Процессы Леви и субординаторы

Докажите, что характеристическая функция $\phi (t, \theta ) = \mathbb {E}\left[e^{i \theta X(t)}\right]$ процесса Леви $X$ является непрерывной функцией от $t$.

Покажите, что составной пуассоновский процесс является процессом Леви, и найдите его символ Леви.

Проверьте формулу из примера (8.6.6) для показателя Лапласа гамма-процесса Морана.

Докажите теорему (8.6.7): свойство быть процессом Леви сохраняется при замене времени независимым субординатором.

Пусть $N$ — пуассоновский процесс интенсивности $1$, а $T$ — независимая случайная величина с распределением $\Gamma (1, t)$. Покажите, что $Y = N(T)$ имеет производящую функцию вероятностей $\mathbb {E}\left[s^{Y}\right] = (2-s)^{-t}$ при $s < 2$.

Пусть $X$ — процесс Леви с конечными дисперсиями. Покажите, что следующие являются мартингалами:

Пусть $X$ — непрерывный по времени мартингал, а $T$ — независимый субординатор. Покажите, что при условии момента $\mathbb {E}\left[\left|Y(t)\right|\right] < \infty$ равенство $Y(t) = X(T(t))$ определяет мартингал относительно подходящей фильтрации. Покажите, что это условие момента выполняется всякий раз, когда $X$ — положительный мартингал.