Проверка гипотезы о независимости случайных величин

У каждого из 6800 респондентов измерялось два признака. Признак $A$ (цвет глаз) имеет три градации: карий, серый, зеленый. Признак $B$ (цвет волос) имеет градации: брюнет, шатен, блондин. Данные представлены в табл. 9.12.

Таблица 9.12

Имеется ли статистическая зависимость между признаками $A$ и $B$ на уровне значимости 0,05 ? Оцените меры прогноза Гутмана $\lambda_{A}$ и $\lambda_{B}$.

Спортсмены, ранги которых построении по росту были равны $1,2, \ldots , 13$, показали в прыжке в длину следующие результаты (в м): 6,94 ; 7,$12 ; 7,01 ; 6,98 ; 7,24 ; 7,42 ; 7,13 ; 6,95 ; 7,34 ; 7,82 ; 7,23 ; 7,05 ; 7,15$. Имеется ли зависимость между ростом спортсмена и длиной его прыжка? Уровень значимости считайте равным 0,05.

Докажите равенства (9.8).

Докажите, что коэффициент ранговой корреляции $\widehat{\rho }_{X Y}(n)$, определенный формулой (9.12), можно преобразовать к виду (9.13).

Докажите справедливость формулы (9.34).

Докажите, что $\mathbb {E}\left[\hat{\tau }_{X Y}\right] = \tau_{X Y}$.

В детской клинике проведено обследование 40 новорожденных определенной категории. Выборочный коэффициент корреляции $\widehat{r}_{X Y}(n)$ между ростом ($X$) и весом $(Y)$ этих новорожденных составил 0,76. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о независимости показателей $X$ и $Y$. Используя $z$-преобразование Фишера, постройте асимптотический доверительный интервал для коэффициента корреляции $r_{X Y}$ уровня надежности 0,95.

Имеется 12 одинаковых по размеру дисков, окраска которых отличается тоном — от светло-голубого до темно-синего. Для того чтобы оценить способность модельера одежды различать цветовые оттенки, ему предлагают расположить диски в порядке увеличения степени интенсивности цвета. Модельер установил следующий порядок дисков: $1,4,7,2,3,5$, $8,12,10,6,11,9$. Объективная оценка интенсивности цвета, полученная с помощью колориметрического испытания: $1,2, \ldots , 12$. Опираясь на эти данные, охарактеризуйте способность модельера различать оттенки цвета.

В табл. 9.13 приведены 2663 случая, классифицированных по двум признакам: $A$ — наличие прививки против холеры, $B$ — отсутствие заболевания. Проверьте гипотезу о независимости признаков $A$ и $B$ на уровне значимости 0,05.

Таблица 9.13

Судейская коллегия из шести человек оценивает выступления пяти фигуристов, вышедших в финал соревнований. Результаты представлены в табл. 9.14.

Вычислите коэффициент конкордации Кендалла. Можно ли считать на уровне значимости 0,05 , что данная судейская коллегия обладает единой системой предпочтений?

По имеющимся данным об экономических показателях $X_{1}, X_{2}$ и $X_{3}$ для 20 регионов России вычислены выборочные коэффициенты корреляции $\widehat{r}_{X_{1} X_{2}} = 0,746, \widehat{r}_{X_{1} X_{3}} = 0,507, \widehat{r}_{X_{2} X_{3}} = 0,432$. Предполагается, что наблюдения имеют гауссовское распределение. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о независимости показателей $X_{1}$ и $X_{3}$, используя информацию только о коэффициенте $\widehat{r}_{X_{1} X_{3}}$. Вычислите частный коэффициент корреляции $\widehat{r}_{13 ; 2}$ между $X_{1}$ и $X_{3}$ при фиксированном показателе $X_{2}$. Проверьте гипотезу $H_{0}: r_{13 ; 2} = 0$.

Центром исследования гражданского общества и некоммерческого сектора НИУ ВШЭ была сформирована репрезентативная выборка из 2000 респондентов. Респондентов попросили ответить, удовлетворены ли они своими доходами. Из 1097 участвовавших в опросе женщин 18 затруднились ответить, 839 ответили отрицательно и 240 — положительно. Из 903 мужчин 13 затруднились ответить, 652 ответили отрицательно и 238 — положительно. Можно ли утверждать, опираясь на эти данные, что удовлетворенность своими доходами и пол зависимы? Уровень значимости считайте равным 0,05.