Часть 4

Действительный анализ

[159/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

4.1 · Измеримость и мера

4.2 · Интеграл

4.3 · Пространство интегрируемых функций

4.4 · Дифференцирование

4.5 · Разные задачи

4.1 · Измеримость и мера[39/100%]

Задача 4.1.1

Пусть $S \subset [0,1]$ — множество, определённое следующим свойством: $x \in S$ тогда и только тогда, когда в десятичном представлении числа $x$ первое появление цифры $2$ предшествует первому появлению цифры $3$ . Докажите, что $S$ измеримо по Лебегу, и найдите его меру.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.2

Определим $S^1 = \mathbb {R} / \mathbb {Z}$ с естественной мерой Лебега. Рассмотрим на $S^1$ отношение эквивалентности $[x] \sim [y] \iff x - y \in \mathbb {Q}$ для $x, y \in \mathbb {R}$ , где $[\cdot ]$ обозначает класс в $S^1$ . Для каждого $\xi \in S^1/\! \sim$ выберем представителя $\bar{\xi } \in S^1$ и пусть $E \subset S^1$ — множество этих точек, т.е.

E = \left\{ \bar{\xi } \mid \bar{\xi } \in \xi , \ \forall \xi \in S^1/\! \sim \right\} .

Покажите, что $E$ не измеримо.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.3

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{D} \subset \mathcal{P}(X)$ , причём $\mathcal{D}$ замкнуто относительно конечного пересечения. Обозначим через $\mathcal{R}$ кольцо, порождённое $\mathcal{D}$ . Далее пусть $\pi$ — наименьшая система, $\mathcal{D} \subset \pi \subset \mathcal{P}(X)$ , такая что $\pi$ замкнута относительно следующих операций:

конечных дизъюнктных объединений;
разностей $A \setminus B$ , $B \subset A$ . Докажите, что $\pi = \mathcal{R}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.4

Пусть $\mu^*$ — внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}$ и $A, B$ — подмножества $\mathbb {R}$ такие, что

\inf \{ \left|x-y\right| \mid x \in A, y \in B\} > 0.

Докажите или опровергните, что

\mu ^*(A \cup B) = \mu ^*(A) + \mu ^*(B).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.5

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Рассмотрим измеримое пространство $(X, \mu )$ с конечной положительной конечно-аддитивной мерой $\mu$ . Конечная аддитивность означает, что для любого конечного набора $\{ B_i\}$ попарно непересекающихся измеримых множеств выполняется $\mu (\bigcup B_i) = \sum \mu (B_i)$ . Докажите, что $\mu$ счётно аддитивна тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: если $A_n$ — убывающая последовательность множеств с пустым пересечением, то

\lim _{n \to \infty } \mu (A_n) = 0.

(b)

Пусть теперь $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство, $B$ — борелевская $\sigma$ -алгебра, и $\mu$ — конечная положительная конечно-аддитивная мера на $B$ . Предположим также, что $\mu$ регулярна, то есть для любого $B \in \mathcal{B}$

\mu (B) = \sup \{ \mu (K) \mid K \subset B \text{ и } K \text{ компактно}\} .

Докажите, что $\mu$ счётно аддитивна.

Задача 4.1.6

Для $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ пусть $E \subset \{ x \mid f'(x) \text{ существует}\}$ . Если $m(E) = 0$ , покажите, что $m(f(E)) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.7

Предположим, что $A \subset \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и

m(A \cap (a,b)) \leq \frac{b-a}{2}

для любых $a, b \in \mathbb {R}$ , $a < b$ . Докажите, что $m(A) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.8

Выберем $0 < \lambda < 1$ и построим канторово множество $K_\lambda$ следующим образом: удалим из $[0,1]$ его среднюю часть длины $\lambda$ ; остаются два интервала $I_1$ и $I_2$ . Удалим из каждого из них их средние части длин $\lambda \left|I_1\right|$ , $\lambda \left|I_2\right|$ и т.д., продолжая этот процесс бесконечно. Останется множество $K_\lambda$ . Докажите, что множество $K_\lambda$ имеет лебегову меру нуль.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.9

Предположим, что $\mu$ — положительная борелевская мера на $\mathbb {R}$ такая, что (i) $\mu ([0,1]) = 1$ и (ii) $\mu (E) = \mu (x+E)$ для любого борелевского множества $E$ из $\mathbb {R}$ и любого $x \in \mathbb {R}$ . Следует ли отсюда, что $\mu$ — мера Лебега? Обоснуйте ответ.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.10

Пусть $\mathcal{U}$ — $\sigma$ -алгебра подмножеств множества $X$ , и $\mu_n : \mathcal{U} \to \mathbb {R}$ — знакопеременные меры такие, что $\mu (E) = \lim_{n \to \infty } \mu_n(E)$ существует для каждого $E \in \mathcal{U}$ . Докажите, что $\mu$ — знакопеременная мера.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.11

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ . Покажите, что для любого измеримого по Лебегу множества $E \subset \mathbb {R}$ с $\lambda (E) = 1$ найдётся измеримое по Лебегу множество $A \subset E$ с $\lambda (A) = \frac{1}{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.12

Пусть $\mu$ — комплексная борелевская мера на $[0, \infty )$ . Покажите, что если

\int e^{-nx} \, d\mu (x) = 0

для всех $n = 0, 1, 2, \ldots$ , то $\mu = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.13

Пусть $A \subset [0,1]$ — измеримое множество положительной меры. Покажите, что существуют две точки $x' \neq x''$ в $A$ такие, что $x' - x''$ рационально.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.14

Пусть $E = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_n}{3^n} \mid x_n = 0 \text{ или } 1\right\}$ . Докажите, что $E$ измеримо по Лебегу и имеет лебегову меру $0$ . Также покажите, что $E + E = [0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.15

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^+$ измерима, и пусть $\varepsilon > 0$ . Покажите, что существует измеримая $g : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^+$ такая, что (i) $\left\| f-g\right\|_{\infty } < \varepsilon$ , (ii) для каждого $r \in \mathbb {R}$ , $\left|\{ x \mid g(x) = r\} \right| = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.16

(a)(b)

Пусть $f$ — функция на $[0,1]$ , определённая следующим образом: $f(x) = 0$ , если $x$ — точка канторова троичного множества, и $f(x) = 3^{-p}$ , если $x$ принадлежит одному из дополнительных интервалов длины $3^{-p}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что $f$ измерима.

