Банк задач по математике

Задача 5.3.1

Вычислите интеграл

\int _{\left|z\right|=1} e^{e^z}\, dz.

?

Задача 5.3.2

Вычислите

\int _\gamma \frac{dz}{\sin ^3 z},

где $\gamma$ — положительно ориентированная окружность $\left\{ \left|z\right| = 1\right\}$ .

?

Задача 5.3.3

При каком значении $a$ функция

f(z) = \int \left(\frac{1}{z} + \frac{a}{z^2}\right) \cos z\, dz

однозначна?

?

Задача 5.3.4

Определим

h(z) = \int _0^\infty \frac{\cos (t^2)}{e^t - zt}\, dt.

Каково наибольшее возможное $P$ , при котором $h(z)$ аналитична при $\left|z\right| < P$ ?

?

Задача 5.3.5

Пусть $f(z)$ аналитична в $S = \left\{ z \in \mathbb {C}; \left|z\right| < 2\right\}$ . Покажите, что

\frac{2}{\pi } \int _0^{\pi /2} f(e^{it}) \cos ^2\frac t2\, dt = 2f(0) + f'(0).

?

Задача 5.3.6

Пусть вещественнозначная функция $u$ гармонична в круге $\left\{ \left|z\right| < 2\right\}$ , $v$ — её гармонически сопряжённая, и $u(0) = v(0) = 0$ . Покажите, что

\int _\gamma u^2(z) v^2(z) \frac{dz}{z} = \frac16 \int _\gamma (u^4(z) + v^4(z)) \frac{dz}{z},

где $\gamma (t) = e^{2\pi i t}$ , $t \in [0,1]$ .

?

Задача 5.3.7

(a)(b)

Пусть $f$ — аналитическая функция на открытом множестве, содержащем $\overline{D(0,1)} = \left\{ z; \left|z\right| \leq 1\right\}$ .

?

(a)

Докажите, что

\frac{d^n f}{dz^n}(0) = \frac{n!}{\pi } \int _0^{2\pi } e^{-ni\theta } [\mathrm{Re}\left(f(e^{i\theta })\right)]\, d\theta .

(b)

Если $f(0) = 1$ и $\mathrm{Re}\left(f(z)\right) > 0$ для всех точек $z \in D(0,1)$ , докажите, что

\left|\frac{d^n f}{dz^n}(0)\right| \leq 2(n!).

Задача 5.3.8

Если $f$ аналитична в единичном круге и её производная удовлетворяет

\left|f'(z)\right| \leq (1-\left|z\right|^2)^{-1},

покажите, что коэффициенты в разложении

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_n z^n

удовлетворяют $\left|a_n\right| \leq e$ при $n \geq 1$ , где $e$ — основание натуральных логарифмов.

?

Задача 5.3.9

(a)(b)

Пусть $f = u+iv$ — целая функция.

?

(a)

Покажите, что если $u^2(z) \geq v^2(z)$ для всех $z \in \mathbb {C}$ , то $f$ обязательно постоянна.

(b)

Покажите, что если $\left|f(z)\right| \leq A + B\left|z\right|^h$ для всех $z \in \mathbb {C}$ при некоторых положительных числах $A, B, h$ , то $f(z)$ — многочлен степени, ограниченной $h$ .

Задача 5.3.10

Пусть $f$ — целая функция, удовлетворяющая $\left|\mathrm{Re}\left(f(z)\right)\right| \leq \left|z\right|^n$ для всех $z$ , где $n$ — натуральное число. Покажите, что $f$ — многочлен степени не выше $n$ .

?

Задача 5.3.11

Вычислите двойной интеграл

\iint _D \cos z\, dx\, dy

где $D$ — круг $\left\{ z = x+iy \in \mathbb {C} : x^2+y^2 < 1\right\}$ .

?

Задача 5.3.12

(a)(b)

Пусть

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } a_n z^n

аналитична в $D = \left\{ \left|z\right| < 1\right\}$ , и предположим, что интеграл

A = \iint _D \left|f'(z)\right|^2\, dx\, dy

конечен.

?

(a)

Выразите $A$ через коэффициенты $a_n$ .

(b)

Докажите, что

\left|f(z) - f(0)\right| \leq \sqrt{\frac{A}{\pi } \log \frac{1}{1-\left|z\right|^2}}

для $z \in D$ .

