Очереди

Два кассира в банке тратят на обслуживание каждого клиента время, имеющее показательное распределение, с параметрами $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Вы приходите и обнаруживаете ровно двух клиентов, каждый из которых занимает кассира.

Клиенты прибывают к стойке в соответствии с пуассоновским процессом интенсивности $\lambda$. Имеется один служащий, и времена обслуживания независимы и имеют показательное распределение с параметром $\mu$. В момент 0 присутствует ровно один клиент, который в данный момент обслуживается. Покажите, что вероятность того, что следующий клиент прибудет до момента $t$ и застанет служащего занятым, равна

Транспортные средства проезжают перекрёсток в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$; вам нужен промежуток длиной не менее $a$, чтобы перейти. Пусть $T$ — первый момент, когда вам удастся перейти на другую сторону. Покажите, что $\mathbb {E}\left[T\right] = \left(e^{a \lambda }-1\right) / \lambda$, и найдите $\mathbb {E}\left[e^{\theta T}\right]$.

Предположим, что нужно перейти через две полосы движения, с независимым пуассоновским потоком с интенсивностями $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Найдите ожидаемое время перехода в двух случаях, когда:

Клиенты прибывают в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$, и единственный обслуживающий прибор имеет показательное время обслуживания с параметром $\mu$. Прибывающий клиент, видящий $n$ клиентов в системе (включая обслуживаемого), присоединяется к очереди с вероятностью $(n+1) /(n+2)$, в противном случае уходит навсегда. При каком условии существует стационарное распределение? Найдите среднее время, проведённое в очереди (не включая время обслуживания) клиентом, присоединившимся к ней, когда очередь находится в равновесии. Какова вероятность того, что прибывающий клиент присоединится к очереди, когда она находится в равновесии?

Покупатели входят в магазин в моменты пуассоновского процесса интенсивности 2. У двери два представителя отдельно демонстрируют новый штопор. Обычно это занимает время покупателя и представителя на период, экспоненциально распределённый с параметром $1$, независимо от прибытий и других демонстраций. Если оба представителя заняты, покупатели проходят прямо в магазин. Ни один покупатель не проходит мимо свободного представителя, не будучи остановленным, и все покупатели уходят через другую дверь. Если оба представителя свободны в момент времени $0$, покажите, что вероятность того, что оба заняты в момент времени $t$, равна $\frac{2}{5}-\frac{2}{3} e^{-2 t}+\frac{4}{15} e^{-5 t}$.