(b)

Вычислите $\int_0^1 f(x) \, dx$ .

Задача 4.1.17

(a)(b)

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ с $m(E) < \infty$ , и пусть

f(x) = m((E+x) \cap E).

Покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$f(x)$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}$ .

(b)

$\lim_{x \to +\infty } f(x) = 0$ .

Задача 4.1.18

Пусть $A \subset \mathbb {R}$ — множество положительной лебеговой меры. Докажите, что

\varphi (x) = \int \chi _A(tx) \chi _A(t) \, dt

непрерывна в точке $x = 1$ . Используя этот результат, докажите, что существует $\varepsilon > 0$ такое, что для любого $m \in \mathbb {R}$ с $\left|m - 1\right| < \varepsilon$ , прямая $y = mx$ имеет непустое пересечение с $A \times A$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.19

Пусть $\mu$ — счётно-аддитивная мера на множестве $S$ с $\mu (S) < +\infty$ , не имеющая атомов, т.е. если $A$ — измеримое множество с $\mu (A) > 0$ , то найдётся измеримое множество $B \subset A$ такое, что $0 < \mu (B) < \mu (A)$ . Докажите, что множество значений $\mu$ есть замкнутый отрезок $[0, \mu (S)]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.20

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Рассмотрим $\sigma$ -алгебру $\mathcal{B}$ , порождённую компактными $G_\delta$ -множествами. Покажите, что любая положительная мера $\mu$ на $\mathcal{B}$ , конечная на компактных множествах, автоматически регулярна.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.21

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная борелевская мера на $\mathbb {R}^n$ . Пусть

f(r) = \sup \{ \mu (B(x,r)) \mid x \in \mathbb {R}^n\} .

Предположим, что $f(r)$ конечна для всех $r > 0$ и

\lim _{r \to 0} \frac{f(r)}{r^n} = 0.

Докажите, что $\mu$ тождественно равна $0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.22

Пусть $\mu$ — конечная борелевская мера, определённая на $\mathbb {R}^n$ , и определим функцию $f$ на $\mathbb {R}^n$ формулой $f(x) = \mu (B(x,1))$ , где $B(x,1)$ обозначает открытый шар с центром $x$ радиуса $1$ . Докажите, что $f$ достигает минимума на каждом компактном подмножестве $\mathbb {R}^n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.23

(a)(b)

Пусть $E$ — множество всех чисел из $[0,1]$ , которые можно записать в виде десятичного разложения без цифры семь. Так,

\frac{1}{3} = 0.333\ldots , \quad \frac{27}{100} = 0.2699\ldots , \quad \frac{28}{100} = 0.2800\ldots \in E.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Вычислите лебегову меру $E$ .

(b)

Определите, является ли $E$ борелевским множеством.

Задача 4.1.24

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^n$ — функция такая, что для всех $x, y \in \mathbb {R}$

\left|f(x) - f(y)\right|^n \leq c \left|x-y\right|. \tag {*}

Покажите, что если $E \subset \mathbb {R}$ — измеримое множество с $m_1(E) = 0$ , то $m_n(f(E)) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.25

Пусть $f : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ — произвольная функция, обладающая тем свойством, что для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся открытое множество $U$ с $\lambda (U) < \varepsilon$ такое, что $f$ непрерывна на $\mathbb {R}^n \setminus U$ (в относительной топологии). Докажите, что $f$ измерима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.26

Пусть $A \subset \mathbb {R}$ — измеримое по Лебегу множество и пусть $rA = \{ rx \mid x \in A\}$ , где $r$ — действительное число. Предположим, что $rA = A$ для каждого ненулевого рационального числа $r$ . Докажите, что либо $A$ , либо $\mathbb {R} \setminus A$ имеет лебегову меру нуль.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.27

Пусть $\mu$ — $\sigma$ -конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathfrak {m})$ . Докажите, что существует вероятностная мера $\nu$ на $(X, \mathfrak {m})$ ( $\nu (X) = 1$ ) такая, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$ , и $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.28

Приведите пример подмножества первой категории в $[0,1]$ , имеющего лебегову меру $1$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.29

Пусть $(X, \mathfrak {X}, \mu )$ — измеримое пространство, и предположим, что $(f_n : X \to \mathbb {C})$ — последовательность измеримых функций, обладающая тем свойством, что для всех $n \geq 1$ и всех $\lambda > 0$ ,

\mu (\{ x \in X : \left|f_n(x)\right| > \lambda \} ) \leq c e^{-\lambda ^2/n}

где $c$ — константа, не зависящая от $n$ . Пусть $n_k = 2^k$ . Докажите, что

\varlimsup _{k \to \infty } \frac{\left|f_{n_k}\right|}{\sqrt{n_k \log \log n_k}} \leq 1, \quad \text{почти всюду.}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.30

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu )$ — измеримое пространство конечной меры. Пусть $f_n$ — последовательность измеримых функций. Докажите, что $f_n \to f$ по мере тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность $\{ f_{n_k}\}$ содержит подпоследовательность $\{ f_{n_{k_j}}\}$ , сходящуюся к $f$ почти всюду.

(b)

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu )$ — измеримое пространство конечной меры. Пусть $F : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция и $f_n \to f$ по мере. Докажите, что $F(f_n) \to F(f)$ по мере. (Можно, разумеется, считать, что $f_n, f, F(f_n)$ и $F(f)$ все измеримы.)

