Случайные процессы

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — марковская цепь на пространстве состояний $S = \left\{ 0,1\right\}$ с переходной матрицей

где $\alpha +\beta > 0$. Найдите:

Пусть $\left\{ N(t): t \geq 0\right\}$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, и пусть $T_{0}$ — независимая случайная величина, такая что $\mathbb {P}\left(T_{0} = \pm 1\right) = \frac{1}{2}$. Определим $T(t) = T_{0}(-1)^{N(t)}$. Покажите, что $\left\{ T(t): t \geq 0\right\}$ стационарен, и найдите:

Целочисленный считающий процесс $\left\{ N(t): t \geq 0\right\}$ с $N(0) =$ 0 называется грубо стационарным, если $p_{k}(s, t) = \mathbb {P}\left(N(s+t)-N(s) = k\right)$ зависит только от длины $t-s$ и не зависит от положения $s$. Он называется простым, если почти наверное имеет только скачки величиной 1. Покажите, что для простого грубо стационарного процесса $N, \lim_{t \downarrow 0} t^{-1} \mathbb {P}\left(N(t) > 0\right) = \mathbb {E}\left[N(1)\right]$.

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — эргодическая марковская цепь, начатая в своём стационарном распределении $\pi$. Пусть $A$ — подмножество состояний со стационарной вероятностью $\pi (A)$, и пусть $T_{A} = \min \left\{ n \geq 1: X_{n} \in A\right\}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T_{A} \mid X_{0} \in A\right] = 1 / \pi (A)$.

Пусть $\left(f_{n}: n \geq 1\right)$ — распределение вероятностей на положительных целых числах, и определим последовательность $(u_{n}: n \geq 0)$ как $u_{0} = 1$ и $u_{n} = \sum_{r = 1}^{n} f_{r} u_{n-r}, n \geq 1$. Объясните, почему такая последовательность называется последовательностью восстановления, и покажите, что $u$ является последовательностью восстановления тогда и только тогда, когда существуют марковская цепь $U$ и состояние $s$, такие что $u_{n} = \mathbb {P}\left(U_{n} = s \mid U_{0} = s\right)$.

Пусть $\left\{ X_{i}: i \geq 1\right\}$ — времена между событиями дискретного процесса восстановления на целых числах. Покажите, что избыточное время жизни $B_{n}$ образует марковскую цепь. Запишите переходные вероятности последовательности $\left\{ B_{n}\right\}$ при обращении времени в равновесии. Сравните их с переходными вероятностями цепи $U$ из вашего решения упражнения (8.3.1).

Пусть $(u_{n}: n \geq 1)$ удовлетворяет $u_{0} = 1$ и $u_{n} = \sum_{r = 1}^{n} f_{r} u_{n-r}$ при $n \geq 1$, где $\left(f_{r}: r \geq 1\right)$ — неотрицательная последовательность. Покажите, что:

События происходят в моменты дискретного процесса восстановления $N$ (см. пример (5.2.15)). Пусть $u_{n}$ — вероятность события в момент $n$, с производящей функцией $U(s)$, и пусть $F(s)$ — производящая функция вероятностей типичного времени между событиями. Покажите, что при $\left|s\right| < 1$ :

Докажите теорему (8.3.5): процессы Пуассона — единственные процессы восстановления, являющиеся марковскими цепями.

Два кассира в банке тратят на обслуживание каждого клиента время, имеющее показательное распределение, с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Вы приходите и обнаруживаете ровно двух клиентов, каждый из которых занимает кассира.

Клиенты прибывают к стойке в соответствии с пуассоновским процессом интенсивности $\lambda$. Имеется один служащий, и времена обслуживания независимы и имеют показательное распределение с параметром $\mu$. В момент 0 присутствует ровно один клиент, который в данный момент обслуживается. Покажите, что вероятность того, что следующий клиент прибудет до момента $t$ и застанет служащего занятым, равна

Транспортные средства проезжают перекрёсток в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$; вам нужен промежуток длиной не менее $a$, чтобы перейти. Пусть $T$ — первый момент, когда вам удастся перейти на другую сторону. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T\right] = \left(e^{a \lambda }-1\right) / \lambda$, и найдите $\mathbb {E}\left[e^{\theta T}\right]$.

