Банк задач по математике

Задача 6.1.1

(a)(b)

?

(a)

Пусть $A = (a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ — вещественная матрица. Докажите, что

\int _{\left|x\right|<1} (x, Ax)\, dx = \frac{\omega _n}{n(n+2)} \operatorname {trace} A.

Здесь $(\cdot , \cdot )$ — скалярное произведение векторов в $\mathbb {R}^{n}$ , а $\omega_n$ — площадь единичной сферы в $\mathbb {R}^{n}$ .

(b)

Докажите, что из $u \in C_0^2(\mathbb {R}^{n})$ следует

\int _{\mathbb {R}^{n}} (\Delta u)^2\, dx = \sum _{i,j=1}^{n} \int _{\mathbb {R}^{n}} \left|D_{ij} u\right|^2\, dx.

Задача 6.1.2

Пусть $T$ — распределение на $\mathbb {R}$ , и пусть $T' = 0$ на $\mathbb {R}$ . Докажите, что $T = \operatorname {const}$ ; то есть покажите, что существует число $a$ такое, что

T(\phi ) = \int _{\mathbb {R}} a \phi \, dx \quad \text{для всех } \phi \in C_0^{\infty }(\mathbb {R}).

?

Задача 6.1.3

Пусть $u \in H^s(\mathbb {R}^{n})$ с $s > n/2$ . Докажите, что $\lim_{\left|x\right| \to \infty } u(x) = 0$ .

?

Задача 6.1.4

Пусть $u$ определено для $f \in \mathcal{D}((0,1))$ по формуле

\langle u, f \rangle = \sum _{n=0}^{\infty } f^{(n)}\left(\frac{1}{n}\right).

Определите, является ли $u$ распределением на $(0,1)$ , и обоснуйте ответ.

?

Задача 6.1.5

Пусть

B = \left\{ (x,y) \mid x^2 + y^2 < 1\right\} .

При каких $p \geq 1$ функция

u(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

принадлежит $W^{1,p}(B)$ ?

?

Задача 6.1.6

Пусть $\Sigma$ — гладкая гиперповерхность, делящая $\mathbb {R}^{n}$ на два непересекающихся открытых множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ . Обозначим через $\nu = \nu (x)$ единичную нормаль к $\Sigma$ , направленную в $\Omega_2$ . Предположим, что $v : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ решает уравнение

\operatorname {div} v(x) = b(x) \quad \text{при } x \in \mathbb {R}^{n} - \Sigma \tag {*}

в классическом ( $C^1$ ) смысле, где $b$ — непрерывная функция. Предположим далее, что $v$ принадлежит как $C^0(\overline{\Omega_1})$ , так и $C^0(\overline{\Omega_2})$ (но не обязательно $C^0(\mathbb {R}^{n})$ !!), причём

v^{+}(x_0) \equiv \lim _{\substack {x \to x_0 \\ x \in \Omega _1}} v(x), \qquad v^{-}(x_0) \equiv \lim _{\substack {x \to x_0 \\ x \in \Omega _2}} v(x)

для каждого $x_0 \in \Sigma$ . Выведите необходимое и достаточное условие в терминах $v^+$ , $v^-$ и $\nu$ для того, чтобы $v$ было распределительным решением уравнения (*) на всём $\mathbb {R}^{n}$ .

?

Задача 6.1.7

(a)(b)

Напомним определение оператора ротора в двух измерениях, действующего на векторное поле $U(x,y) = (u(x,y), v(x,y))$ :

\nabla \times U \equiv u_y - v_x.

?

(a)

Дайте определение того, что означает для (не обязательно непрерывного) векторного поля $U$ иметь нулевой ротор в смысле распределений.

(b)

Предположим, что $U$ имеет вид

U(x,y) \equiv \begin{cases} U_1, & (x,y) \in \Omega _1, \\ U_2, & (x,y) \in \Omega _2, \end{cases}

где $\Omega_1$ и $\Omega_2$ — открытые множества такие, что $\overline{\Omega_1} \cup \overline{\Omega_2} = \mathbb {R}^{2}$ , $\Gamma \equiv \partial \Omega_1 \cap \partial \Omega_2$ — гладкая кривая, а $U_1$ и $U_2$ — (различные) постоянные векторы. Если $U$ имеет нулевой ротор в $\mathbb {R}^{2}$ в смысле распределений, опишите как можно полнее кривую $\Gamma$ .

Задача 6.1.8

Пусть $p$ — многочлен от $n$ переменных, и пусть множество $\left\{ x : p(ix) = 0\right\}$ ограничено. Докажите, что существует умеренное распределение $E$ на $\mathbb {R}^{n}$ такое, что $p(D)E - \delta \in S$ . Здесь $S$ — пространство Шварца быстро убывающих функций, а $\delta$ — распределение Дирака, определённое как $\delta \cdot \phi = \phi (0)$ .

?