Задача 4.1.31

Пусть $f \in L^1[0,1]$ и пусть $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ . Если $E$ — измеримое подмножество $[0,1]$ , покажите, что (i) $g(E) = \{ y : \exists x \in E \text{ такое, что } y = g(x)\}$ измеримо, (ii) $m(g(E)) \leq \int_E \left|f(t)\right| \, dt$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.32

Пусть дана функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {Z}$ ; покажите, что $\{ x : f \text{ не непрерывна в } x\}$ — борелевское множество.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.33

Пусть $A$ и $B$ — (не обязательно измеримые по Лебегу) подмножества $\mathbb {R}$ , и пусть $\left|\cdot \right|_e$ обозначает внешнюю меру Лебега. Докажите, что если $\left|A\right|_e = 1$ , $\left|B\right|_e = 1$ и $\left|A \cup B\right|_e = 2$ , то $\left|A \cap B\right|_e = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.34

Пусть $f$ — ограниченная измеримая по Лебегу функция на $\mathbb {R}$ . Положим

g(x) = \sup \{ a \in \mathbb {R} : \left|\{ y \in (x, x+1) \mid f(y) > a\} \right| > 0\} ,

где $\left|\cdot \right|$ — мера Лебега (т.е. $g(x)$ равно существенному супремуму $f$ на $(x, x+1)$ ). Докажите, что $\varliminf_{x \to 0} g(x) \geq g(0)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.35

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что непрерывная функция $T : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n$ переводит $F_\sigma$ -множества в $F_\sigma$ -множества.

(b)

Докажите, что липшицево отображение $T : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}^n$ , т.е. отображение, удовлетворяющее $\left|T(x) - T(y)\right| \leq L\left|x-y\right|$ для всех $x, y \in \mathbb {R}^n$ и некоторого $L > 0$ , переводит измеримые множества в измеримые множества. Здесь можно считать данным, что липшицево отображение сохраняет множества меры нуль.

Задача 4.1.36

Покажите, что если $E \subset \mathbb {R}$ и $\left|\cdot \right|_e$ обозначает внешнюю меру, то

\left|E\right|_e = \sum _{n=-\infty }^{+\infty } \left|E \cap [n, n+1)\right|_e.

Также докажите, что если $O_i$ , $i \geq 1$ , — открытые подмножества $\mathbb {R}$ , удовлетворяющие $\bigcup_{i=1}^{\infty } O_i = \mathbb {R}$ , то

\left|E\right|_e \leq \sum _{i=1}^{\infty } \left|E \cap O_i\right|_e.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.37

(a)(b)

Если $\nu$ и $\mu$ — меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{M})$ , будем говорить, что $\nu \leq \mu$ , если $\nu (A) \leq \mu (A)$ для всех $A \in \mathcal{M}$ . Предположим, что $(\nu_n)$ — последовательность мер на $(X, \mathcal{M})$ такая, что $\nu_1 \leq \nu_2 \leq \cdots$ . Определим $\nu (A) = \lim_{n \to \infty } \nu_n(A)$ , $A \in \mathcal{M}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\nu$ определяет меру.

(b)

Предположим, что существует мера $\mu$ такая, что для каждого $n$ , $\nu_n \ll \mu$ . Покажите, что тогда также $\nu \ll \mu$ и $\frac{d\nu_n}{d\mu } \to \frac{d\nu }{d\mu }$ , $\mu$ -почти всюду.

Здесь $\nu \ll \mu$ означает, что если $\mu (A) = 0$ , то $\nu (A) = 0$ для всех измеримых множеств $A$ .

Задача 4.1.38

Определим $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ следующим образом: если $x \in [0,1]$ имеет десятичное разложение $x = 0.a_1a_2a_3\cdots$ , то $f(x) = \max_k a_k$ . Докажите, что функция $f$ измерима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.1.39

(a)(b)

Пусть $m$ и $\mu$ — соответственно мера Лебега и считающая мера на борелевской $\sigma$ -алгебре на $[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $m \ll \mu$ , но $dm \neq f \, d\mu$ ни для какой $f$ .

(b)

Сформулируйте теорему Лебега--Радона--Никодима для знакопеременных мер и объясните, почему пункт (a) не является контрпримером!

4.2 · Интеграл[48/100%]

Задача 4.2.1

Докажите или опровергните, что композиция любых двух интегрируемых по Лебегу функций с компактным носителем $f, g : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ по-прежнему интегрируема.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.2

Пусть $f \in L^1(0,1)$ . Предположим, что для любого $x \in (0,1)$ и любого $\varepsilon > 0$ найдётся открытый интервал $J_x \subset (0,1)$ такой, что

x \in J_x, \qquad m(J_x) < \varepsilon , \qquad \text{и} \qquad \int _{J_x} f \, dm = 0.

Докажите, что для любого открытого интервала $I \subset (0,1)$

\int _I f \, dm = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.3

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) < \infty$ . Покажите, что измеримая функция $f : X \to [0,\infty )$ интегрируема (то есть $\int_X f \, d\mu < \infty$ ) тогда и только тогда, когда ряд

\sum _{n=0}^{\infty } \mu (\{ x \mid f(x) > n\} )

сходится.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.4

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Существует ли борелевская мера $\mu$ (положительная или комплексная) на $\mathbb {R}$ , обладающая свойством

\int f \, d\mu = f(0)

для всех непрерывных $f : \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ с компактным носителем? Обоснуйте.

(b)

Существует ли борелевская мера $\mu$ (положительная или комплексная) на $\mathbb {R}$ , обладающая свойством

\int f \, d\mu = f'(0)

для всех непрерывно дифференцируемых $f : \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ с компактным носителем? Обоснуйте.

Задача 4.2.5

Пусть $E$ — банахово пространство, $(X, \pi , \mu )$ — вероятностное пространство, и $f : X \to E$ такова, что $g \circ f$ является $\mu$ -интегрируемой для каждого $g \in E'$ .

Определим

L : E' \to \mathbb {C}, \qquad L(g) = \int _X g \circ f \, d\mu .

Верно ли, что $L \in E''$ ? Обоснуйте свой ответ.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.6

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) < \infty$ , и пусть $f$ и $g$ — вещественнозначные измеримые функции такие, что

\int _X f \, d\mu = \int _X g \, d\mu .

