Принцип максимума модуля и принцип аргумента

Пусть $a \in \mathbb {C}$, $\left|a\right| \leq 1$, и рассмотрим многочлен

Покажите, что $\left|P(z)\right| \leq 1$ при $\left|z\right| \leq 1$.

Пусть $f$ голоморфна в единичном круге $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$, непрерывна в $\left\{ \left|z\right| \leq 1\right\}$, и $\left|f(z)\right| = 1$ при $\left|z\right| = 1$. Докажите, что $f$ — рациональная функция.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $U = \left\{ z : \left|z\right| \leq 1\right\}$, аналитическая в $U^\circ$. Если $f \equiv 1$ на полуокружности $\gamma = \left\{ e^{i\theta } : 0 \leq \theta \leq \pi \right\}$, докажите, что $f \equiv 1$ всюду в $U$.

Пусть $S$ обозначает сектор на комплексной плоскости, заданный как $S = \left\{ z : -\frac\pi 4 < \arg z < \frac\pi 4\right\}$. Пусть $\closure S$ обозначает замыкание $S$. Пусть $f$ — непрерывная комплексная функция на $\closure S$, голоморфная в $S$. Предположим далее

1. $\left|f(z)\right| \leq 1$ для всех $z$ на границе $S$;

2. $\left|f(x+iy)\right| \leq e^{\varepsilon x}$ для всех $x+iy \in S$. Докажите, что $\left|f(z)\right| \leq 1$ для всех $z \in S$.

Пусть $K$ — компактное связное подмножество $\mathbb {C}$, содержащее более одной точки, и пусть $f$ — взаимно однозначное конформное отображение $\mathbb {C} \setminus K$ на $\Delta = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$ с $f(\infty ) = 0$. Если $p$ — многочлен степени $n$, такой что $\left|p(z)\right| \leq 1$ при $z \in K$, докажите, что

Пусть $f$ и $g$ (непостоянные функции) аналитичны в области $G$ и непрерывны на замыкании $\closure G$ области. Пусть $\closure G$ компактно. Докажите, что $\left|f\right| + \left|g\right|$ достигает своего максимального значения на границе $G$.

Пусть $f(z)$ — целая функция с

Покажите, что $f(z)$ тождественно равна $0$.

Пусть $f$ аналитична на $\left\{ z; 0 < \left|z\right| < 1\right\}$ и

Покажите, что $f \equiv 0$.

Пусть $f$ — аналитическая функция на $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$, $f(D) \subset D$ и $f(0) = 0$.

Если $f$ аналитична и $\left|f(z)\right| \leq 1$ на $\left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$, докажите, что $f(z)$ имеет неподвижную точку.

Пусть $f(z) = z + e^{-z}$, $A > 1$. Докажите или опровергните: $f(z)$ принимает значение $A$ ровно один раз в правой полуплоскости. Если ответ положительный, обязательно ли эта точка вещественна? Обоснуйте.

Пусть $f$ аналитична в области, содержащей замкнутый единичный круг $\left\{ z : \left|z\right| \leq 1\right\}$. Пусть $f$ не обращается в нуль на единичной окружности $\left\{ \left|z\right| = 1\right\}$. Пусть $C$ обозначает единичную окружность, проходимую против часовой стрелки. Предположим, что

Найдите расположение нулей $f$ в открытом единичном круге $\left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$.

Докажите, что уравнение $\sin z = z$ имеет бесконечно много решений в $\mathbb {C}$.

Пусть $n$ — натуральное число, и пусть $P$ — многочлен точной степени $2n$:

где каждое $a_j \in \mathbb {C}$, и $a_{2n} \neq 0$. Пусть не существует вещественного числа $x$, такого что $P(x) = 0$, и пусть

Докажите, что $P$ имеет ровно $n$ корней (с учётом кратности) в открытой верхней полуплоскости $\left\{ z \in \mathbb {C} : \im z > 0\right\}$.

Рассмотрим функцию

Пусть

Найдите все аналитические функции $f : \Omega \to \Omega$ со следующим свойством: если $\gamma$ — любой цикл в $\Omega$, не гомологичный нулю (по модулю $\Omega$), то $f * \gamma$ также не гомологичен нулю (по модулю $\Omega$).

Пусть $f(z)$ — голоморфная функция на $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$, непрерывная вплоть до $\left\{ \left|z\right| \leq 1\right\}$. Пусть $M$ — супремум $\left|f\right|$ на $\left\{ \left|z\right| \leq 1\right\}$. Пусть $L$ — пересечение $\left\{ \left|z\right| \leq 1\right\}$ и $\left\{ \re z = 0\right\}$. Пусть $m$ — супремум $\left|f\right|$ на $L$. Покажите, что

Если $f : D \to \mathbb {C}$, где $D = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| < 1\right\}$, — ограниченная аналитическая функция, покажите, что

Пусть $f$ — ограниченная аналитическая функция в правой полуплоскости. Докажите, что если $f(n) = 0$ для $n = 1,2,3,\ldots$, то $f \equiv 0$.

Пусть $f$ и $g$ аналитичны на области $\Omega$ и непрерывны на $\Omega \cup \partial \Omega$. Если $\left|f(z)+g(z)\right| < \left|f(z)\right|+\left|g(z)\right|$ на $\partial \Omega$, докажите, что $f$ и $g$ имеют одинаковое число нулей в $\Omega$, с учётом кратности.