Дифференциальные уравнения в частных производных

Пусть $T$ — распределение на $\mathbb {R}$, и пусть $T' = 0$ на $\mathbb {R}$. Докажите, что $T = \operatorname {const}$; то есть покажите, что существует число $a$ такое, что

Пусть $u \in H^s(\mathbb {R}^{n})$ с $s > n/2$. Докажите, что $\lim_{\left|x\right| \to \infty } u(x) = 0$.

Пусть $u$ определено для $f \in \mathcal{D}((0,1))$ по формуле

Определите, является ли $u$ распределением на $(0,1)$, и обоснуйте ответ.

Пусть

При каких $p \geq 1$ функция

принадлежит $W^{1,p}(B)$?

Пусть $\Sigma$ — гладкая гиперповерхность, делящая $\mathbb {R}^{n}$ на два непересекающихся открытых множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$. Обозначим через $\nu = \nu (x)$ единичную нормаль к $\Sigma$, направленную в $\Omega_2$. Предположим, что $v : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ решает уравнение

в классическом ($C^1$) смысле, где $b$ — непрерывная функция. Предположим далее, что $v$ принадлежит как $C^0(\overline{\Omega_1})$, так и $C^0(\overline{\Omega_2})$ (но не обязательно $C^0(\mathbb {R}^{n})$!!), причём

для каждого $x_0 \in \Sigma$. Выведите необходимое и достаточное условие в терминах $v^+$, $v^-$ и $\nu$ для того, чтобы $v$ было распределительным решением уравнения (*) на всём $\mathbb {R}^{n}$.

Напомним определение оператора ротора в двух измерениях, действующего на векторное поле $U(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$:

Пусть $p$ — многочлен от $n$ переменных, и пусть множество $\left\{ x : p(ix) = 0\right\}$ ограничено. Докажите, что существует умеренное распределение $E$ на $\mathbb {R}^{n}$ такое, что $p(D)E - \delta \in S$. Здесь $S$ — пространство Шварца быстро убывающих функций, а $\delta$ — распределение Дирака, определённое как $\delta \cdot \phi = \phi (0)$.

Пусть $P(D)$ — линейный дифференциальный оператор в частных производных порядка $m$ с постоянными коэффициентами на $\mathbb {R}^{n}$; то есть

где $\alpha$ обозначает мультииндекс $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n)$, а $C_{\alpha }$ — постоянные. Предположим, что

Если $u \in S'$ удовлетворяет $P(D)u = 0$, докажите, что $u$ обязательно является многочленом. (Здесь $S'$ обозначает пространство умеренных распределений на $\mathbb {R}^{n}$.)

Пусть $u$ — решение начальной задачи

u_tt = -u_x_j x_j x_k x_k, x R^3, t > 0, u(x,0) = 0, u_t(x,0) = (x),

где суммирование понимается в смысле уравнения в частных производных, а $\phi$ — функция класса $C^{\infty }$ на $\mathbb {R}^{3}$ с компактным носителем. Предположим, что существует постоянная $C$ такая, что

и докажите, что

Пусть $\phi \in S$ (быстро убывающие функции) на $\mathbb {R}^{1}$, рассмотрим решение $u$ уравнения Шрёдингера

iu_t + u_xx = 0 (x R^1, t > 0), u(x,0) = (x).

Докажите, что

Здесь $\hat{\phi }$ обозначает преобразование Фурье функции $\phi$.

Пусть $u$ — гладкое решение следующей задачи

u_xxt + u_xx - u^3 = 0, в [0,1] [0,), u(0,t) = u(1,t) = 0 при t [0,)

с начальными данными $u(x,0) = x(x-1)$. Выведите дифференциальное неравенство для $w := \int_0^1 \left|u_x(x,t)\right|^2\, dx$ и докажите, что $u(x,t)$ равномерно стремится к нулю при $t \to \infty$.

Предположим, что $g \in L^2(\mathbb {R})$, и рассмотрим задачу Коши

Пусть $u \not\equiv 0$ удовлетворяет $u \in C^2(\mathbb {R}^{n})$, $\Delta u = 0$ на $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что

не существует.

Пусть $u \in C^0(\Omega )$ слабо гармонична в открытом множестве $\Omega$, то есть равенство

выполнено для всех $\phi \in C_0^2(\Omega )$. Докажите, что тогда $u$ гармонична в $\Omega$.

Пусть $f(x,y)$ — локально ограниченная функция, гармоническая по $x \in \mathbb {R}^{2}$ и непрерывная по $y \in \mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $f$ непрерывна по $(x,y)$, то есть как функция на $\mathbb {R}^{4}$.

Предположим, что $u$ — функция, определённая на $\mathbb {R}^{n}$, такая, что

Пусть $u(x)$ — функция класса $C^2$ на полупространстве $\mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n > 0\right\}$, непрерывная на границе $\partial \mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n = 0\right\}$, и пусть $g(x)$ — функция класса $C^1$ с компактным носителем на $\partial \mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n = 0\right\}$. Если $u$ ограничена и удовлетворяет

покажите, что её «тангенциальные» производные $\dfrac {\partial u}{\partial x_j}$, $j = 1, \ldots , n-1$, ограничены по модулю величиной $\max \left|\nabla_g\right|$ на всём $\mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n > 0\right\}$. (Предупреждение. Вы должны обосновать любые предположения о регулярности, которые делаете относительно решения $u$.)