Покажите, что либо (a) $f = g$ п.в., либо (b) существует $E \in \mathcal{M}$ такое, что

\int _E f \, d\mu > \int _E g \, d\mu .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.7

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, и $S$ — замкнутое множество в $\mathbb {C}$ . Предположим, что

\frac{1}{\mu (E)} \int _E f \, d\mu \in S

всякий раз, когда $E \in \mathcal{M}$ и $\mu (E) > 0$ . Покажите, что множество $\{ x \in X \mid f(x) \notin S\}$ имеет меру $0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.8

Пусть $f : [0,1] \to (0,\infty )$ и $0 < \alpha < 1$ . Покажите, что

\inf _{m(E) \geq \alpha } \int _E f > 0

где $\inf$ берётся по всем измеримым $E \subset [0,1]$ с $m(E) \geq \alpha$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.9

Пусть $\{ f_n\}$ — последовательность вещественнозначных функций из $L^1(\mathbb {R})$ , и предположим, что для некоторой $f \in L^1(\mathbb {R})$

\int _{-\infty }^{+\infty } \left|f_{n+1} - f_n\right|(t) \, dt < \frac{1}{n^2}, \qquad n \geq 1.

Докажите, что $f_n \to f$ почти всюду относительно меры Лебега.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.10

Пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathbb {R}$ , и определим

f(x) = \int _{\mathbb {R}} \frac{\ln \left|x-t\right|}{\left|x-t\right|^{1/2}} \, d\mu (t), \qquad x \in \mathbb {R}.

Покажите, что $f(x)$ конечна почти всюду относительно меры Лебега на $\mathbb {R}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.11

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, $f_n : X \to [0,\infty ]$ — последовательность интегрируемых функций, и $f : X \to [0,\infty ]$ — интегрируемая функция. Предположим, что $f_n \to f$ п.в. $[\mu ]$ , и что

\lim _{n \to \infty } \int _X f_n \, d\mu = \int _X f \, d\mu .

Докажите, что

\lim _{n \to \infty } \int _X \left|f_n - f\right| \, d\mu = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.12

(a)(b)

Пусть $\mu$ — $\sigma$ -конечная положительная мера на $\sigma$ -алгебре $\mathcal{M}$ во множестве $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что существует $W \in L^1(\mu )$ , принимающая значения в открытом интервале $(0,1)$ . Покажите также, что

\tilde{\mu }(E) = \int _E W \, d\mu

является положительной конечной мерой на $\mathcal{M}$ , и что

\mu (E) = 0 \iff \tilde{\mu }(E) = 0

для $E \in \mathcal{M}$ .

(b)

Покажите, что если $f$ — комплексная функция на $X$ , измеримая относительно $\mathcal{M}$ , то

\int _X f \, d\mu = \int _X f W \, d\tilde{\mu }.

Задача 4.2.13

(a)(b)

Пусть $m$ обозначает меру Лебега на $[0,1]$ , и пусть $(f_n)$ — последовательность в $L^1(m)$ , а $h$ — неотрицательный элемент $L^1(m)$ . Предположим, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\int f_n g \, dm \to 0$ для каждой $g \in C([0,1])$ , и

(b)

$\left|f_n\right| \leq h$ для всех $n$ .

Покажите, что

\lim _{n \to \infty } \int _A f_n \, dm = 0

для каждого борелевского подмножества $A \subset [0,1]$ .

Задача 4.2.14

Пусть $\{ f_n\}$ — последовательность неотрицательных измеримых функций из $L^p(\mathbb {R})$ при некотором $1 \leq p < \infty$ . Покажите, что $f_n \to f$ $(L^p)$ тогда и только тогда, когда $f_n^p \to f^p$ $(L^1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.15

(a)(b)(c)

Пусть $1 \leq p < \infty$ . Все части относятся к мере Лебега на $\mathbb {R}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Приведите пример, когда $\{ f_n\}$ сходится к $f$ поточечно, $\left\| f_n\right\|_{p} \leq M$ , $\forall n$ , и $\left\| f_n - f\right\|_{p} \not\to 0$ .

(b)

Если $\{ f_n\}$ сходится к $f$ поточечно и $\left\| f_n\right\|_{p} \to M < +\infty$ , что можно заключить об $\int \left|f\right|^p$ ? Обоснуйте это заключение.

(c)

Покажите, что если $\{ f_n\}$ сходится к $f$ поточечно и $\left\| f_n\right\|_{p} \to \left\| f\right\|_{p}$ , то $\left\| f_n - f\right\|_{p} \to 0$ .

Задача 4.2.16

Предположим, $f_n$ — последовательность измеримых функций на $[0,1]$ с $f_n \to 0$ п.в. на $[0,1]$ и $\int_0^1 f_n^2 \, dm \leq 1$ для всех $n$ . Докажите, что

\lim _{n \to \infty } \int _0^1 \left|f_n\right|^{1/2} \, dm = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.17

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — вероятностное пространство (пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) = 1$ ). Покажите, что если $f$ — интегрируемая функция со значениями в $[1, \infty )$ , то

\lim _{n \to \infty } n \int _X \bigl(f^{1/n} - 1\bigr) \, d\mu = \int _X \log f \, d\mu .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.18

(a)(b)

Пусть $\{ a_n\}_{n \geq 2}$ — последовательность вещественных чисел с $\left|a_n\right| \leq \log n$ . Рассмотрим

\sum _{n=2}^{\infty } a_n n^{-x}, \qquad \sqrt{2} \leq x < \infty .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что этот ряд сходится в $L^1[\sqrt{2}, \infty )$ .

(b)

Докажите, что

\int _{\sqrt{2}}^{\infty } \sum _{n=2}^{\infty } a_n n^{-x} \, dx = \sum _{n=2}^{\infty } \int _{\sqrt{2}}^{\infty } a_n n^{-x} \, dx,

где сумма в правой части — поточечный предел (доказывать существование этого поточечного предела не требуется).