Предположим, что нужно перейти через две полосы движения, с независимым пуассоновским потоком с интенсивностями $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Найдите ожидаемое время перехода в двух случаях, когда:

Клиенты прибывают в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$, и единственный обслуживающий прибор имеет показательное время обслуживания с параметром $\mu$. Прибывающий клиент, видящий $n$ клиентов в системе (включая обслуживаемого), присоединяется к очереди с вероятностью $(n+1) /(n+2)$, в противном случае уходит навсегда. При каком условии существует стационарное распределение? Найдите среднее время, проведённое в очереди (не включая время обслуживания) клиентом, присоединившимся к ней, когда очередь находится в равновесии. Какова вероятность того, что прибывающий клиент присоединится к очереди, когда она находится в равновесии?

Покупатели входят в магазин в моменты пуассоновского процесса интенсивности 2. У двери два представителя отдельно демонстрируют новый штопор. Обычно это занимает время покупателя и представителя на период, экспоненциально распределённый с параметром $1$, независимо от прибытий и других демонстраций. Если оба представителя заняты, покупатели проходят прямо в магазин. Ни один покупатель не проходит мимо свободного представителя, не будучи остановленным, и все покупатели уходят через другую дверь. Если оба представителя свободны в момент времени $0$, покажите, что вероятность того, что оба заняты в момент времени $t$, равна $\frac{2}{5}-\frac{2}{3} e^{-2 t}+\frac{4}{15} e^{-5 t}$.

Для винеровского процесса $W$ с $W(0) = 0$ покажите, что

Вычислите $\mathbb {P}\left(W(s) > 0, W(t) > 0, W(u) > 0\right)$, когда $s < t < u$.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Покажите, что при $s < t < u$ условное распределение $W(t)$ при условии $W(s)$ и $W(u)$ нормально

Выведите, что условная корреляция между $W(t)$ и $W(u)$ при условии $W(s)$ и $W(v)$, где $s < t < u < v$, равна

При каких значениях $a$ и $b$ величина $a W_{1}+b W_{2}$ является стандартным винеровским процессом, где $W_{1}$ и $W_{2}$ — независимые стандартные винеровские процессы?

Покажите, что винеровский процесс $W$ с параметром дисперсии $\sigma^{2}$ удовлетворяет

Говорят, что процесс $W$ имеет конечную квадратическую вариацию.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Какие из следующих определяют винеровские процессы?

Найдите распределение $\int_{0}^{t}[W(u) / u] d u$, где $W$ — винеровский процесс. [Интеграл понимается как предел при $\epsilon \downarrow 0$ интеграла от $\epsilon$ до $t$.]

Винеровский процесс в $n$ измерениях. $n$-мерный винеровский процесс — это процесс $W(t) = \left(W_{1}(t), W_{2}(t), \ldots , W_{n}(t)\right)$, принимающий значения в $\mathbb {R}^{n}$, с независимыми приращениями, начинающийся в начале координат $W(0) = 0$, и такой, что $W(t)-W(s)$ имеет многомерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей $(t-s) \mathbf{I}$, где $\mathbf{I}$ — единичная матрица размера $n \times n$. Пусть $W(t)$ — $n$-мерный винеровский процесс, и пусть $A$ — ортонормированная матрица размера $n \times n$. Покажите, что $A W(t)$ является $n$-мерным винеровским процессом.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что при $p \geq 0$

где

Докажите, что характеристическая функция $\phi (t, \theta ) = \mathbb {E}\left[e^{i \theta X(t)}\right]$ процесса Леви $X$ является непрерывной функцией от $t$.

Покажите, что составной пуассоновский процесс является процессом Леви, и найдите его символ Леви.

