Банк задач по математике

Задача 6.4.1

Предположим, что $g$ гладкая и принадлежит $L^1(\mathbb {R}^{n})$ , $n$ произвольно. Пусть $\hat{u}(\xi ,t)$ — преобразование Фурье (по переменной $x$ ) решения $n$ -мерного волнового уравнения:

u_tt - c^2 u = 0, u(x,0) = 0, u_t(x,0) = g(x).

Покажите, что норма $L^p$ функции $u(\cdot ,t)$ в момент времени $t$ при $p > n$ ограничена постоянной, умноженной на $t^{1-n/p}$ .

?

Задача 6.4.2

(a)(b)

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения

u_tt - u = 0, u = u(x,t), x R^n, t > 0 u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x).

Предположим $u_0, u_1 \in S$ .

?

(a)

Используя преобразование Фурье, покажите, что полная энергия в момент времени $t$

E(t) = \frac{1}{2} \int _{\mathbb {R}^{n}} u_t^2(x,t) + \left|\nabla _x u(x,t)\right|^2\, dx

постоянна во времени.

(b)

Пусть $E_0$ обозначает постоянную энергию из (a), то есть $E(t) \equiv E_0$ . Покажите, что

\lim _{t \to \infty } \int _{\mathbb {R}^{n}} u_t^2(x,t)\, dx = \lim _{t \to \infty } \int _{\mathbb {R}^{n}} \left|\nabla _x u(x,t)\right|^2\, dx = E_0.

Задача 6.4.3

(a)(b)(c)

Рассмотрим начальную задачу для волнового уравнения от трёх пространственных переменных:

u_x_1x_1 + u_x_2x_2 + u_x_3x_3 - u_tt = 0; x R^3, t > 0, u(x,0) = (x); x R^3, u_t(x,0) = (x); x R^3.

?

(a)

Запишите формулу для решения задачи.

(b)

Если $\phi$ и $\psi$ обращаются в нуль вне шара радиуса 3 с центром в начале координат, найдите множество точек в $\mathbb {R}^{3}$ , для которых вы уверены, что $u$ обращается в нуль при $t = 10$ .

(c)

Если $\phi$ обращается в нуль всюду в $\mathbb {R}^{3}$ , и

\psi (x) = \begin{cases} 0, & \left|x\right| < 1, \\ k, & 1 \leq \left|x\right| \leq 2, \\ 0, & 2 < \left|x\right|, \end{cases}

где $k$ — постоянная, найдите $u(0,t)$ для всех $t \geq 0$ . (Ваш ответ должен быть явным, без интегралов.)

Задача 6.4.4

(a)(b)

Пусть $\Omega$ — верхнее полупространство в $\mathbb {R}^{n}$

\Omega = \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb {R}^{3}; x_3 > 0\right\} .

Рассмотрим начально-краевую задачу

- - = 0; x , t > 0, u(x,0) = (x), u_t(x,0) = (x); x , u(x,t) = 0, x , t 0.

?

(a)

Запишите формулу для значения $u(x,t)$ решения в точке $(x,t)$ , $x \in \Omega$ , когда

t < x_3.

(b)

Найдите формулу для значения $u(x,t)$ решения в точке $(x,t)$ , $x \in \Omega$ , для всех $t > 0$ .

Задача 6.4.5

(a)(b)(c)(d)

Пусть $u(x,t)$ — решение класса $C^2$ задачи Коши

u_tt = u (x R^n, t > 0), u(x,0) = (x), u_t(x,0) = (x); , C^,

с компактным носителем. Определим локальную энергию по формуле

E_R(u(t)) = \frac{1}{2} \int _{\left|x\right|<R} (u_t^2 + \left|\nabla u\right|^2)\, dx.

?

(a)

Используя тождество энергии, покажите, что

E_{R-T}(u(0)) \leq E_R(u(t)) \leq E_{R+T}(u(0)).

Заключите, что полная энергия $E_{\infty }(u(t))$ сохраняется.

(b)

Для $n = 3$ вычислите $\lim_{t \to \infty } E_R(u(t))$ .