Задача 4.2.19

Пусть $S$ — ограниченное измеримое по Лебегу множество в $\mathbb {R}$ , и пусть $\{ c_n\}$ — последовательность в $\mathbb {R}$ . Покажите, что

\lim _{n \to \infty } \int _S \cos ^2(nt + c_n) \, d\lambda (t) = \frac{1}{2} \lambda (S)

где $\lambda$ — мера Лебега.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.20

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Является ли функция

f(x,y) = \begin{cases} \dfrac {x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ ]1ex] 0, & (x,y) = (0,0), \end{cases} \[ интегрируемой по Лебегу на единичном квадрате $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$? \]

(b)

Вычислите повторные интегралы в обоих порядках.

(c)

Существует ли интеграл

\int _0^1 \left(\int _0^1 \left|f(x,y)\right| \, dx\right) dy

(Если вы используете теорему, укажите её явно!)

Задача 4.2.21

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой и $f \in L(\mu )$ . Вычислите

\lim _{n \to \infty } \int _X n \ln \left(1 + \left(\frac{f}{n}\right)^2\right) d\mu .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.22

Предположим, что $f$ — измеримая вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$ , такая что $t \mapsto e^{tx} f(t)$ принадлежит $L^1(\mathbb {R})$ для всех $x \in (-1,1)$ . Определим функцию

\varphi (x) = \int _{-\infty }^{+\infty } e^{tx} f(t) \, dt

для всех $x \in (-1,1)$ . Докажите, что $\varphi$ дифференцируема на $(-1,1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.23

Вычислите

\lim _{n \to \infty } \int _0^n \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n e^{-2x} \, dx,

обосновывая любую перестановку пределов, которую вы используете.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.24

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu )$ — вероятностное пространство и $f : X \to [1,\infty )$ — измеримая функция. Докажите или опровергните:

\int _X f \ln f \, d\mu \geq \int _X f \, d\mu \int _X \ln f \, d\mu .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.25

Для $i = 1,2$ пусть $X_i = \mathbb {N}$ , пусть $\mathcal{M}_i = 2^{\mathbb {N}}$ ( $\sigma$ -алгебры всех подмножеств $\mathbb {N}$ ), и пусть $\mu_i$ — считающая мера. Для функции $f : X_1 \times X_2 \to \mathbb {R}$ , определённой как

f(i,j) = \begin{cases} -2^{-i}, & j = i, \\ 2^{-i}, & j = i+1, \\ 0, & \text{иначе}, \end{cases}

вычислите повторные интегралы

\int _{X_1} \left(\int _{X_2} f \, d\mu _2\right) d\mu _1 \qquad \text{и} \qquad \int _{X_2} \left(\int _{X_1} f \, d\mu _1\right) d\mu _2.

Как согласовать ваши ответы с теоремой Фубини?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.26

Пусть $(\Omega , \mu )$ — произвольное пространство с мерой. Для $f \in L^1(\Omega , \mu )$ и для $\lambda > 0$ определим

\varphi (\lambda ) = \mu (\{ x \in \Omega \mid f(x) > \lambda \} )

\psi (\lambda ) = \mu (\{ x \in \Omega \mid f(x) > -\lambda \} ).

Покажите, что функции $\varphi$ и $\psi$ борелевски измеримы и что

\left\| f\right\| _{1} = \int _0^{\infty } \bigl(\varphi (\lambda ) + \psi (\lambda )\bigr) \, d\lambda .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.27

Пусть $f \in L^2(0,1)$ . Положим

F(x) = \int _0^x f(t) \, dt.

Покажите, что

\left( \int _0^{1-h} \left| \frac{F(x+h) - F(x)}{h} \right|^2 dx \right)^{1/2} \leq c \left\| f\right\| _{2}

для каждого $h$ , $0 < h < 1$ , где $c$ — положительное число, не зависящее от $f$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.28

Пусть $f, g \in L^1([0,1])$ , и предположим, что $f(x)g(y) = f(y)g(x)$ для всех $x, y \in [0,1]$ . Покажите, что

\int _0^1 \int _0^1 f(x) g(y) \, dx \, dy = 2 \int _A f(x) g(y) \, dA,

где

A = \{ (x,y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 1\}

и $dA$ обозначает плоскую меру Лебега.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.29

Приведите пример функции первого класса Бэра, не интегрируемой по Риману. Объясните, почему такая функция обязана быть интегрируемой по Лебегу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.30

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ — $\sigma$ -конечное пространство с мерой, $f : \Omega \to \mathbb {R}$ измерима. Предположим, что существует $c \in \mathbb {R}$ такое, что для всех $X \subset \Omega$ конечной меры выполняется $\left|\int_X f \, d\mu \right| \leq c$ . Докажите, что $f \in L^1(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.31

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой. Две функции $f, g : X \to \mathbb {R}$ называются сонаправленными (комонотонными), если

(f(x) - f(y))(g(x) - g(y)) \geq 0

для каждой пары $(x,y) \in X \times X$ . Если $\mu (X) = 1$ и $f, g \in L^1(\mu )$ сонаправлены, покажите, что

\int _X f \, d\mu \int _X g \, d\mu \leq \int _X fg \, d\mu .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.32

Пусть $f : \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ , $\mathbb {R}^+ = \{ x \in \mathbb {R} : x > 0\}$ . Предположим, что $f \in L^1(\mathbb {R}^+)$ удовлетворяет

f(x) \leq c \int _0^x f(t) \, dt : x > 0

с $c$ , не зависящим от $x$ . Покажите, что $f(x) = 0$ для каждого $x \in \mathbb {R}^+$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.33

Покажите, что следующий предел существует

\lim _{n \to \infty } n \int _{1/n}^{1} \frac{\cos (x + 1/n) - \cos x}{x^{3/2}} \, dx.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.34

Интегрируемая по Лебегу функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ обладает свойством, что

\int _E f(x) \, dx = 0

для всех измеримых по Лебегу множеств $E \subset \mathbb {R}$ с $m(E) = \pi$ . Докажите или опровергните, что $f = 0$ п.в.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.35

Докажите, что следующий предел существует

\lim _{n \to \infty } \int _0^{\infty } \frac{\exp (-x) \cos x}{nx^2 + \frac{1}{n}} \, dx,

и найдите его, обосновывая все свои шаги.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.36

Пусть $(X, \mathcal{X}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $f_k : X \to \mathbb {R}$ — последовательность измеримых на нём функций, удовлетворяющих

\int _X f_k^2 \, d\mu \leq c, \qquad \text{для всех } k,

где $c$ — конечная константа, не зависящая от $k$ , и

\int _X f_j f_k \, d\mu = 0, \qquad \text{для всех } j \neq k.