Задача 5.3.13

Пусть $f$ аналитична в $\left\{ 0 < \left|z\right| < 1\right\}$ и принадлежит $L^2$ относительно плоской меры Лебега. Является ли $0$ устранимой особенностью? Докажите или приведите контрпример.

?

Задача 5.3.14

Вычислите интеграл

\int _0^{2\pi } \frac{d\theta }{(\rho - \cos \theta )^2 + \sin ^2\theta }, \qquad \rho \text{ -- положительная константа},

рассматривая отдельно случаи $\rho < 1$ , $\rho > 1$ .

?

Задача 5.3.15

Вычислите

\int _0^\pi \frac{dx}{a+\sin ^2 x}, \qquad a > 1,

методом вычетов.

?

Задача 5.3.16

(a)(b)(c)

Рассмотрим функцию

g(z,\theta ) = \frac{1}{1+z^2-2z\sin \theta }.

?

(a)

Используя теорему о вычетах, найдите явную формулу для

f(z) = \int _0^{2\pi } g(z,\theta )\, d\theta

при $\left|z\right| < 1$ .

(b)

Проинтегрируйте почленно разложение Тейлора

g(z,\theta ) = \sum _{n=0}^{\infty } a_n(\theta ) z^n

чтобы найти коэффициенты в разложении Тейлора

f(z) = \sum _{n=0}^{\infty } f_n z^n.

(c)

Проверьте непосредственно, что (a) и (b) согласуются при $\left|z\right| < 1$ .

Задача 5.3.17

Если $a$ вещественно, покажите, что

\lim _{R\to \infty } \int _{-R}^{R} e^{-(x+ia)^2}\, dx

существует и не зависит от $a$ .

?

Задача 5.3.18

Пусть $n \geq 2$ — целое число. Вычислите

\int _0^\infty \frac{1}{1+x^n}\, dx.

?

Задача 5.3.19

Вычислите

\int _0^\infty \cos (x^2)\, dx

с полным обоснованием.

?

Задача 5.3.20

Вычислите

\int _0^\infty \frac{\sin ^2 x}{x^2}\, dx.

?

Задача 5.3.21

Пусть $f(z)$ голоморфна в единичном круге $\left|z\right| < 1$ . Докажите, что

\int _0^1 f(x)\, dx = \frac{1}{2\pi i} \int _{\left|z\right|=1} f(z) \log z\, dz,

где соответствующие интегрирования идут вдоль прямой от $0$ до $1$ и вдоль положительно ориентированной единичной окружности, начиная с точки $z=1$ . Ветвь $\log$ выбрана вещественной при положительных $z$ .

?

Задача 5.3.22

Найдите значение

\int _0^{2\pi } \log \left|a+be^{i\phi }\right|\, d\phi

где $a$ и $b$ — комплексные константы, не равные одновременно нулю.

?

Задача 5.3.23

Вычислите

\int _0^\infty \frac{\log x}{(1+x)^3}\, dx.

?

Задача 5.3.24

(a)(b)

Вычислите следующие интегралы:

?

(a)

$\displaystyle \int_{-i\infty }^{i\infty } \frac{dz}{(z^2-4)\log (z+1)}$ (интегрирование вдоль мнимой оси),

(b)

$\displaystyle \int_0^\infty \frac{x^\alpha }{x^3+1}\, dx$ для $\alpha$ в диапазоне $-1 < \alpha < 2$ .

Задача 5.3.25

Покажите, что

\int _0^\infty \frac{x^\alpha }{(1+x^2)^2}\, dx = \frac{\pi (1-\alpha )}{4\cos \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)},

для $-1 < \alpha < 3$ , $\alpha \neq 1$ . Что происходит при $\alpha = 1$ ?

?

Задача 5.3.26

(a)(b)

?

(a)

Докажите, что

\int _0^\infty e^{ix} x^{-\alpha }\, dx

сходится при $0 < \alpha < 1$ .

(b)

С помощью комплексного интегрирования покажите, что

\int _0^\infty x^{-\alpha } \cos x\, dx = \sin \frac{\pi \alpha }{2} \cdot \Gamma (1-\alpha ).

Задача 5.3.27

Используя изменение контура, покажите, что

\int _0^\infty \frac{\cos (\alpha x)}{x+\beta }\, dx = \int _0^\infty \frac{e^{-\alpha x}(x-\beta )}{x^2+\beta ^2}\, dx,

при условии, что $\alpha$ и $\beta$ положительны. Определите левую часть как предел собственного интеграла и покажите, что этот предел существует.

