Проверка статистических гипотез

Согласно опросам 29 семей, проводившимся в 1968 г. в юго-западном регионе Англии, выборочное среднее еженедельной арендной платы за мебелированную квартиру составило $2,5 £$, а выборочная дисперсия $0,67 £^{2}$. В Уэльсе выборочное среднее арендной платы 16 семей составило $2,06 £$, а выборочная дисперсия $0,42 £^{2}$. Проверьте, является ли различие арендной платы в этих регионах статистически значимым, предполагая, что выборки порождены гауссовскими случайными величинами. Примите уровень значимости равным 0,05.

Уровень гистамина в мокроте у семи курильщиков, склонных к аллергии, составил (в микрограммах): 102,$4 ; 100,0 ; 67,5 ; 65,9 ; 64,7 ; 39,6$; 31,2 , а у десяти курильщиков, не склонных к аллергии: 48,$1 ; 45,5 ; 41,7$; 35,$4 ; 29,1 ; 18,9 ; 58,3 ; 66,8 ; 71,3 ; 94,3$. Верно ли предположение о том, что уровень гистамина у курильщиков, подверженных аллергии, выше, чем у неаллергиков? Примите уровень значимости равным 0,05.

Для определения содержания железистой сыворотки Рамсей использовал метод прямого определения. Этот метод очень трудоемкий, реакции протекают медленно, не исключено помутнение смеси. Для преодоления этих трудностей Jung и Parekh предложили улучшенный метод, основанный на недавно синтезированной присадке. Методика выполнения анализа новым методом явно лучше, чем у метода Рамсея. Однако возникло подозрение, что новый метод имеет меньшую точность, чем процедура Рамсея. Для сравнения точности нового и известного методов было проделано 20 пар анализов, каждый двумя методами. В качестве эталонов служили сыворотки Hyland, содержащие 105 микрограммов железистой сыворотки на 100 миллилитров. Данные представлены в таблице.

Можно ли считать на уровне значимости 0,05 , что новый метод имеет меньшую точность, чем метод Рамсея?

Имеются данные Федеральной службы государственной статистики о среднем размере назначенных пенсий (руб.) по регионам Центрального и Сибирского федеральных округов в 2008 г.

Проверьте гипотезу о равенстве средних значений назначенных пенсий в Центральном и Сибирском федеральных округах, предполагая, что представленные наблюдения порождены гауссовскими случайными величинами. Уровень значимости считайте равным 0,05.

Используя формулу (7.14) для АОЭ $e(W, T)$ критерия Вилкоксона по отношению к критерию Стьюдента, вычислите значения $e(W, T)$, указанные в табл. 7.4.

В ателье по ремонту телевизоров имеются данные о времени (в неделях) безотказной (до первого ремонта) работы 9 телевизоров марки А и 8 телевизоров марки В. При этом для телевизоров марки А указанное время составило: $5 ; 12 ; 26 ; 50 ; 57 ; 110 ; 200 ; 230 ; 270$ недель, а для телевизоров марки В: $1 ; 25 ; 31 ; 42 ; 54 ; 70 ; 250 ; 260$ недель. Можно ли считать среднее время безотказной работы у телевизоров марки А и В одинаковыми? Примите уровень значимости равным 0,05.

Деятельность отделения банка характеризуется некоторым показателем $X$. Для проверки была случайным образом выбрана группа из 10 однотипных отделений банка. Показатель $X$ у этих отделений составил: $258,588,477,577,619,614,641,543,517,593$. После экономического кризиса показатель $X$ у 9 случайным образом выбранных отделений составил: 537, $398,256,440,376,524,527,589,479$. Можно ли считать, опираясь на эти данные, что экономический кризис привел к снижению показателя $X$ ? Примите уровень значимости равным 0,05.