Для каждого $n = 1, 2, \ldots$ положим $g_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$ . Докажите, что

\lim _{n \to \infty } \frac{g_n^2}{n^{\alpha }} = 0, \quad \text{п.в.}

для всех $\alpha > 3/2$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.37

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $f \in L^1(0,\infty )$ . Докажите, что существует последовательность $x_k$ , возрастающая к $\infty$ , такая что $\lim_{k \to \infty } x_k f(x_k) = 0$ .

(b)

Пусть $f \in L^1(\mathbb {R}^n)$ при $n \geq 2$ . Докажите, что существует последовательность $r_k$ , возрастающая к $\infty$ , такая что $\lim_{k \to \infty } r_k \int_{S(r_k)} \left|f\right| \, d\sigma = 0$ , где $S(r) = \{ x \in \mathbb {R}^n : \left|x\right| = r\}$ , а $d\sigma$ обозначает $(n-1)$ -мерную меру Лебега на сфере $S(r)$ .

Задача 4.2.38

Пусть $(S, \Omega , m)$ — пространство с мерой, удовлетворяющее $m(S) < \infty$ . Пусть $f : S \to \mathbb {R}$ — измеримая функция, удовлетворяющая $\left|f\right| \leq 1$ . Докажите, что либо $\lim_{n \to \infty } \int_S (1 + f + f^2 + \cdots + f^n) \, dm$ существует, либо этот предел равен $+\infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.39

Если $\{ r_k\}$ обозначает рациональные числа в $[0,1]$ , а $\{ a_k\}$ удовлетворяет $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_k\right| < \infty$ , докажите, что $\sum_{k=1}^{\infty } \dfrac {a_k}{\left|x-r_k\right|^{1/2}}$ сходится абсолютно п.в. $[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.40

Докажите, что ряд

\sum _{n=0}^{\infty } \int _0^{\pi /2} (\sin x)^n \cos x \, dx

суммируем, и найдите его сумму.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.41

Пусть $\{ a_{n,k} \mid n, k = 1, 2, \ldots \} \subset \mathbb {R}$ с $\left|a_{n,k}\right| \leq 1$ для $n, k \geq 1$ . Предположим, что для каждого $n$ $\lim_{k \to \infty } a_{n,k} = 0$ . Пусть $p > 1$ . Покажите, что $\lim_{k \to \infty } \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n,k}}{n^p} = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.42

Докажите, что если $f$ и $g$ — положительные непрерывные функции на $(-\infty , +\infty )$ , периодические с периодом $1$ , то

\lim _{n \to \infty } \int _0^1 f(x) g(nx) \, dx = \int _0^1 f(x) \, dx \int _0^1 g(x) \, dx.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.43

(a)(b)

Даны функции $\{ f_n : [0,1] \to [-1,1]\}$ такие, что $\lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(x) \, dx = 0$ для всех $0 \leq a < b \leq 1$ , покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

для каждого измеримого по Лебегу подмножества $A \subset [0,1]$ , $\lim_{n \to \infty } \int_A f_n(x) \, dx = 0$ ;

(b)

для каждой измеримой по Лебегу функции $f$ на $[0,1]$ такой, что $\int_0^1 \left|f(x)\right| \, dx < \infty$ , $\lim_{n \to \infty } \int_0^1 f f_n \, dx = 0$ .

Задача 4.2.44

Пусть $f$ — интегрируемая по Лебегу функция на $\mathbb {R}^2$ , то есть $\int_{\mathbb {R}^2} \left|f(x)\right| \, dx < \infty$ . Предположим, что $\int_B f(x) \, dx = 0$ для всех подмножеств-квадратов $B \subset \mathbb {R}^2$ . Докажите, что $f(x) = 0$ почти всюду.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.45

Пусть $f \in L^1[0,1]$ и $\varepsilon > 0$ . Докажите существование компактного множества $K$ и многочлена $p$ таких, что мера Лебега $K$ превышает $1 - \varepsilon$ и

\left|f(x) - p(x)\right| < \varepsilon : \forall x \in K.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.46

Предположим, что $f_n \leq g_n \leq h_n$ — вещественнозначные интегрируемые по Лебегу функции, сходящиеся почти всюду к интегрируемым по Лебегу функциям $f, g$ и $h$ соответственно. Предположим, что $\lim_{n \to \infty } \int f_n(x) \, dx = \int f(x) \, dx$ и $\lim_{n \to \infty } \int h_n(x) \, dx = \int h(x) \, dx$ . Докажите, что $\lim_{n \to \infty } \int g_n(x) \, dx = \int g(x) \, dx$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.47

Пусть $f_n : [0,1] \to [0,\infty )$ интегрируемы по Лебегу при $n = 1, 2, \ldots$ . Предположим, что

\int _0^1 f_n(x) \, dx = 1, \qquad \int _{1/n}^1 f_n(x) \, dx \leq 1 - \frac{1}{n}, \quad n \geq 1.

Пусть $g(x) = \sup \{ f_n(x) : n \geq 1\}$ . Докажите, что $\int_0^1 g(x) \, dx = \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.2.48

(a)(b)(c)

Пусть $\lambda$ — мера Лебега, а $\mu$ — считающая мера, обе рассматриваемые как борелевские меры на $I = [0,1]$ . Пусть $\Delta = \{ (x,x) \mid x \in I\}$ — диагональ $I \times I$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\Delta$ является борелевским подмножеством $I \times I$ .