Проверьте формулу из примера (8.6.6) для показателя Лапласа гамма-процесса Морана.

Докажите теорему (8.6.7): свойство быть процессом Леви сохраняется при замене времени независимым субординатором.

Пусть $N$ — пуассоновский процесс интенсивности $1$, а $T$ — независимая случайная величина с распределением $\Gamma (1, t)$. Покажите, что $Y = N(T)$ имеет производящую функцию вероятностей $\mathbb {E}\left[s^{Y}\right] = (2-s)^{-t}$ при $s < 2$.

Пусть $X$ — процесс Леви с конечными дисперсиями. Покажите, что следующие являются мартингалами:

Пусть $X$ — непрерывный по времени мартингал, а $T$ — независимый субординатор. Покажите, что при условии момента $\mathbb {E}\left[\left|Y(t)\right|\right] < \infty$ равенство $Y(t) = X(T(t))$ определяет мартингал относительно подходящей фильтрации. Покажите, что это условие момента выполняется всякий раз, когда $X$ — положительный мартингал.

Пусть $X$ устойчива, и пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — случайная выборка, распределённая как $X$. Покажите, что при $n \geq 1$ найдутся такие $A_{n}, B_{n}$, что $X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \stackrel{\mathrm{D}}{ = } B_{n} X+A_{n}$.

Докажите, что для невырожденного самоподобного процесса $X$ со стационарными приращениями, конечными дисперсиями и показателем Хёрста $H > 0$

Покажите, что устойчивое распределение бесконечно делимо.

Покажите, что самоподобный процесс Леви либо является винеровским процессом, либо имеет бесконечные дисперсии.

Докажите, что распределение с характеристической функцией $\phi (\theta ) = \exp \left(-|\theta |^{\alpha }\right)$, где $\alpha \in (0,2]$, является строго $\alpha$-устойчивым и симметричным.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые устойчивые случайные величины, где $X$ симметрична с показателем $\alpha \in (0,2]$, а $Y$ неотрицательна с преобразованием Лапласа $M(\theta ) = \exp \left(-k \theta^{\beta }\right)$ при $\theta \in [0, \infty )$, где $1 \neq \beta \in (0,2]$. Покажите, что $Z = X Y^{1 / \alpha }$ симметрична и $\alpha \beta$-устойчива. Выведите, что для независимых случайных величин $U, V$ с распределением $N(0,1)$ отношение $Z = U / V$ имеет распределение Коши.

Пусть $Z$ — непрерывная по времени марковская цепь, и пусть $T$ — независимый субординатор. Покажите, что $X(t) = Z(T(t))$ определяет марковскую цепь.

Пусть $Z = \left\{ Z_{n}: n \geq 0\right\}$ — марковская цепь с дискретным временем с $n$-шаговыми вероятностями перехода $z_{i j}(n)$. Пусть $N$ — пуассоновский процесс интенсивности $\lambda$, независимый от $Z$, и положим $X(t) = Z_{N(t)}$. Покажите, что $X$ является марковской цепью с непрерывным временем с вероятностями перехода

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $T$ — независимый устойчивый субординатор с $\mathbb {E}\left[e^{-\theta T(t)}\right] = \exp \left(-t \theta^{a / 2}\right)$, где $a \in (0,2)$ и $\theta \geq 0$. Покажите, что процесс с заменённым временем $Y(t) = W(T(t))$ является симметричным процессом Леви.

Марковский, но не строго марковский. Пусть $V$ экспоненциально распределена с параметром 1, и определим $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ следующим образом: $X(t) = 0$ при $t \leq V$, и $X(t) = t-V$ при $t \geq V$.

Пусть $\left\{ Z_{n}\right\}$ — последовательность некоррелированных вещественнозначных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями, и определим «скользящее среднее»

для констант $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots , \alpha_{r}$. Покажите, что $Y$ стационарен, и найдите его автоковариационную функцию.

