Параболические уравнения

Рассмотрим задачу Коши для оператора теплопроводности в $\mathbb {R}^{1}$:

u_t = u_xx (-< x < , t > 0) u(x,0) = f(x) (-< x < ),

где $f$ ограничена, непрерывна и удовлетворяет

Докажите, что существует постоянная $C$ такая, что

для всех $-\infty < x < \infty$, $t > 0$.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество с гладкой границей, и пусть $u \in C^{\infty }(\Omega \times [0,\infty ))$ — решение уравнения

с $u = 0$ на $\partial \Omega \times [0,\infty )$. Предположим, что

Пусть

Докажите, что $\psi (t) \to 0$ при $t \to +\infty$.

Рассмотрим задачу Коши

u_t = u_xx (-< x < , t > 0), u(x,0) = f(x),

где $f$ ограничена и непрерывна.

Рассмотрим задачу

u_t = u_xx (x R, t > 0) u(x,0) = u_0(x) L^2(R).

Найдите оценку для $\int_{-\infty }^{\infty } \left|u_x(x,t)\right|^2\, dx$ при $t > 0$.

Для указанной области $\Omega$ (внутренность параболы) пусть $\Omega_T$ обозначает точки $(x,t)$ с $x \in \Omega$ и $t < T$. Пусть $B_1$ обозначает открытый отрезок прямой, образующий верхнюю часть $\partial \Omega_T$, и пусть $B_2 = \partial \Omega_T \setminus B_1$. Пусть $u(x,t) \in C^0(\overline{\Omega_T})$ с $u_{xx}, u_t \in C^0(\Omega_T \cup B_1)$ — решение

с $a, f \in C^0(\overline{\Omega })$. Покажите, что если $a < 0$, $f \leq 0$ в $\Omega_T$, то любое непостоянное решение $u$ достигает своего отрицательного минимума (если он существует) на $B_2$. Что можно сказать, если $a < 0$, $f \geq 0$ в $\Omega_T$?

Рассмотрим краевую задачу

u_xx + u_t = 0 (0 x и t > 0), Г.У. u(0,t) = 0, u_x(,t) = 0, Н.У. u(x,0) = f(x).

Используя последовательность $\left\{ f_n(x) = \dfrac {2}{n+1} \sin \left(\dfrac {n+1}{2}x\right)\right\}$ и подходящее пространство непрерывных функций, определите, является ли эта задача корректно поставленной.

В теории вероятностей встречается процесс Орнштейна—Уленбека, в котором частицы броуновского движения подвержены упругой силе. Требуется решить

u_t = u_xx - xu_x (x R, t > 0) u(x,0) = u_0(x).

Предположим $u_0 \in S$ и найдите $u$. (Вы должны суметь найти $u$ явно; если нет, оставьте результат в виде одномерного интеграла.)

Пусть $L$ — обычный оператор теплопроводности

пусть $\phi \in D(\mathbb {R}^{n})$, и пусть $h$ — фиксированная точка $\mathbb {R}^{n}$. Рассмотрим задачу

(Lu)(x,t) = u(x-h,t), x R^n, t > 0, u(x,0) = (x), x R^n

для неизвестной функции $u(x,t)$.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченная область, и предположим, что $u(x,t) \geq 0$ — функция с $u \in C^2(\overline{\Omega } \times [0,\infty ))$, которая решает уравнение

(теплопроводность с потерей тепла за счёт излучения) с граничным условием $u|_{\partial \Omega } = 0$. Докажите, что можно найти постоянную $C$ такую, что

независимо от начального значения $u(x,0)$.

Пусть

удовлетворяет

где $g,h$ непрерывны и $g,h < 1$. Докажите, что $\max u < 1$ на $\overline{B(0,r)} \times [0,T]$.

Пусть $u \in C^2(\Omega \times (0,T)) \cap C^0(\overline{\Omega } \times [0,T])$ — решение задачи

где $\Omega$ — гладкая ограниченная область в $\mathbb {R}^{n}$.

Для каждого $p \in \mathbb {R}^{n}$ пусть $A(p)$ — вещественная положительно определённая матрица размера $n \times n$ с элементами $a_{ij}(p)$. Предположим $A \in C^1(\mathbb {R}^{n})$. Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченное открытое множество. Докажите (исходя из первых принципов) следующий принцип сравнения:

Пусть $u$ и $v$ — решения класса $C^2$ неравенств

и

соответственно. Предположим далее, что $u$ и $v$ непрерывны на $\overline{\Omega } \times [0,\infty )$ и удовлетворяют условию $u \leq v$ на параболической границе

Тогда $u \leq v$ на $\overline{\Omega } \times [0,\infty )$.

Для ограниченного открытого $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ пусть $u \in C^2(\overline{\Omega } \times [0,\infty ))$. Предположим, что $a_{ij}(x,t,z,p)$ и $b_i(x,t,z)$ — непрерывные функции своих аргументов, и предположим, что

где $\lambda$ — положительная функция. Предположим, что $u$ удовлетворяет неравенству

Докажите, что для любого $T > 0$

где $Q = (\Omega \times \left\{ 0\right\} ) \cup (\partial \Omega \times [0,T])$.

Пусть $\Omega$ — ограниченное открытое множество в $\mathbb {R}^{n}$ с гладкой границей $\partial \Omega$. Пусть $u \in C^2(\Omega \times (0,\infty ))$, причём $u$ непрерывна на $\Omega \times [0,\infty )$, — решение начально-краевой задачи

u_t - u = (u) для x , t > 0 u(x,t) = 0 для x u(x,0) = f(x) для x .

Покажите, что если $f(x) \leq 1$, то $u(x,t) \leq e^t$ для всех $x \in \Omega , t > 0$.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Бюргерса:

u_t - u_xx + uu_x = 0, R (0,), u(x,0) = g(x)

где $g \in L^{\infty } \cap L^1(-\infty ,\infty )$. Выведите явную формулу решения задачи Коши.

Рассмотрим прямоугольник $Q = [0,a] \times [0,b] \subset \mathbb {R}^{2}$.