Комплексный анализ

Верно-неверно. Если утверждение верно, приведите соответствующую теорему или обоснование; если неверно, приведите контрпример или иное обоснование.

Пусть $G$ — область в $\mathbb {C}$, и предположим, что $u : G \to \mathbb {R}$ — гармоническая функция.

Пусть $u$ и $v$ — вещественнозначные гармонические функции на области $\Omega$, причём $u$ и $v$ удовлетворяют условиям Коши-Римана на подмножестве $S$ множества $\Omega$, имеющем предельную точку в $\Omega$. Докажите, что $u + iv$ обязательно аналитична на $\Omega$.

Пусть $Q = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb {C}$ — единичный квадрат, и пусть $f$ голоморфна в окрестности $Q$. Предположим, что

Покажите, что $f$ постоянна.

Пусть $f$ непрерывна на замыкании $\overline{S}$ единичного квадрата

и пусть $f$ аналитична на $S$. Если $\mathrm{Re}\left(f\right) = 0$ на $\overline{S} \cap (\left\{ y = 0\right\} \cup \left\{ y = 1\right\} )$, и если $\mathrm{Im}\left(f\right) = 0$ на $\overline{S} \cap (\left\{ x = 0\right\} \cup \left\{ x = 1\right\} )$, докажите, что $f \equiv 0$ всюду на $\overline{S}$.

Пусть $P(z)$ — многочлен степени $d$ с простыми корнями $z_1, z_2, \ldots , z_d$. ``Разложение на простейшие дроби'' для $\dfrac {1}{P}$ имеет вид:

Пусть $f$ мероморфна в окрестности $\overline{D}$ ($D = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$), и её единственная особая точка — простой полюс в $z = a \in D$. Если $f(\partial D) \subseteq \mathbb {R}$, покажите, что существуют комплексная константа $A$ и вещественная константа $B$, такие что

Пусть $K_1, K_2, \ldots , K_n$ — попарно непересекающиеся круги в $\mathbb {C}$, и пусть $f$ — аналитическая функция в $\mathbb {C} \setminus \bigcup_{j=1}^{n} K_j$. Покажите, что существуют функции $f_1, f_2, \ldots , f_n$, такие что

Напомним, что дивизор $D_f$ рациональной функции $f(z)$ на $\mathbb {C}$ — это множество $\left\{ p \in \mathbb {C} \cup \left\{ \infty \right\} \right\}$, состоящее из нулей и полюсов $p$ функции $f(z)$ (включая точку $\infty$), взятых с кратностями $n_p \in \mathbb {Z}$. Пусть $f$ и $g$ — две рациональные функции с непересекающимися дивизорами. Докажите, что

Пусть $f(z)$ — ``ветвь'' $\log z$, определённая вне отрицательной вещественной полуоси так, что $f(1) = 0$.

Пусть $f$ — аналитическая функция, определённая в круге $\Delta = \left\{ z : \left|z-4\right| < 4\right\}$ так, что $f(z) = z^{1/3}(z+1)^{1/2}$ в $\Delta$, и $f(x)$ положительна при $0 < x < 8$. Аналитическая функция $g$ в $\Delta$ получается из $f$ путём аналитического продолжения вдоль пути, начинающегося и заканчивающегося в точке $z = 4$ (см. рис. 5.2). Выразите $g$ через $f$.

Определим

Пусть $\Omega$ — плоскость с удалённым отрезком $\left\{ -1 \leq x \leq 1, y = 0\right\}$. Для каких из многозначных функций

Найдите наиболее общую гармоническую функцию вида $f(\left|z\right|)$, $z \in \mathbb {C} \setminus 0$. Какие из этих $f(\left|z\right|)$ имеют однозначную гармонически сопряжённую?

Рассмотрим правильную пентаграмму с центром в начале координат на комплексной плоскости. Пусть $u$ — гармоническая функция во внутренности пентаграммы, принимающая граничные значения $1$ на двух показанных отрезках и $0$ на остальной части границы. Чему равно значение $u$ в начале координат? Обоснуйте свой ответ.

Пусть $G$ — область в $\mathbb {C}$, $[0,1] \subset G$, и $h : G \to \mathbb {R}$ непрерывна. $h|_{G \setminus [0,1]}$ гармонична — следует ли отсюда, что $h$ гармонична на $G$?