(c)

Выполните (b) при $n = 1$ .

(d)

Пусть $n = 2$ , $\phi \equiv 0$ , и предположим, что $\psi \equiv 0$ при $\left|x\right| \geq k$ , где $x = (x_1,x_2)$ . Покажите, что $u$ удовлетворяет

\left|u(x,t)\right| \leq c(t-r+2k)^{-1/2}(t+r+2k)^{-1/2} \int _{\left|x\right| \leq k} \left|\psi (x)\right|\, dx

для некоторой постоянной $c$ на множестве $r < t - 4k$ . (Здесь $r = \left|x\right|$ .)

Задача 6.4.6

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченная область, и предположим, что $u(x,t)$ — функция с $u \in C^2(\overline{\Omega } \times [0,\infty ))$ , которая решает уравнение

u_{tt} - \Delta u = u

с граничным условием $u|_{\partial \Omega } = 0$ . С

E(t) = \frac{1}{2} \int _{\Omega } u_t^2(x,t) + \left|\nabla _x u(x,t)\right|^2\, dx

докажите, что существует $C < \infty$ такая, что

E(t) \leq \exp (Ct) E(0)

для всех $t \geq 0$ .

?

Задача 6.4.7

(a)(b)

?

(a)

Найдите явный вид решения начальной задачи

^2 u = u_tt, x R^3, t > 0, u(x,0) = , x R^3, u_t(x,0) = -, x R^3,

где $r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ , а $f(\eta )$ — функция класса $C^3$ на вещественной прямой с компактным носителем такая, что

f() = 0, 0, _0^ (f')^2 + (f' - f)^2 d= 1,

где $f'(\eta )$ — производная $f$ по $\eta$ .

(b)

Чему равна её энергия в момент времени $t = 10$ ?

Задача 6.4.8

Рассмотрим волновое уравнение в $\mathbb {R}^{3}$ :

u_tt - u = 0 для x R^3, t > 0, u(x,0) = 0, u_t(x,0) = g(x),

где $g \in C_0^{\infty }(\mathbb {R}^{3})$ . Докажите, что существует постоянная $C$ , зависящая только от данных задачи, такая, что

\sup _{x \in \mathbb {R}^{3}} \left|u(x,t)\right| \leq \frac{C}{t}, \quad t > 0.

?

Задача 6.4.9

Пусть $u \in C^2(\mathbb {R}^{n+1}(x,t))$ — решение уравнения $u_{tt} - \Delta u = 0$ . Предположим также, что $u = u_t = 0$ на шаре $B = \left\{ (x,0) : \left|x\right| \leq t_0\right\}$ в плоскости $t = 0$ . Докажите, что $u$ обращается в нуль в конической области

D = \left\{ (x,t) : 0 \leq t \leq t_0 \text{ и } \left|x\right| \leq t_0 - t\right\} .

?

Задача 6.4.10

Пусть $u(x,t)$ — решение задачи Коши

u_tt = u (x R^3, t > 0), u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = g(x).

Предположим, что $f, g \in C_0^{\infty }(\mathbb {R}^{3})$ .

Докажите, что если

\lim _{t \to \infty } \int _{\mathbb {R}^{3}} u^2\, dx = 0,

то

\int _{\mathbb {R}^{3}} g\, dx = 0.

?

Задача 6.4.11

(a)(b)

Рассмотрим решение волнового уравнения

u_{tt} = \Delta u \quad (x \in \mathbb {R}^{3}, t > 0)

с данными $u(x,0) = 0$ , $u_t(x,0) = \psi (x) \in C_0^{\infty }$ .

?

(a)

Используя преобразование Фурье, покажите, что существует положительная постоянная $c$ такая, что

\lim _{t \to \infty } \int u^2\, dx = c.

(b)

Покажите, что существует положительная постоянная $C_1$ такая, что

t \cdot \max _x \left|u\right| \geq C_1

для всех достаточно больших $t$ .

Задача 6.4.12

(a)(b)

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения

u_tt - u = 0 (x R^n, t > 0), u(x,0) = (x), u_t(x,0) = (x).

?