Пусть $\left\{ Z_{n}\right\}$ — последовательность некоррелированных вещественнозначных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Предположим, что $\left\{ Y_{n}\right\}$ — стационарная «авторегрессионная» последовательность в том смысле, что она удовлетворяет $Y_{n} = \alpha Y_{n-1}+Z_{n}$, $-\infty < n < \infty$, для некоторого вещественного $\alpha$, удовлетворяющего $\left|\alpha \right| < 1$. Покажите, что $Y$ имеет автоковариационную функцию $c(m) = \alpha^{\left|m\right|} /\left(1-\alpha^{2}\right)$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность независимых одинаково распределённых бернуллиевских величин, каждая из которых принимает значения 0 и 1 с вероятностями $1-p$ и $p$ соответственно. Найдите функцию вероятностей процесса восстановления $N(t)$ с временами между поступлениями $\left\{ X_{n}\right\}$.

Покупатели прибывают в магазин по пуассоновскому процессу с параметром $\lambda$. Имеется бесконечно много обслуживающих приборов, и каждое время обслуживания экспоненциально распределено с параметром $\mu$. Покажите, что число $Q(t)$ ожидающих покупателей в момент времени $t$ образует процесс рождения-гибели. Найдите его стационарное распределение.

Пусть $X(t) = Y \cos (\theta t)+Z \sin (\theta t)$, где $Y$ и $Z$ — независимые случайные величины с распределением $N(0,1)$, и пусть $\tilde{X}(t) = R \cos (\theta t+\Psi )$, где $R$ и $\Psi$ независимы. Найдите распределения для $R$ и $\Psi$, такие что процессы $X$ и $\widetilde{X}$ имеют одинаковые конечномерные распределения.

Покупатели прибывают ко входу в систему обслуживания в моменты неоднородного пуассоновского процесса с функцией интенсивности $\lambda (t)$. Их дальнейшие истории обслуживания независимы друг от друга, и покупатель, прибывший в момент времени $s$, находится в состоянии $A$ в момент времени $s+t$ с вероятностью $p(s, t)$. Покажите, что число покупателей в состоянии $A$ в момент времени $t$ имеет распределение Пуассона с параметром $\int_{-\infty }^{t} \lambda (u) p(u, t-u) d u$.

Страховая компания получает премии (за вычетом расходов) с единичной скоростью за единицу времени, а иски размера $X_{1}, X_{2}, \ldots$ являются независимыми случайными величинами с общей функцией распределения $F$, поступающими в моменты пуассоновского процесса интенсивности 1. Покажите, что вероятность $r(y)$ разорения (то есть того, что активы станут отрицательными) при начальном капитале $y$ удовлетворяет

Пусть $X$ — $\mathrm{fBM}_{H}$ с $\operatorname {Var}\left[X(1)\right] = 1$, где $H \in (0,1)$. Покажите, что:

Распределение Хольцмарка для звёздной гравитации, задача (6.15.57) пересмотренная. Предположим, что звёзды распределены в $\mathbb {R}^{3}$ по пуассоновскому процессу интенсивности $\lambda$, и пусть $G_{\lambda }$ — $x$-координата их суммарной гравитационной силы, действующей на единичную массу в начале координат.

В пражской чайной (U Myšáka) до Бархатной революции 1989 года покупатели выстраиваются в очередь у входа за пустым счётом. В заведении есть отдельные прилавки для кофе, сладкой выпечки, кренделей, молока, напитков и мороженого, и у каждого из них образуется своя очередь. У каждой точки обслуживания в счёт покупателя ставится соответствующая отметка. Число мест $N$ ограничено, и уходящим покупателям приходится вставать в очередь, чтобы оплатить счёт. Если времена между поступлениями и времена обслуживания экспоненциально распределены и процесс находится в равновесии, найдите, насколько дольше придётся ждать жадному покупателю, если он настаивает на том, чтобы сесть. Ответы просим присылать авторам на открытке.