Пусть $\gamma$ — дуга единичной окружности. Предположим, что $u$ и $v$ гармоничны в $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$ и непрерывно дифференцируемы на $D \cup \gamma$. Если граничные значения удовлетворяют $u = v$ на $\gamma$, а радиальные производные удовлетворяют $\dfrac {\partial u}{\partial r} = \dfrac {\partial v}{\partial r}$ на $\gamma$, докажите, что $u = v$ в $D$.

С помощью конформного отображения найдите гармоническую функцию $U(z)$, определённую в единичном круге $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$, такую что

Укажите правильное определение любых многозначных функций, появляющихся в вашем ответе.

Определите все непрерывные функции на $\left\{ z \in \mathbb {C} : 0 \leq \left|z\right| \leq 1\right\}$, гармонические на $\left\{ z : 0 < \left|z\right| < 1\right\}$ и тождественно равные $0$ на $\left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| = 1\right\}$.

Пусть $B(z) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \dfrac {a_k - z}{1 - \overline{a_k} z}$, где $a_1, a_2, \ldots , a_n$ — различные точки в $D \setminus \left\{ 0\right\}$. Покажите, что

Существует ли аналитическая функция в $\left|z\right| < 1$, такая что $0 < \left|f(\frac{1}{n})\right| < e^{-n}$ для $n = 2, 3, 4, \ldots$? Обоснуйте ответ.

Пусть $D = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| < 1\right\}$. Найдите все голоморфные функции $f : D \to \mathbb {C}$, такие что $f\! \left(\frac{1}{n} + ie^{-n}\right)$ вещественно для всех целых $n \geq 2$.

Найдите взаимно однозначное голоморфное отображение единичного круга $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$ на разрезанный круг $\left\{ \left|w\right| < 1\right\} - [0,1)$.

Отобразите круг $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$ с разрезами вдоль отрезков $[a,1], [-1,-b]$ ($0 < a < 1$, $0 < b < 1$) конформно на полный круг $\left\{ \left|w\right| < 1\right\}$ с помощью функции $w = f(z)$ с $f(0) = 0$, $f'(0) > 0$. Вычислите $f'(0)$ и длины дуг, соответствующих разрезам.

Пусть $0 < \varepsilon < \pi$, пусть $\gamma_\varepsilon$ обозначает дугу $\left\{ e^{it} : \varepsilon \leq t \leq 2\pi -\varepsilon \right\}$, и пусть $\Omega_\varepsilon$ — дополнение $\gamma_\varepsilon$ на сфере Римана. Если $f$ — конформное отображение единичного круга на $\Omega_\varepsilon$, $f(0) = 0$, $f'(0) > 0$, опишите ту часть единичного круга, которую $f$ отображает на $\left\{ \left|z\right| > 1\right\}$.

Пусть $w = f(z)$ отображает односвязную область $G$ взаимно однозначно и конформно на круг $D_r$ с центром $w = 0$, радиусом $r$, так что $f(a) = 0$ и $\left|f'(a)\right| = 1$ для некоторой точки $a \in G$.

Пусть $T(z) = \dfrac {az+b}{cz+d}$ — преобразование Мёбиуса.

Если $f : D(0,1) = \left\{ \left|z\right| < 1\right\} \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция, удовлетворяющая $f(0) = 0$, и если

докажите, что

Пусть $\Omega = \left\{ z \in \mathbb {C}; -1 < \im z < 1\right\}$, и пусть $\mathcal F$ — семейство всех аналитических функций $f : \Omega \to \mathbb {C}$, таких что $\left|f\right| < 1$ на $\Omega$ и $f(0) = 0$. Найдите

Пусть $f$ — аналитическая функция на $D = \left\{ z; \left|z\right| < 1\right\}$, такая что $f(0) = 1$, и пусть $\left|1+f(z)\right| \leq 1 + \left|f(z)\right|$ при $\left|z\right| < 1$. Докажите, что $\left|f'(0)\right| \leq 4$.

Пусть $P$ — множество голоморфных функций $f$ на открытом единичном круге, такое что (i) и вещественная, и мнимая части $f(z)$ положительны при $\left|z\right| < 1$, (ii) $f(0) = 1+i$. Пусть $E = \left\{ f(\frac12) : f \in P\right\}$. Опишите $E$ явно.