Для проверки гипотезы $H_{0}$ вида (7.3) - (7.4) против альтернатив вида $H_{1}: \theta < 0, H_{2}: \theta > 0, H_{3}: \theta \neq 0$ Манном и Уитни был предложен критерий, основанный на статистике

Покажите, что при отсутствии связок, статистика Манна-Уитни $U_{m, n}$ и статистика Вилкоксона $W_{m, n}$ связаны соотношением $W_{m, n} = U_{m, n}+\frac{n(n+1)}{2}$.

Два завода изготовляют электролампы одинакового типа. Из продукции завода № 1 было случайным образом выбрано 10 ламп, а из продукции завода № 2 — 12 ламп. Испытания по длительности горения (в часах) этих ламп показали следующие результаты. Для ламп завода № 1: 1243, 1238, $1253,1243,1254,1260,1251,1246,1255,1237$. Для ламп завода № 2: 1244, $1255,1258,1266,1249,1257,1260,1247,1256,1271,1252,1259$. Проверьте гипотезу о равенстве средней продолжительности горения электроламп завода № 1 и завода № 2. Примите уровень значимости равным 0,05.

Проверьте гипотезу об однородности двух выборок из задачи 9 с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. Примите уровень значимости равным 0,05.

Проведено исследование по оценке роли чистой мотивации (знания цели работы) на выполнение скучных монотонных операций при вытачивании металлической заготовки. Восемнадцать рабочих одинаковой квалификации были случайным образом разделены на три группы. Группа $A$ не имела информации о требуемой производительности труда, группа $B$ получила лишь общие сведения, группа $C$ имела точную информацию о задании. В табл. 8.7 приведено количество обработанных заготовок. Можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что производительность труда растет с осведомленностью?

Таблица 8.7

Докажите, что статистика (8.15) $\hat{\gamma }$ является несмещенной оценкой параметра $\gamma$ из определения 8.1.

Найдите распределение статистики (8.16) и докажите, что статистика (8.16) является центральной статистикой для контраста параметров $\gamma$ из определения 8.1.

Имеются данные о величине прожиточного минимума трудоспособного населения (на душу населения руб. в месяц), установленной в субъектах РФ за IV квартал 2008 г. (табл. 8.8).

Таблица 8.8

Можно ли считать, что величина прожиточного минимума во всех представленных федеральных округах в среднем одинакова? Уровень значимости выберите равным 0,05.

Пусть величины прожиточного минимума трудоспособного населения $X_{i j}$, где $j = 1,2,3$ — номер федерального округа, а $i = 1, \ldots , n_{j}$ номер региона в соответствующем федеральном округе, представленные в задаче 8.3 , описываются моделью (8.12), в которой $\varepsilon_{i j}$ имеют распределение $\mathcal{N}\left(0 ; \sigma^{2}\right)$. Постройте точечные оценки и доверительные интервалы надежности 0,95 для контрастов $\gamma_{1} = \theta_{1}-\theta_{2}, \gamma_{2} = \theta_{1}-\theta_{3}$ и $\gamma_{3} = \theta_{2}-\theta_{3}$ в модели (8.12).

Три группы случайно отобранных людей обучались навыкам скорочтения тремя разными методами. В конце обучения проводился зачет, на котором оценивалась скорость чтения. Обучающиеся показали следующие результаты (страниц за десять минут). Первая группа: $20,23,24,24,25,26$, $28,30,31,32$. Вторая группа: $38,42,42,44,47,48,49,50,51,52$. Третья группа: $29,32,33,35,35,37,38,39,40,42$. Можно ли считать на уровне значимости 0,05 , что предлагаемые методы обучения имеют различную эффективность?

Время (в сек.) химической реакции при различном содержании катализатора распределилось следующим образом (табл. 8.9)

Таблица 8.9

Можно ли считать на уровне значимости 0,01 , что увеличение содержания катализатора в среднем уменьшает время химической реакции?

Докажите эквивалентность формул (8.3) и (8.4).

У каждого из 6800 респондентов измерялось два признака. Признак $A$ (цвет глаз) имеет три градации: карий, серый, зеленый. Признак $B$ (цвет волос) имеет градации: брюнет, шатен, блондин. Данные представлены в табл. 9.12.