Докажите, что задача

u = -1 при x < 1, y < 1, u = 0 при x = 1, - = 0 при y = 1

имеет не более одного решения. (Здесь $u = u(x,y)$ — функция двух переменных $x$ и $y$, являющаяся классическим решением.)

Пусть $\Omega$ — ограниченная нормальная область в $\mathbb {R}^{3}$, и пусть $\alpha$ таково, что существует нетривиальное решение задачи

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество. Пусть $u$ — непрерывная функция на $\Omega$. Докажите эквивалентность следующих двух понятий «субгармоничности».

Пусть $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество, и пусть $u$ гармонична в $\Omega$ и непрерывна в $\overline{\Omega }$.

Пусть $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{3}$ — ограниченное открытое множество с гладкой границей. Пусть $u \in C^1(\overline{\Omega }) \cap C^2(\Omega )$ решает

Выведите соответствующее свойство среднего значения для решения.

Пусть $u \in C^2(\mathbb {R}^{2})$ удовлетворяет

Докажите, что её сферическое среднее, определённое как

и $v(0) = u(0)$, также удовлетворяет (1) при $x \neq 0$. Здесь $B(0,r)$ обозначает шар радиуса $r$, $dS_y$ — элемент длины дуги.

Пусть $B = \left\{ (x,y) \mid x^2 + y^2 < 1\right\}$. Докажите, что задача

имеет ровно одно слабое решение $u$ в $H_0^1(B)$.

Пусть $\Omega$ — единичный шар в $\mathbb {R}^{n}$ с центром в нуле. Рассмотрим следующую задачу.

Найти $u \in H_0^1(\Omega )$ такую, что

где $\mathbb {R}^{n} \ni x = (x_1, \ldots , x_{n-1}, x_n) = (x', x_n)$. Докажите существование единственного решения этой задачи.

Обозначим $u^+ = u|_{\Omega \cap \left\{ x_n>0\right\} }$ и $u^- = u|_{\Omega \cap \left\{ x_n<0\right\} }$, и предположим, что $u^{\pm }$ достаточно регулярны. Покажите, что $\Delta u^{\pm } = 0$ и что

Рассмотрим функции $u_n, v_n, w \in W^{2,2}(\Omega ) \cap W_0^{1,2}(\Omega )$ такие, что

-v_n + u_n = w, -u_n - n v_n = 0,

в $\Omega$. Докажите, что $u_n \to w$ сильно в $L^2(\Omega )$ при $n \to +\infty$.

Предположим, что $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченное открытое множество с гладкой границей, и пусть $f \in C_c^{\infty }(\Omega )$. Предположим, что $u_k \in C^{\infty }(\Omega )$ удовлетворяет $\Delta u_k + u_k = f$ и обладает свойством, что для некоторого положительного числа $M$

при $k = 1, 2, \ldots$. Докажите, что существуют функция $u \in C^{\infty }(\Omega )$, удовлетворяющая $\Delta u + u = f$, и подпоследовательность $\left\{ u_{k_j}\right\}$ такие, что $u_{k_j}$ равномерно сходится к $u$ на каждом компактном подмножестве $\Omega$.

Пусть $\Omega$ — ограниченная липшицева область в $\mathbb {R}^{n}$, и

где $h_1, h_2 : \Omega \to \mathbb {R}$ — заданные гладкие функции.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$, $n > 1$, — ограниченная область с гладкой границей. Пусть $u \in C^1(\overline{\Omega })$ гармонична в $\Omega$.

Пусть $\Omega$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что $u \in C^2(\overline{\Omega })$ — решение уравнения $\Delta u = u^3$ со свойством $\left|\nabla u(x)\right| \leq 1$ для каждого $x \in \partial \Omega$. Докажите, что $\left|\nabla u(x)\right| \leq 1$ для всех $x \in \Omega$.

Рассмотрим (нелинейное) уравнение

-u = u^2(1-u) в , u = 0 на , 1

где $\lambda > 0$ — параметр, а $\partial \Omega$ достаточно гладкая.

Пусть $\Omega$ — ограниченная нормальная область в $\mathbb {R}^{n}$ с гладкой границей $\partial \Omega$. Пусть $\overrightarrow {n}$ — внешняя единичная нормаль на $\partial \Omega$. Покажите, что единственным решением краевой задачи для бигармонического уравнения:

(u) = 0 в u = 0 на , = 0 на ,

является тривиальное $u \equiv 0$. Предположите, что $u \in C^4(\overline{\Omega })$.