?

Задача 5.3.28

(a)(b)

?

(a)

Пусть $c$ — единичная окружность на комплексной плоскости, и пусть $f$ — непрерывная $\mathbb {C}$ -значная функция на $c$ . Покажите, что

F_f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int _c \frac{f(\zeta )}{\zeta - z}\, d\zeta

— голоморфная функция $z$ во внутренности единичного круга.

(b)

Найдите непрерывную $f$ на $c$ , не равную тождественно нулю, но такую, что соответствующая функция $F_f$ тождественно равна нулю.

Задача 5.3.29

Пусть $[a,b]$ — конечный интервал в $\mathbb {R}$ , и определим для $z$ в $D = \mathbb {C} - [a,b]$

f(z) = \int _a^b \frac{dt}{t-z}.

Покажите, что $f(z)$ аналитична в $D$ . При заданном $c$ , $a < c < b$ , вычислите предел $f(z)$ при стремлении $z$ к $c$ из верхней полуплоскости и из нижней полуплоскости.

?

Задача 5.3.30

Для каждого $z \in U = \left\{ z : \im z > 0\right\}$ определим

g(z) = \frac{1}{2\pi i} \int _{-1}^{1} \frac{\sin ^2 t}{t-z}\, dt.

Определите, какие точки $a \in \mathbb {R}$ обладают следующим свойством: существуют $\varepsilon > 0$ и аналитическая функция $f$ на $D(a,\varepsilon )$ , такие что $f(z) = g(z)$ для всех $z \in U \cap D(a,\varepsilon )$ .

?

Задача 5.3.31

Докажите, что существует константа $C$ , такая что для любого многочлена $P$

\int _{-\frac12}^{\frac12} P(x)\, dx \leq C \int _{\left|z\right|=1} \left|P(z)\right| \cdot \left|dz\right|.

?

Задача 5.3.32

Пусть $p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0$ — комплексный многочлен. Покажите, что обязательно найдётся хотя бы одна точка с $\left|z\right| = 1$ и $\left|p(z)\right| \geq 1$ .

?

Задача 5.3.33

Пусть $f$ аналитична и абсолютно интегрируема относительно меры Лебега на плоскости $dA = dx\, dy$ в единичном круге $\Delta$ . Докажите, что при $a \in \Delta$

f'(a) = \frac{1}{\pi } \int _\Delta \frac{f(z)}{(1-\bar a z)^3}\, dA(z).

?

Задача 5.3.34

Если $f$ аналитична в единичном круге $\Delta$ , непрерывна в $\closure \Delta$ и отображает $\Delta$ в себя, докажите, что для каждой точки $a \in \Delta$

\left|f'(a)\right| \leq \frac{6(1+\left|a\right|)}{(1-\left|a\right|)^3}.

?

Задача 5.3.35

Пусть $f$ голоморфна в окрестности $\closure U$ , $U = \left\{ z : \left|z\right| < 1\right\}$ . Пусть $f(z) = \sum_{k=0}^{\infty } a_k z^k$ и $s_n(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k z^k$ . Покажите, что среди всех многочленов $P$ степени не выше $n$ интеграл $\dfrac {1}{2\pi }\displaystyle \int_0^{2\pi } \left|f(e^{i\theta }) - P(e^{i\theta })\right|^2\, d\theta$ достигает минимума при $P = s_n$ .

?

Задача 5.3.36

Пусть $f$ аналитична в единичном круге $D$ . Для $z \in D$ и $0 < r < 1-\left|z\right|$ пусть $B(z,r) = \left\{ w \in D : \left|w-z\right| < r\right\}$ . Покажите, что $\left|f(z)\right|^n \leq \dfrac {1}{\pi r^2}\displaystyle \int_{B(z,r)} \left|f(w)\right|^n\, dA(w)$ , где $dA(w)$ — мера площади на $D$ .

?

Задача 5.3.37

Пусть $f$ — гладкая ограниченная функция в единичном круге $\Delta$ , и $F(z)$ задана как

F(z) = \frac1\pi \iint _\Delta \frac{f(w)}{w-z}\, dA(w).

Докажите, что $F(z)$ аналитична вне $\Delta$ и для каждой $z \in \Delta$

\frac{\partial F}{\partial \bar z} = f(z).

?

Комплексное интегрирование