(b)

Пусть $f$ — характеристическая функция диагонали $\Delta$ . Вычислите интегралы $\int_I \bigl(\int_I f \, d\lambda \bigr) d\mu$ и $\int_I \bigl(\int_I f \, d\mu \bigr) d\lambda$ .

(c)

Объясните, почему результат части (b) не противоречит теореме Фубини. В качестве части объяснения вычислите двойной интеграл $\int_{I \times I} f \, d(\mu \times \lambda )$ .

4.3 · Пространство интегрируемых функций[29/100%]

Задача 4.3.1

Пусть $X$ — пространство с положительной мерой полной меры $1$ . Покажите, что для любой измеримой функции $f$ на $X$ со значениями в $[0,\infty )$

I(p) := \left(\int _X f^p\right)^{1/p}

является неубывающей функцией от $p \in (1,\infty )$ . При каких условиях $I(p)$ строго возрастает как функция от $p$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.2

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — фиксированное пространство с мерой, пусть $\{ p_i\}_{i=1}^{n}$ — положительные числа такие, что $p_i > 1$ , $i = 1, \ldots , n$ , $p > 1$ и

\sum _{i=1}^{n} \frac{1}{p_i} = \frac{1}{p}.

Если для $i \in \{ 1, \ldots , n\}$ выполнено $f_i \in L^{p_i}(\mu )$ , обязательно ли

f_1 f_2 \cdots f_n \in L^p(\mu )?

Обоснуйте.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.3

Пусть $X = \{ a,b,c\}$ , пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$ -алгебра всех подмножеств $X$ , и пусть $\mu$ — мера, определённая равенствами $\mu (\{ a\} ) = 0$ , $\mu (\{ b\} ) = 1$ и $\mu (\{ c\} ) = \infty$ . Каковы размерности векторных пространств $L^1(\mu )$ , $L^2(\mu )$ и $L^{\infty }(\mu )$ ? Обоснуйте свои ответы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.4

Пусть $f, g \in L^2([0,1])$ ,

\int _0^1 f \, dm = 0.

Покажите, что

\left(\int _0^1 fg \, dm\right)^2 \leq \left(\int _0^1 f^2 \, dm\right) \left(\int _0^1 g^2 \, dm - \left(\int _0^1 g \, dm\right)^2\right).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.5

(a)(b)

Пусть $f$ — неотрицательная функция из $L^p(\mathbb {R})$ при некотором $1 \leq p < \infty$ , и пусть $r+s = p$ , $r > 0$ , $s > 0$ . Также пусть $f_h(x) = f(x+h)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $f_h^r f^s \in L^1(\mathbb {R})$ .

(b)

Исследуйте, что происходит с $\left\| f_h^r f^s\right\|_{1}$ при $\left|h\right| \to \infty$ .

Задача 4.3.6

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_+$ измерима, и пусть $0 < r < \infty$ . Покажите, что для любого интервала $I$

\frac{1}{\frac{1}{\left|I\right|} \int _I f} \leq \left(\frac{1}{\left|I\right|} \int _I \frac{1}{f^r}\right)^{1/r}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.7

Пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на $(0,1)$ . Докажите, что

\lim _{p \to \infty } \left(\int _0^1 \left|f(x)\right|^p \, dx\right)^{1/p} = \left\| f\right\| _{\infty },

где

\left\| f\right\| _{\infty } = \inf \{ t \mid m(\{ \left|f\right| > t\} ) = 0\} .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.8

Пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция на $[0,1]$ , удовлетворяющая

m(\{ x \mid f(x) > t\} ) \leq \frac{1}{1+t^2}, \qquad t > 0.

Определите те значения $p$ , $1 \leq p < \infty$ , для которых $f \in L^p$ , и найдите наименьшее значение $p$ , при котором $f$ может не принадлежать $L^p$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.9

С мерой Лебега на $[0,1]$ докажите, что

S = \{ f \in C[0,1] \mid \left\| f\right\| _{\infty } \leq 1\}

не компактно в $L^1[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.10

(a)(b)

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство $L^2(0,2\pi )$ со скалярным произведением, определённым равенством

(u,v) = \int _0^{2\pi } u(x)v(x) \, dx, \qquad u, v \in \mathcal{H}.

Рассмотрим элементы $u_n \in \mathcal{H}$ , $n = 1, 2, \ldots$ , заданные формулой $u_n(x) = \sin (nx)$ для $x \in (0,2\pi )$ . Покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

множество $(u_n)_{n=1}^{\infty }$ замкнуто и ограничено, но не компактно, в сильной (т.е. нормированной) топологии $\mathcal{H}$ .

(b)

$u_n \to 0$ при $n \to \infty$ в слабой топологии $\mathcal{H}$ , т.е. для каждого $v \in \mathcal{H}$

\lim _{n \to \infty } (u_n, v) = 0.

Задача 4.3.11

Пусть $H^1$ — пространство Соболева на единичном интервале $[0,1]$ , т.е. гильбертово пространство, состоящее из функций $f \in L^2[0,1]$ , для которых

\left\| f\right\| _{H^1}^2 := \sum _{n=-\infty }^{\infty } (1+n^2) \left|\hat{f}(n)\right|^2 < \infty ,

где

\hat{f}(n) = \frac{1}{2\pi } \int _0^1 f(x) \exp (-2\pi i n x) \, dx

— коэффициенты Фурье функции $f$ . Покажите, что существует постоянная $C > 0$ такая, что $\left\| f\right\|_{\infty } \leq C\left\| f\right\|_{H^1}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.12

(a)(b)(c)

Пусть $f$ — периодическая функция на $\mathbb {R}$ с периодом $2\pi$ , такая что $f|_{[0,2\pi ]}$ принадлежит $L^2(0,2\pi )$ . Предположим, что

f(x) = \sum _{n=-\infty }^{+\infty } a_n e^{inx}.