(a)

Пусть $n = 3$ ; $\phi , \psi \in C_0^{\infty }(\mathbb {R}^{3})$ . Пусть $\theta < 1$ . Определите поведение при больших временах интеграла

\int _{\left|x\right| \leq \theta t} u^4(x,t)\, dx.

(b)

Пусть $n = 2$ , $\phi \equiv 0$ , $\psi \in C_0^{\infty }(\mathbb {R}^{2})$ . Покажите, что для любого $\theta < 1$ имеем

\sup _{\left|x\right| \leq \theta t} \left|u(x,t)\right| = O(t^{-1}) \quad \text{при } t \to \infty .

Задача 6.4.13

(a)(b)

Линейное уравнение переноса — это следующее уравнение в частных производных для скалярной функции $f$ семи переменных $x, v, t$ ( $x \in \mathbb {R}^{3}$ , $v \in \mathbb {R}^{3}$ , $t \in \mathbb {R}^{1}_+$ ):

f_t + v \cdot \nabla _x f = 0.

Рассмотрим для него начальную задачу; то есть пусть

f(x,v,0) = \overset {\circ }{f}(x,v); \quad \overset {\circ }{f} \text{ задана}, \overset {\circ }{f} \in C^1.

?

(a)

Покажите, что если $\overset {\circ }{f} \geq 0$ для всех $x, v$ , то то же верно для $f$ во все последующие моменты времени.

(b)

Определим локальную плотность $\rho$ по формуле

\rho (x,t) = \int _{\mathbb {R}^{3}} f(x,v,t)\, dv.

Предположим, что $0 \leq \overset {\circ }{f}(x,v) \leq h(x)$ , где $h \in L^1(\mathbb {R}^{3})$ . Покажите, что

\sup _x \rho = O(t^{-3}) \quad \text{при } t \to \infty .

Задача 6.4.14

Решите задачу Коши

xu_x + yuu_y = -xy (x > 0) u = 5 на xy = 1,

если решение существует.

?

Задача 6.4.15

Вычислите явное решение $u(x,t)$ начальной задачи

u_t + (u_x)^2 = 0, u(x,0) = x^2.

?

Задача 6.4.16

Решите следующую начальную задачу.

u_t + uu_x = 0, x R, t > 0, u(x,0) = 1, x < 0, 1-x, 0 x 1, 0, x > 1.

Покажите, что непрерывное решение существует лишь на конечном промежутке времени, и найдите разрывное энтропийное решение, явно указав кривую разрыва и условие Рэнкина—Гюгонио на ней.

?

Задача 6.4.17

(a)(b)

?

(a)

Пусть $u(x,t)$ — гладкое решение

\frac{\partial u}{\partial t} + a(x,u) \frac{\partial u}{\partial x} - bu = 0 \quad \text{для } 0 < t < T,

где $b$ — постоянная, а $a$ гладкая. Покажите, что если

\alpha \leq u(x,0) \leq \beta \quad \text{для всех } x,

то

\alpha e^{bt} \leq u(x,t) \leq \beta e^{bt}

для всех $x$ и всех $t \in (0,T)$ .

(b)

Пусть $u(x,t)$ — гладкое решение

a(u) = 0 для 0 < t < T, u(x,0) = u_0(x),

где $u_0$ и $a$ гладкие. Покажите, что если $x(t,y)$ — характеристика, проходящая через $(y,0)$ , то

u_x(x(t,y),t) = \frac{u_x(y,0)}{\left(\dfrac {d}{dx} a(u_0(x))\Big|_{x=y}\right) t + 1}.

