Процессы восстановления

Пусть $\left(f_{n}: n \geq 1\right)$ — распределение вероятностей на положительных целых числах, и определим последовательность $(u_{n}: n \geq 0)$ как $u_{0} = 1$ и $u_{n} = \sum_{r = 1}^{n} f_{r} u_{n-r}, n \geq 1$. Объясните, почему такая последовательность называется последовательностью восстановления, и покажите, что $u$ является последовательностью восстановления тогда и только тогда, когда существуют марковская цепь $U$ и состояние $s$, такие что $u_{n} = \mathbb {P}\left(U_{n} = s \mid U_{0} = s\right)$.

Пусть $\left\{ X_{i}: i \geq 1\right\}$ — времена между событиями дискретного процесса восстановления на целых числах. Покажите, что избыточное время жизни $B_{n}$ образует марковскую цепь. Запишите переходные вероятности последовательности $\left\{ B_{n}\right\}$ при обращении времени в равновесии. Сравните их с переходными вероятностями цепи $U$ из вашего решения упражнения (8.3.1).

Пусть $(u_{n}: n \geq 1)$ удовлетворяет $u_{0} = 1$ и $u_{n} = \sum_{r = 1}^{n} f_{r} u_{n-r}$ при $n \geq 1$, где $\left(f_{r}: r \geq 1\right)$ — неотрицательная последовательность. Покажите, что:

События происходят в моменты дискретного процесса восстановления $N$ (см. пример (5.2.15)). Пусть $u_{n}$ — вероятность события в момент $n$, с производящей функцией $U(s)$, и пусть $F(s)$ — производящая функция вероятностей типичного времени между событиями. Покажите, что при $\left|s\right| < 1$ :

Докажите теорему (8.3.5): процессы Пуассона — единственные процессы восстановления, являющиеся марковскими цепями.