова вероятность получить каждую грань дважды при бросании двенадцати игральных костей?

?

Задача 6.22

Два шахматиста $A$ и $B$ согласились сыграть матч на следующих условиях: $A$ должен для победы набрать 12 очков (выигрыш --- очко), $B$ должен набрать 6 очков, причём ничьи не учитываются. $A$ обычно вдвое чаще выигрывает у $B$ , если считать только результативные партии, так что вероятность его выигрыша можно принять равной $2/3$ . Игру пришлось прекратить после того, как $A$ набрал 8 очков, а $B$ набрал 4 очка. Победу решено присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше. Кто победитель?

?

Задача 6.23

(а)(б)

В схеме Бернулли вероятность успеха равна $p$ , а вероятность неуспеха $q = 1-p$ . Найти вероятность того, что:

?

(а)

цепочка НН (два неуспеха подряд) появится раньше цепочки НУ (неуспех и успех подряд);

(б)

цепочка НН появится раньше цепочки УН.

Задача 6.24

(а)(б)(в)

Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости, а игрок Б в то же время --- две кости. Эти испытания они проводят последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятности следующих событий:

?

(а)

$A = \left\{ \text{впервые «6» появилось у игрока А, а не у Б}\right\}$ ;

(б)

$B = \left\{ \text{впервые «6» появилось у игрока Б, а не у А}\right\}$ ;

(в)

$C = \left\{ \text{впервые «6» появилось одновременно у А и Б}\right\}$ .

Задача 6.25

При раздаче колоды в 52 карты четырём игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на «невезение»?

?

Задача 6.26

(а)(б)

В одном учебном заведении обучаются 730 студентов. День рождения наудачу выбранного студента приходится на определённый день года с вероятностью $1/365$ для каждого из 365 дней. Найти:

?

(а)

наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января;

(б)

вероятность того, что найдутся три студента, имеющие один и тот же день рождения.

Схема Бернулли