Задача 6.1.9

Пусть $P(D)$ — линейный дифференциальный оператор в частных производных порядка $m$ с постоянными коэффициентами на $\mathbb {R}^{n}$ ; то есть

P(D) = \sum _{\left|\alpha \right| \leq m} C_{\alpha } D^{\alpha }

где $\alpha$ обозначает мультииндекс $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n)$ , а $C_{\alpha }$ — постоянные. Предположим, что

P(i\xi ) \equiv \sum _{\left|\alpha \right| \leq m} C_{\alpha } (i\xi )^{\alpha } \neq 0 \quad \text{для всех } \xi \in \mathbb {R}^{n} - \left\{ 0\right\} .

Если $u \in S'$ удовлетворяет $P(D)u = 0$ , докажите, что $u$ обязательно является многочленом. (Здесь $S'$ обозначает пространство умеренных распределений на $\mathbb {R}^{n}$ .)

?

Задача 6.1.10

(a)(b)(c)(d)

?

(a)

Докажите, что

\lim _{t \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-x^2/4t} = \delta (x)

в $\mathcal{D}'$ .

(b)

Покажите, как определить $\frac{1}{x}$ как распределение (то есть определите главное значение по Коши и покажите, что оно принадлежит $\mathcal{D}'$ ).

(c)

Строго вычислите производную $\log \left|x\right|$ и выразите результат через ответ пункта (b).

(d)

Вычислите преобразование Фурье распределения $\frac{1}{x}$ .

Задача 6.1.11

(a)(b)(c)

?

(a)

Пусть

Lu(x) = \sum _{\left|\alpha \right| \leq m} a_{\alpha } D^{\alpha } u(x), \quad x \in \mathbb {R}^{n}

где $a_{\alpha }$ — постоянные, а $\alpha$ — мультииндекс. Что такое фундаментальное решение оператора $L$ ? Когда оно единственно?

(b)

Если $I_+$ обозначает функцию Хевисайда,

I_+(\xi ) = \begin{cases} 1, & \xi \geq 0, \\ 0, & \xi < 0, \end{cases}

покажите, что

F(x,t) = \frac{1}{2} I_+(t) I_+(t - \left|x\right|)

является фундаментальным решением волнового оператора $W(u) = u_{tt} - u_{xx}$ на $\mathbb {R}^{2}$ .

(c)

Выразите решение задачи Коши

u_tt - u_xx = (x,t), -< x < , t > 0 u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = g(x), -< x <

( $f, g, \phi$ достаточно хорошие) через указанное выше фундаментальное решение. Упростите результат, чтобы получить решение Даламбера этой задачи.

Задача 6.1.12

Пусть $u$ — решение начальной задачи

u_tt = -u_x_j x_j x_k x_k, x R^3, t > 0, u(x,0) = 0, u_t(x,0) = (x),

где суммирование понимается в смысле уравнения в частных производных, а $\phi$ — функция класса $C^{\infty }$ на $\mathbb {R}^{3}$ с компактным носителем. Предположим, что существует постоянная $C$ такая, что

\left\| u(\cdot ,t)\right\| _{L^2(\mathbb {R}^{3})} \leq C t^{1/4} / \log t,

и докажите, что

\int \phi (x)\, dx = 0.

?

Задача 6.1.13

Пусть $\phi \in S$ (быстро убывающие функции) на $\mathbb {R}^{1}$ , рассмотрим решение $u$ уравнения Шрёдингера

iu_t + u_xx = 0 (x R^1, t > 0), u(x,0) = (x).

Докажите, что

\lim _{t \to \infty } \int _{\left|x\right|<t} \left|u(x,t)\right|^2\, dx = \int _{\left|\xi \right|<\frac{1}{2}} \left|\hat{\phi }(\xi )\right|^2\, d\xi .

Здесь $\hat{\phi }$ обозначает преобразование Фурье функции $\phi$ .

?

Задача 6.1.14

Пусть $u$ — гладкое решение следующей задачи

u_xxt + u_xx - u^3 = 0, в [0,1] [0,), u(0,t) = u(1,t) = 0 при t [0,)

с начальными данными $u(x,0) = x(x-1)$ . Выведите дифференциальное неравенство для $w := \int_0^1 \left|u_x(x,t)\right|^2\, dx$ и докажите, что $u(x,t)$ равномерно стремится к нулю при $t \to \infty$ .

?

Задача 6.1.15

(a)(b)

Предположим, что $g \in L^2(\mathbb {R})$ , и рассмотрим задачу Коши

u_t + u_x = \varepsilon u_{xxx}, \quad u(0,x) = g(x). \tag {$CP$)$_{\varepsilon }$}

?

(a)

Для каждого $\varepsilon$ запишите формулу для решения $u^{\varepsilon }(t,x)$ с помощью преобразования Фурье. Покажите, что

\left\| u^{\varepsilon }(t,\cdot )\right\| _{L^2(\mathbb {R})} = \left\| g\right\| _{L^2(\mathbb {R})} \quad \forall t \geq 0.

(b)

Докажите, что при $\varepsilon \to 0$ решения $u^{\varepsilon }$ задачи $(CP)_{\varepsilon }$ сходятся к функции $v(t,x) = g(x-t)$ . Точнее, покажите, что $\left\| u^{\varepsilon }(t) - v(t)\right\|_{L^2(\mathbb {R})} \to 0$ для каждого фиксированного момента времени $t$ .

Общая теория