Таблица 9.12

Имеется ли статистическая зависимость между признаками $A$ и $B$ на уровне значимости 0,05 ? Оцените меры прогноза Гутмана $\lambda_{A}$ и $\lambda_{B}$.

Спортсмены, ранги которых построении по росту были равны $1,2, \ldots , 13$, показали в прыжке в длину следующие результаты (в м): 6,94 ; 7,$12 ; 7,01 ; 6,98 ; 7,24 ; 7,42 ; 7,13 ; 6,95 ; 7,34 ; 7,82 ; 7,23 ; 7,05 ; 7,15$. Имеется ли зависимость между ростом спортсмена и длиной его прыжка? Уровень значимости считайте равным 0,05.

Докажите равенства (9.8).

Докажите, что коэффициент ранговой корреляции $\widehat{\rho }_{X Y}(n)$, определенный формулой (9.12), можно преобразовать к виду (9.13).

Докажите справедливость формулы (9.34).

Докажите, что $\mathbb {E}\left[\hat{\tau }_{X Y}\right] = \tau_{X Y}$.

В детской клинике проведено обследование 40 новорожденных определенной категории. Выборочный коэффициент корреляции $\widehat{r}_{X Y}(n)$ между ростом ($X$) и весом $(Y)$ этих новорожденных составил 0,76. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о независимости показателей $X$ и $Y$. Используя $z$-преобразование Фишера, постройте асимптотический доверительный интервал для коэффициента корреляции $r_{X Y}$ уровня надежности 0,95.

Имеется 12 одинаковых по размеру дисков, окраска которых отличается тоном — от светло-голубого до темно-синего. Для того чтобы оценить способность модельера одежды различать цветовые оттенки, ему предлагают расположить диски в порядке увеличения степени интенсивности цвета. Модельер установил следующий порядок дисков: $1,4,7,2,3,5$, $8,12,10,6,11,9$. Объективная оценка интенсивности цвета, полученная с помощью колориметрического испытания: $1,2, \ldots , 12$. Опираясь на эти данные, охарактеризуйте способность модельера различать оттенки цвета.

В табл. 9.13 приведены 2663 случая, классифицированных по двум признакам: $A$ — наличие прививки против холеры, $B$ — отсутствие заболевания. Проверьте гипотезу о независимости признаков $A$ и $B$ на уровне значимости 0,05.

Таблица 9.13

Судейская коллегия из шести человек оценивает выступления пяти фигуристов, вышедших в финал соревнований. Результаты представлены в табл. 9.14.

Вычислите коэффициент конкордации Кендалла. Можно ли считать на уровне значимости 0,05 , что данная судейская коллегия обладает единой системой предпочтений?

По имеющимся данным об экономических показателях $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ для 20 регионов России вычислены выборочные коэффициенты корреляции $\widehat{r}_{X_{1} X_{2}} = 0,746, \widehat{r}_{X_{1} X_{3}} = 0,507, \widehat{r}_{X_{2} X_{3}} = 0,432$. Предполагается, что наблюдения имеют гауссовское распределение. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о независимости показателей $X_{1}$ и $X_{3}$, используя информацию только о коэффициенте $\widehat{r}_{X_{1} X_{3}}$. Вычислите частный коэффициент корреляции $\widehat{r}_{13 ; 2}$ между $X_{1}$ и $X_{3}$ при фиксированном показателе $X_{2}$. Проверьте гипотезу $H_{0}: r_{13 ; 2} = 0$.

Центром исследования гражданского общества и некоммерческого сектора НИУ ВШЭ была сформирована репрезентативная выборка из 2000 респондентов. Респондентов попросили ответить, удовлетворены ли они своими доходами. Из 1097 участвовавших в опросе женщин 18 затруднились ответить, 839 ответили отрицательно и 240 — положительно. Из 903 мужчин 13 затруднились ответить, 652 ответили отрицательно и 238 — положительно. Можно ли утверждать, опираясь на эти данные, что удовлетворенность своими доходами и пол зависимы? Уровень значимости считайте равным 0,05.