Пусть $\Omega = \left\{ z : \left|z-4\right| < 4\right\}$. Если $\mathcal F$ — семейство всех аналитических функций на $\Omega$, таких что $\left|f\right| < 1$ в $\Omega$ и $\lim_{w \to \infty } f(w) = 0$, найдите $\sup_{f \in \mathcal F} \left|f(8)\right|$. Ваш ответ должен быть явным числом, и вы должны доказать своё утверждение.

Пусть $D$ — верхняя полуплоскость, и пусть $f \neq \mathrm{id}$ — конформное отображение $D$ на себя, такое что $f \circ f = \mathrm{id}$. Докажите, что $f$ имеет единственную неподвижную точку внутри $D$.

Пусть $\Omega$ — выпуклое открытое подмножество $\mathbb {C}$, и пусть $f : \Omega \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция, удовлетворяющая $\mathrm{Re}\left(f'(z)\right) > 0$, $z \in \Omega$. Докажите, что $f$ взаимно однозначна в $\Omega$ (т.е. $f$ инъективна).

Покажите, что если многочлен $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$, $n > 1$, взаимно однозначен в единичном круге $\left|z\right| < 1$ и $a_1 = 1$, то $\left|na_n\right| \leq 1$.

Пусть $P(z)$ — многочлен на комплексной плоскости, не равный тождественно нулю; пусть $H = \left\{ z : \re z > 0\right\}$.

Пусть $f(z)$ — ряд Лорана с центром в $0$, сходящийся в $\mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$, с вычетом $b$ в точке $z=0$.

Пусть $f$ аналитична в окрестности $\closure D$, $f$ отображает $D$ в $D$, и $f$ отображает $\partial D$ в $\partial D$, где $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$.

Если $f(z)$ — однолистная (взаимно однозначная аналитическая) функция с областью определения единичный круг, такая что $f(z) = z\sum_{n=2}^{\infty } a_n z^n$, докажите, что

— однолистная функция в единичном круге.

Рассмотрим единичный круг $D$ и аналитическую функцию $f : D \to D$. Если $f(0) = a \neq 0$, покажите, что $f$ не имеет нуля в круге $\left\{ z : \left|z\right| < \left|a\right|\right\}$.

Пусть $f(z) = \dfrac {z}{(1+z)^2}$. Пусть $V = \left\{ z \in \mathbb {C} : 0 < \left|z\right| < \frac12, \frac{3}{4}\pi < \arg z < \frac54\pi \right\}$.

Вычислите интеграл

Вычислите

где $\gamma$ — положительно ориентированная окружность $\left\{ \left|z\right| = 1\right\}$.

При каком значении $a$ функция

однозначна?

Определим

Каково наибольшее возможное $P$, при котором $h(z)$ аналитична при $\left|z\right| < P$?

Пусть $f(z)$ аналитична в $S = \left\{ z \in \mathbb {C}; \left|z\right| < 2\right\}$. Покажите, что

Пусть вещественнозначная функция $u$ гармонична в круге $\left\{ \left|z\right| < 2\right\}$, $v$ — её гармонически сопряжённая, и $u(0) = v(0) = 0$. Покажите, что

где $\gamma (t) = e^{2\pi i t}$, $t \in [0,1]$.

Пусть $f$ — аналитическая функция на открытом множестве, содержащем $\overline{D(0,1)} = \left\{ z; \left|z\right| \leq 1\right\}$.

Если $f$ аналитична в единичном круге и её производная удовлетворяет

покажите, что коэффициенты в разложении

удовлетворяют $\left|a_n\right| \leq e$ при $n \geq 1$, где $e$ — основание натуральных логарифмов.

Пусть $f = u+iv$ — целая функция.

Пусть $f$ — целая функция, удовлетворяющая $\left|\mathrm{Re}\left(f(z)\right)\right| \leq \left|z\right|^n$ для всех $z$, где $n$ — натуральное число. Покажите, что $f$ — многочлен степени не выше $n$.

Вычислите двойной интеграл

где $D$ — круг $\left\{ z = x+iy \in \mathbb {C} : x^2+y^2 < 1\right\}$.

Пусть

аналитична в $D = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$, и предположим, что интеграл

конечен.

Пусть $f$ аналитична в $\left\{ 0 < \left|z\right| < 1\right\}$ и принадлежит $L^2$ относительно плоской меры Лебега. Является ли $0$ устранимой особенностью? Докажите или приведите контрпример.

Вычислите интеграл

рассматривая отдельно случаи $\rho < 1$, $\rho > 1$.

Вычислите

методом вычетов.

Рассмотрим функцию