Аналитические и гармонические функции

Верно-неверно. Если утверждение верно, приведите соответствующую теорему или обоснование; если неверно, приведите контрпример или иное обоснование.

Пусть $G$ — область в $\mathbb {C}$, и предположим, что $u : G \to \mathbb {R}$ — гармоническая функция.

Пусть $u$ и $v$ — вещественнозначные гармонические функции на области $\Omega$, причём $u$ и $v$ удовлетворяют условиям Коши-Римана на подмножестве $S$ множества $\Omega$, имеющем предельную точку в $\Omega$. Докажите, что $u + iv$ обязательно аналитична на $\Omega$.

Пусть $Q = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb {C}$ — единичный квадрат, и пусть $f$ голоморфна в окрестности $Q$. Предположим, что

Покажите, что $f$ постоянна.

Пусть $f$ непрерывна на замыкании $\overline{S}$ единичного квадрата

и пусть $f$ аналитична на $S$. Если $\mathrm{Re}\left(f\right) = 0$ на $\overline{S} \cap (\left\{ y = 0\right\} \cup \left\{ y = 1\right\} )$, и если $\mathrm{Im}\left(f\right) = 0$ на $\overline{S} \cap (\left\{ x = 0\right\} \cup \left\{ x = 1\right\} )$, докажите, что $f \equiv 0$ всюду на $\overline{S}$.

Пусть $P(z)$ — многочлен степени $d$ с простыми корнями $z_1, z_2, \ldots , z_d$. ``Разложение на простейшие дроби'' для $\dfrac {1}{P}$ имеет вид:

Пусть $f$ мероморфна в окрестности $\overline{D}$ ($D = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$), и её единственная особая точка — простой полюс в $z = a \in D$. Если $f(\partial D) \subseteq \mathbb {R}$, покажите, что существуют комплексная константа $A$ и вещественная константа $B$, такие что

Пусть $K_1, K_2, \ldots , K_n$ — попарно непересекающиеся круги в $\mathbb {C}$, и пусть $f$ — аналитическая функция в $\mathbb {C} \setminus \bigcup_{j=1}^{n} K_j$. Покажите, что существуют функции $f_1, f_2, \ldots , f_n$, такие что

Напомним, что дивизор $D_f$ рациональной функции $f(z)$ на $\mathbb {C}$ — это множество $\left\{ p \in \mathbb {C} \cup \left\{ \infty \right\} \right\}$, состоящее из нулей и полюсов $p$ функции $f(z)$ (включая точку $\infty$), взятых с кратностями $n_p \in \mathbb {Z}$. Пусть $f$ и $g$ — две рациональные функции с непересекающимися дивизорами. Докажите, что

Пусть $f(z)$ — ``ветвь'' $\log z$, определённая вне отрицательной вещественной полуоси так, что $f(1) = 0$.

Пусть $f$ — аналитическая функция, определённая в круге $\Delta = \left\{ z : \left|z-4\right| < 4\right\}$ так, что $f(z) = z^{1/3}(z+1)^{1/2}$ в $\Delta$, и $f(x)$ положительна при $0 < x < 8$. Аналитическая функция $g$ в $\Delta$ получается из $f$ путём аналитического продолжения вдоль пути, начинающегося и заканчивающегося в точке $z = 4$ (см. рис. 5.2). Выразите $g$ через $f$.

Определим

Пусть $\Omega$ — плоскость с удалённым отрезком $\left\{ -1 \leq x \leq 1, y = 0\right\}$. Для каких из многозначных функций

Найдите наиболее общую гармоническую функцию вида $f(\left|z\right|)$, $z \in \mathbb {C} \setminus 0$. Какие из этих $f(\left|z\right|)$ имеют однозначную гармонически сопряжённую?

Рассмотрим правильную пентаграмму с центром в начале координат на комплексной плоскости. Пусть $u$ — гармоническая функция во внутренности пентаграммы, принимающая граничные значения $1$ на двух показанных отрезках и $0$ на остальной части границы. Чему равно значение $u$ в начале координат? Обоснуйте свой ответ.

Пусть $G$ — область в $\mathbb {C}$, $[0,1] \subset G$, и $h : G \to \mathbb {R}$ непрерывна. $h|_{G \setminus [0,1]}$ гармонична — следует ли отсюда, что $h$ гармонична на $G$?

Пусть $\gamma$ — дуга единичной окружности. Предположим, что $u$ и $v$ гармоничны в $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$ и непрерывно дифференцируемы на $D \cup \gamma$. Если граничные значения удовлетворяют $u = v$ на $\gamma$, а радиальные производные удовлетворяют $\dfrac {\partial u}{\partial r} = \dfrac {\partial v}{\partial r}$ на $\gamma$, докажите, что $u = v$ в $D$.

С помощью конформного отображения найдите гармоническую функцию $U(z)$, определённую в единичном круге $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$, такую что

Укажите правильное определение любых многозначных функций, появляющихся в вашем ответе.

Определите все непрерывные функции на $\left\{ z \in \mathbb {C} : 0 \leq \left|z\right| \leq 1\right\}$, гармонические на $\left\{ z : 0 < \left|z\right| < 1\right\}$ и тождественно равные $0$ на $\left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| = 1\right\}$.

Пусть $B(z) = \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \dfrac {a_k - z}{1 - \overline{a_k} z}$, где $a_1, a_2, \ldots , a_n$ — различные точки в $D \setminus \left\{ 0\right\}$. Покажите, что

Существует ли аналитическая функция в $\left|z\right| < 1$, такая что $0 < \left|f(\frac{1}{n})\right| < e^{-n}$ для $n = 2, 3, 4, \ldots$? Обоснуйте ответ.

Пусть $D = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| < 1\right\}$. Найдите все голоморфные функции $f : D \to \mathbb {C}$, такие что $f\! \left(\frac{1}{n} + ie^{-n}\right)$ вещественно для всех целых $n \geq 2$.