Пусть $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb {R}^{n}$ с гладкой границей $\partial \Omega$, и предположим, что $u \in C^2(\overline{\Omega })$ удовлетворяет следующему

где $f \in C^0(\overline{\Omega })$ и $\phi \in C^0(\partial \overline{\Omega })$. Пусть $B_R(O)$ — наименьший шар с центром в начале координат $O$ такой, что $\Omega \subset B_R(O)$. Покажите, что

Также приведите пример, показывающий, что эта оценка точна, то есть в вашем примере может достигаться равенство.

Внутри единичного круга $\Omega = \left\{ x \in \mathbb {R}^{2}, \left|x\right| \leq 1\right\}$ постройте два решения $u_1, u_2$ уравнения Гамильтона—Якоби

u^2 - 1 = 0 для п.в. x u = 0 при x = 1,

с $u_1 \geq 0$, в то время как $u_2 \leq 0$. Докажите, что отрицательное решение $u_2$ не может быть получено как предел параболической (эллиптической) аппроксимации. В самом деле, если $u^{\varepsilon }$ обозначает решение

u^^2 - 1 = u^ для x u^ = 0 при x = 1,

то $u^{\varepsilon }$ не может сходиться к $u_2$ при $\varepsilon \to +0$.

Рассмотрим задачу Коши для оператора теплопроводности в $\mathbb {R}^{1}$:

u_t = u_xx (-< x < , t > 0) u(x,0) = f(x) (-< x < ),

где $f$ ограничена, непрерывна и удовлетворяет

Докажите, что существует постоянная $C$ такая, что

для всех $-\infty < x < \infty$, $t > 0$.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество с гладкой границей, и пусть $u \in C^{\infty }(\Omega \times [0,\infty ))$ — решение уравнения

с $u = 0$ на $\partial \Omega \times [0,\infty )$. Предположим, что

Пусть

Докажите, что $\psi (t) \to 0$ при $t \to +\infty$.

Рассмотрим задачу Коши

u_t = u_xx (-< x < , t > 0), u(x,0) = f(x),

где $f$ ограничена и непрерывна.

Рассмотрим задачу

u_t = u_xx (x R, t > 0) u(x,0) = u_0(x) L^2(R).

Найдите оценку для $\int_{-\infty }^{\infty } \left|u_x(x,t)\right|^2\, dx$ при $t > 0$.

Для указанной области $\Omega$ (внутренность параболы) пусть $\Omega_T$ обозначает точки $(x,t)$ с $x \in \Omega$ и $t < T$. Пусть $B_1$ обозначает открытый отрезок прямой, образующий верхнюю часть $\partial \Omega_T$, и пусть $B_2 = \partial \Omega_T \setminus B_1$. Пусть $u(x,t) \in C^0(\overline{\Omega_T})$ с $u_{xx}, u_t \in C^0(\Omega_T \cup B_1)$ — решение

с $a, f \in C^0(\overline{\Omega })$. Покажите, что если $a < 0$, $f \leq 0$ в $\Omega_T$, то любое непостоянное решение $u$ достигает своего отрицательного минимума (если он существует) на $B_2$. Что можно сказать, если $a < 0$, $f \geq 0$ в $\Omega_T$?

Рассмотрим краевую задачу

u_xx + u_t = 0 (0 x и t > 0), Г.У. u(0,t) = 0, u_x(,t) = 0, Н.У. u(x,0) = f(x).

Используя последовательность $\left\{ f_n(x) = \dfrac {2}{n+1} \sin \left(\dfrac {n+1}{2}x\right)\right\}$ и подходящее пространство непрерывных функций, определите, является ли эта задача корректно поставленной.

В теории вероятностей встречается процесс Орнштейна—Уленбека, в котором частицы броуновского движения подвержены упругой силе. Требуется решить

u_t = u_xx - xu_x (x R, t > 0) u(x,0) = u_0(x).

Предположим $u_0 \in S$ и найдите $u$. (Вы должны суметь найти $u$ явно; если нет, оставьте результат в виде одномерного интеграла.)

Пусть $L$ — обычный оператор теплопроводности

пусть $\phi \in D(\mathbb {R}^{n})$, и пусть $h$ — фиксированная точка $\mathbb {R}^{n}$. Рассмотрим задачу

(Lu)(x,t) = u(x-h,t), x R^n, t > 0, u(x,0) = (x), x R^n

для неизвестной функции $u(x,t)$.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченная область, и предположим, что $u(x,t) \geq 0$ — функция с $u \in C^2(\overline{\Omega } \times [0,\infty ))$, которая решает уравнение

(теплопроводность с потерей тепла за счёт излучения) с граничным условием $u|_{\partial \Omega } = 0$. Докажите, что можно найти постоянную $C$ такую, что

независимо от начального значения $u(x,0)$.

Пусть

удовлетворяет

где $g,h$ непрерывны и $g,h < 1$. Докажите, что $\max u < 1$ на $\overline{B(0,r)} \times [0,T]$.

Пусть $u \in C^2(\Omega \times (0,T)) \cap C^0(\overline{\Omega } \times [0,T])$ — решение задачи

где $\Omega$ — гладкая ограниченная область в $\mathbb {R}^{n}$.