Эллиптические уравнения

Пусть $u \not\equiv 0$ удовлетворяет $u \in C^2(\mathbb {R}^{n})$, $\Delta u = 0$ на $\mathbb {R}^{n}$. Докажите, что

не существует.

Пусть $u \in C^0(\Omega )$ слабо гармонична в открытом множестве $\Omega$, то есть равенство

выполнено для всех $\phi \in C_0^2(\Omega )$. Докажите, что тогда $u$ гармонична в $\Omega$.

Пусть $f(x,y)$ — локально ограниченная функция, гармоническая по $x \in \mathbb {R}^{2}$ и непрерывная по $y \in \mathbb {R}^{2}$. Докажите, что $f$ непрерывна по $(x,y)$, то есть как функция на $\mathbb {R}^{4}$.

Предположим, что $u$ — функция, определённая на $\mathbb {R}^{n}$, такая, что

Пусть $u(x)$ — функция класса $C^2$ на полупространстве $\mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n > 0\right\}$, непрерывная на границе $\partial \mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n = 0\right\}$, и пусть $g(x)$ — функция класса $C^1$ с компактным носителем на $\partial \mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n = 0\right\}$. Если $u$ ограничена и удовлетворяет

покажите, что её «тангенциальные» производные $\dfrac {\partial u}{\partial x_j}$, $j = 1, \ldots , n-1$, ограничены по модулю величиной $\max \left|\nabla_g\right|$ на всём $\mathbb {R}^{n}_+ = \left\{ x : x_n > 0\right\}$. (Предупреждение. Вы должны обосновать любые предположения о регулярности, которые делаете относительно решения $u$.)

Докажите, что задача

u = -1 при x < 1, y < 1, u = 0 при x = 1, - = 0 при y = 1

имеет не более одного решения. (Здесь $u = u(x,y)$ — функция двух переменных $x$ и $y$, являющаяся классическим решением.)

Пусть $\Omega$ — ограниченная нормальная область в $\mathbb {R}^{3}$, и пусть $\alpha$ таково, что существует нетривиальное решение задачи

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество. Пусть $u$ — непрерывная функция на $\Omega$. Докажите эквивалентность следующих двух понятий «субгармоничности».

Пусть $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество, и пусть $u$ гармонична в $\Omega$ и непрерывна в $\overline{\Omega }$.

Пусть $\Omega \subseteq \mathbb {R}^{3}$ — ограниченное открытое множество с гладкой границей. Пусть $u \in C^1(\overline{\Omega }) \cap C^2(\Omega )$ решает

Выведите соответствующее свойство среднего значения для решения.

Пусть $u \in C^2(\mathbb {R}^{2})$ удовлетворяет

Докажите, что её сферическое среднее, определённое как

и $v(0) = u(0)$, также удовлетворяет (1) при $x \neq 0$. Здесь $B(0,r)$ обозначает шар радиуса $r$, $dS_y$ — элемент длины дуги.

Пусть $B = \left\{ (x,y) \mid x^2 + y^2 < 1\right\}$. Докажите, что задача

имеет ровно одно слабое решение $u$ в $H_0^1(B)$.

Пусть $\Omega$ — единичный шар в $\mathbb {R}^{n}$ с центром в нуле. Рассмотрим следующую задачу.

Найти $u \in H_0^1(\Omega )$ такую, что

где $\mathbb {R}^{n} \ni x = (x_1, \ldots , x_{n-1}, x_n) = (x', x_n)$. Докажите существование единственного решения этой задачи.

Обозначим $u^+ = u|_{\Omega \cap \left\{ x_n>0\right\} }$ и $u^- = u|_{\Omega \cap \left\{ x_n<0\right\} }$, и предположим, что $u^{\pm }$ достаточно регулярны. Покажите, что $\Delta u^{\pm } = 0$ и что

Рассмотрим функции $u_n, v_n, w \in W^{2,2}(\Omega ) \cap W_0^{1,2}(\Omega )$ такие, что

-v_n + u_n = w, -u_n - n v_n = 0,

в $\Omega$. Докажите, что $u_n \to w$ сильно в $L^2(\Omega )$ при $n \to +\infty$.

Предположим, что $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$ — ограниченное открытое множество с гладкой границей, и пусть $f \in C_c^{\infty }(\Omega )$. Предположим, что $u_k \in C^{\infty }(\Omega )$ удовлетворяет $\Delta u_k + u_k = f$ и обладает свойством, что для некоторого положительного числа $M$

при $k = 1, 2, \ldots$. Докажите, что существуют функция $u \in C^{\infty }(\Omega )$, удовлетворяющая $\Delta u + u = f$, и подпоследовательность $\left\{ u_{k_j}\right\}$ такие, что $u_{k_j}$ равномерно сходится к $u$ на каждом компактном подмножестве $\Omega$.

Пусть $\Omega$ — ограниченная липшицева область в $\mathbb {R}^{n}$, и

где $h_1, h_2 : \Omega \to \mathbb {R}$ — заданные гладкие функции.

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R}^{n}$, $n > 1$, — ограниченная область с гладкой границей. Пусть $u \in C^1(\overline{\Omega })$ гармонична в $\Omega$.

Пусть $\Omega$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что $u \in C^2(\overline{\Omega })$ — решение уравнения $\Delta u = u^3$ со свойством $\left|\nabla u(x)\right| \leq 1$ для каждого $x \in \partial \Omega$. Докажите, что $\left|\nabla u(x)\right| \leq 1$ для всех $x \in \Omega$.

Рассмотрим (нелинейное) уравнение

-u = u^2(1-u) в , u = 0 на , 1

где $\lambda > 0$ — параметр, а $\partial \Omega$ достаточно гладкая.

Пусть $\Omega$ — ограниченная нормальная область в $\mathbb {R}^{n}$ с гладкой границей $\partial \Omega$. Пусть $\overrightarrow {n}$ — внешняя единичная нормаль на $\partial \Omega$. Покажите, что единственным решением краевой задачи для бигармонического уравнения:

(u) = 0 в u = 0 на , = 0 на ,

является тривиальное $u \equiv 0$. Предположите, что $u \in C^4(\overline{\Omega })$.

Пусть $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb {R}^{n}$ с гладкой границей $\partial \Omega$, и предположим, что $u \in C^2(\overline{\Omega })$ удовлетворяет следующему

где $f \in C^0(\overline{\Omega })$ и $\phi \in C^0(\partial \overline{\Omega })$. Пусть $B_R(O)$ — наименьший шар с центром в начале координат $O$ такой, что $\Omega \subset B_R(O)$. Покажите, что

Также приведите пример, показывающий, что эта оценка точна, то есть в вашем примере может достигаться равенство.

Внутри единичного круга $\Omega = \left\{ x \in \mathbb {R}^{2}, \left|x\right| \leq 1\right\}$ постройте два решения $u_1, u_2$ уравнения Гамильтона—Якоби

u^2 - 1 = 0 для п.в. x u = 0 при x = 1,

с $u_1 \geq 0$, в то время как $u_2 \leq 0$. Докажите, что отрицательное решение $u_2$ не может быть получено как предел параболической (эллиптической) аппроксимации. В самом деле, если $u^{\varepsilon }$ обозначает решение

u^^2 - 1 = u^ для x u^ = 0 при x = 1,

то $u^{\varepsilon }$ не может сходиться к $u_2$ при $\varepsilon \to +0$.