Геометрия аналитических функций

Найдите взаимно однозначное голоморфное отображение единичного круга $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$ на разрезанный круг $\left\{ \left|w\right| < 1\right\} - [0,1)$.

Отобразите круг $\left\{ \left|z\right| < 1\right\}$ с разрезами вдоль отрезков $[a,1], [-1,-b]$ ($0 < a < 1$, $0 < b < 1$) конформно на полный круг $\left\{ \left|w\right| < 1\right\}$ с помощью функции $w = f(z)$ с $f(0) = 0$, $f'(0) > 0$. Вычислите $f'(0)$ и длины дуг, соответствующих разрезам.

Пусть $0 < \varepsilon < \pi$, пусть $\gamma_\varepsilon$ обозначает дугу $\left\{ e^{it} : \varepsilon \leq t \leq 2\pi -\varepsilon \right\}$, и пусть $\Omega_\varepsilon$ — дополнение $\gamma_\varepsilon$ на сфере Римана. Если $f$ — конформное отображение единичного круга на $\Omega_\varepsilon$, $f(0) = 0$, $f'(0) > 0$, опишите ту часть единичного круга, которую $f$ отображает на $\left\{ \left|z\right| > 1\right\}$.

Пусть $w = f(z)$ отображает односвязную область $G$ взаимно однозначно и конформно на круг $D_r$ с центром $w = 0$, радиусом $r$, так что $f(a) = 0$ и $\left|f'(a)\right| = 1$ для некоторой точки $a \in G$.

Пусть $T(z) = \dfrac {az+b}{cz+d}$ — преобразование Мёбиуса.

Если $f : D(0,1) = \left\{ \left|z\right| < 1\right\} \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция, удовлетворяющая $f(0) = 0$, и если

докажите, что

Пусть $\Omega = \left\{ z \in \mathbb {C}; -1 < \im z < 1\right\}$, и пусть $\mathcal F$ — семейство всех аналитических функций $f : \Omega \to \mathbb {C}$, таких что $\left|f\right| < 1$ на $\Omega$ и $f(0) = 0$. Найдите

Пусть $f$ — аналитическая функция на $D = \left\{ z; \left|z\right| < 1\right\}$, такая что $f(0) = 1$, и пусть $\left|1+f(z)\right| \leq 1 + \left|f(z)\right|$ при $\left|z\right| < 1$. Докажите, что $\left|f'(0)\right| \leq 4$.

Пусть $P$ — множество голоморфных функций $f$ на открытом единичном круге, такое что (i) и вещественная, и мнимая части $f(z)$ положительны при $\left|z\right| < 1$, (ii) $f(0) = 1+i$. Пусть $E = \left\{ f(\frac12) : f \in P\right\}$. Опишите $E$ явно.

Пусть $\Omega = \left\{ z : \left|z-4\right| < 4\right\}$. Если $\mathcal F$ — семейство всех аналитических функций на $\Omega$, таких что $\left|f\right| < 1$ в $\Omega$ и $\lim_{w \to \infty } f(w) = 0$, найдите $\sup_{f \in \mathcal F} \left|f(8)\right|$. Ваш ответ должен быть явным числом, и вы должны доказать своё утверждение.

Пусть $D$ — верхняя полуплоскость, и пусть $f \neq \mathrm{id}$ — конформное отображение $D$ на себя, такое что $f \circ f = \mathrm{id}$. Докажите, что $f$ имеет единственную неподвижную точку внутри $D$.

Пусть $\Omega$ — выпуклое открытое подмножество $\mathbb {C}$, и пусть $f : \Omega \to \mathbb {C}$ — аналитическая функция, удовлетворяющая $\mathrm{Re}\left(f'(z)\right) > 0$, $z \in \Omega$. Докажите, что $f$ взаимно однозначна в $\Omega$ (т.е. $f$ инъективна).

Покажите, что если многочлен $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$, $n > 1$, взаимно однозначен в единичном круге $\left|z\right| < 1$ и $a_1 = 1$, то $\left|na_n\right| \leq 1$.

Пусть $P(z)$ — многочлен на комплексной плоскости, не равный тождественно нулю; пусть $H = \left\{ z : \re z > 0\right\}$.

Пусть $f(z)$ — ряд Лорана с центром в $0$, сходящийся в $\mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$, с вычетом $b$ в точке $z=0$.

Пусть $f$ аналитична в окрестности $\closure D$, $f$ отображает $D$ в $D$, и $f$ отображает $\partial D$ в $\partial D$, где $D = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$.

Если $f(z)$ — однолистная (взаимно однозначная аналитическая) функция с областью определения единичный круг, такая что $f(z) = z\sum_{n=2}^{\infty } a_n z^n$, докажите, что

— однолистная функция в единичном круге.

Рассмотрим единичный круг $D$ и аналитическую функцию $f : D \to D$. Если $f(0) = a \neq 0$, покажите, что $f$ не имеет нуля в круге $\left\{ z : \left|z\right| < \left|a\right|\right\}$.

Пусть $f(z) = \dfrac {z}{(1+z)^2}$. Пусть $V = \left\{ z \in \mathbb {C} : 0 < \left|z\right| < \frac12, \frac{3}{4}\pi < \arg z < \frac54\pi \right\}$.