Используя это, вычислите наибольшее $T$ , для которого гладкое решение может существовать вплоть до момента $T$ .
Покажите, что если $0 \leq t_1 < t_2 < T$ , то
$\int _{-\infty }^{\infty } \left|u_x(x,t_2)\right|\, dx = \int _{-\infty }^{\infty } \left|u_x(x,t_1)\right|\, dx.$

Задача 6.4.18

(Единственность слабых решений) Рассмотрим задачу Коши

\begin{cases} u_t + u_x = 0, & \text{на } \mathbb {R} \times [0,T], \\ u(x,0) = u_0(x), & \text{на } \mathbb {R} \times \left\{ 0\right\} . \end{cases} \tag {2}

Функция $u \in L^p(\mathbb {R} \times [0,T])$ называется слабым решением (2), если

\begin{align} & \int _0^T \int _{-\infty }^{+\infty } u(y,s)(-\phi _t(y,s) - \phi _x(y,s))\, dy\, ds \\ & \quad + \int _{-\infty }^{\infty } u_0(y) \phi (y,0)\, dy = 0 \tag {2’} \end{align}

для всех пробных функций $\phi (x,t) \in C^{\infty }(\mathbb {R} \times [0,T])$ , имеющих компактный носитель и обращающихся в нуль на $\left\{ t=T\right\}$ .

Если $u_0(x) \equiv 0$ , докажите, что единственное $L^p$ -решение (2') — это $u \equiv 0$ .

?

Задача 6.4.19

(a)(b)

Рассмотрим задачу Коши для функции $u = u(x,t)$ , где $x \in \mathbb {R}$ и $t > 0$ .

\begin{cases} u_t + a(x,t) u_x = b(x,t), \\ u(x,0) = u_0(x) \in C(\mathbb {R}). \end{cases}

?

(a)

Покажите, что если $b \equiv 0$ , то $TV(u(\cdot ,t)) \leq TV(u_0(\cdot ))$ для каждого $t > 0$ (где $TV =$ «полная вариация»).

(b)

Покажите, что при $b \not\equiv 0$ по-прежнему выполнена оценка

TV(u(\cdot ,t)) \leq TV(u_0) + \int _0^t TV(b(\cdot ,s))\, ds.

Задача 6.4.20

Предположим, что $u(x,t)$ — гладкое решение

u_t + uu_x = 0 для x R, t > 0 u(x,0) = f(x) для x R.

Предположим, что $f$ — функция класса $C^1$ такая, что

f(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0 \\ 1, & \text{при } x > 1 \end{cases}

и $f'(x) > 0$ при $\left|x\right| < 1$ . Покажите, что при $t > 0$

\lim _{r \to \infty } u(rx,rt) = \begin{cases} 0 & \text{при } x < 0 \\ x/t, & \text{при } 0 < x < t \\ 1 & \text{при } x > t. \end{cases}

?

Задача 6.4.21

(a)(b)

Рассмотрим задачу Коши для закона сохранения

u_t + \left(\frac{u^2}{2}\right)_x = 0, \quad u(0,x) = g(x),

где $g$ — (нетривиальная) гладкая функция с ограниченным носителем.

?

(a)

Докажите, что решение развивает скачок за конечное время.

(b)

В фиксированный момент времени $t$ пусть $x(t)$ — положение скачка, и пусть $u^-, u^+$ — левое и правое состояния по обе стороны скачка. Используя теорему о дивергенции на подходящем треугольнике с вершиной в $(t,x(t))$ , докажите тождество

\int _{x(t)-tu^-}^{x(t)-tu^+} g(x)\, dx = t\left(\frac{(u^-)^2}{2} - \frac{(u^+)^2}{2}\right).

Задача 6.4.22

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

u_t + \sum _{j=1}^n A_j u_{x_j} = 0,

где $u(x,t) = (u_1(x,t),\ldots ,u_m(x,t))$ , $(x,t) \in \mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}$ , а $A_j$ — симметричные матрицы размера $m \times m$ с постоянными вещественными элементами. Используя энергетический метод, покажите, что область зависимости точки $(x^0,t^0)$ , $t^0 > 0$ , для решения системы содержится в конусе

\left\{ \left|x-x^0\right| \leq \Lambda (t^0-t)\right\}

где $\Lambda = \max_{\left|\xi \right|=1, 1 \leq l \leq m} \left|\lambda_l(\xi )\right|$ , а $\lambda_l(\xi )$ , $l=1,\ldots ,m$ , — собственные значения матрицы $A(\xi ) = \sum_{j=1}^n \xi_j A_j$ .

?

Гиперболические уравнения