Для каждого $h \in \mathbb {R}$ определим функцию $f_h$ равенством $f_h(x) = f(x-h)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Приведите разложение Фурье для $f_h$ .

(b)

Найдите $L^2$ -норму $\left\| f_h - f\right\|_{2}$ через $a_n$ и $h$ .

(c)

Докажите, что

\lim _{h \to 0} \frac{\left\| f_h - f\right\| _{2}}{h} = \infty

если только $f$ не постоянна почти всюду.

Задача 4.3.13

Пусть $f_n(x)$ — ортонормированное семейство функций в гильбертовом пространстве $L^2(0,1)$ . Докажите, что

\sum _n \left| \int _0^x f_n(t) \, dt \right|^2 \leq x

для всех $x \in [0,1]$ , и что это неравенство точное (обращается в равенство) тогда и только тогда, когда $\{ f_n \mid n = 1, \ldots \}$ порождает плотное подпространство в $L^2(0,1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.14

Если $f$ — функция на $\mathbb {R}$ , пусть $f_t$ — сдвиг $f_t(x) = f(t+x)$ . Докажите, что если $f$ квадратично интегрируема относительно меры Лебега, то

\lim _{t \to 0} \left\| f_t - f\right\| _{L^2(\mathbb {R})} = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.15

Тригонометрическим многочленом называется функция $p$ на $\mathbb {R}$ вида

p(\theta ) = \sum _{n=-N}^{N} c_n e^{in\theta },

при некоторых $c_n \in \mathbb {C}$ , $N \geq 0$ . Предположим, что $f$ непрерывна и $2\pi$ -периодична на $\mathbb {R}$ , и пусть

a_n = \int _{-\pi }^{\pi } f(\theta ) e^{-in\theta } \, d\theta .

Покажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует тригонометрический многочлен

p(\theta ) = \sum _{n=-N}^{N} c_n e^{in\theta }

такой, что

\left\| f-p\right\| _{\infty } < \varepsilon

\left|c_n\right| \leq \left|a_n\right| \qquad \text{для всех } n.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.16

(a)(b)

Докажите или опровергните следующие утверждения:

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

множество непрерывных функций на отрезке $[0,1]$ плотно в $L^{\infty }([0,1])$ .

(b)

$L^{\infty }([0,1])$ — сепарабельное метрическое пространство.

Задача 4.3.17

Пусть $\{ f_n\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $L^p([0,1])$ (с мерой Лебега), а $\{ g_n\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $L^q([0,1])$ , где $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ . Если $\lim_{n \to \infty } f_n = f$ в $L^p$ и $\lim_{n \to \infty } g_n = g$ в $L^q$ , верно ли, что $f_n g_n \to fg$ по мере? Обоснуйте.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.18

Пусть $X$ — пространство с мерой $\mu$ , и предположим, что $\mu (X) < \infty$ . Пусть

S = \{ (\text{класс эквивалентности}) \text{ измеримых комплексных функций на } X\} .

(Здесь, как обычно, две измеримые комплексные функции эквивалентны, если они совпадают п.в.) Для $f \in S$ определим

\rho (f) = \int _X \frac{\left|f\right|}{1+\left|f\right|} \, d\mu .

Покажите, что $d(f,g) = \rho (f-g)$ — метрика на $S$ , и что $f_n \to f$ в этой метрике тогда и только тогда, когда $f_n \to f$ по мере.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.19

Пусть $g$ — измеримая функция такая, что $\int_{\mathbb {R}} \left|fg\right| < \infty$ для каждой $f \in L^p(\mathbb {R})$ (при фиксированном $p \geq 1$ ). Докажите, что существует постоянная $M$ такая, что

\int _{\mathbb {R}} \left|fg\right| \leq M \left\| f\right\| _{p}

для всех $f \in L^p(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.20

Пусть $S^1$ обозначает единичную окружность (множество комплексных чисел с модулем один, или вещественные числа по модулю $2\pi$ ). Свёртка двух функций на $S^1$ определяется как

f * g(\theta ) = \frac{1}{2\pi } \int _0^{2\pi } f(\vartheta ) g(\theta - \vartheta ) \, d\vartheta .

Предположим, что $f$ — элемент $L^2(S^1)$ со свойством, что её коэффициент Фурье

\hat{f}(n) = \int _0^{2\pi } f(\theta ) e^{-in\theta } \, d\theta

отличен от нуля для всех $n \in \mathbb {Z}$ . Покажите, что линейное пространство $\{ f * k \mid k \in L^2(S^1)\}$ плотно в $L^2(S^1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.21

(a)(b)

Для функций $f, g \in L^2(\mathbb {R})$ определим свёртку $f*g$ формулой

f*g(x) = \int _{-\infty }^{+\infty } f(y) g(x-y) \, dy,

где интеграл берётся относительно меры Лебега.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $f*g \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ . Не забудьте проверить измеримость $f*g$ .

(b)

Предположим, что $f$ обладает свойством, что для всех $g \in L^2(\mathbb {R})$ свёртка $f*g$ также является элементом $L^2(\mathbb {R})$ . Определим $T_f : L^2(\mathbb {R}) \to L^2(\mathbb {R})$ формулой $T_f(g) = f*g$ . Очевидно, что $T_f$ — линейный оператор; проверять это не требуется. Покажите, что $T_f$ — ограниченный линейный оператор.

Задача 4.3.22

Если $f \in L^1(\mathbb {R})$ , определим

\hat{f}(\xi ) = \int _{-\infty }^{\infty } f(x) e^{i\xi x} \, dx.

Докажите, что для любой $f \in L^1(\mathbb {R})$ $\hat{f}(\xi ) \to 0$ при $\left|\xi \right| \to \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.23

Пусть $f : [0,1] \to [0,\infty )$ — существенно ограниченная функция, $\left\| f\right\|_{\infty } > 0$ . Покажите, что

\lim _{n \to \infty } \frac{\int _0^1 f(x)^{n+1} \, dx}{\int _0^1 f(x)^n \, dx} = \left\| f\right\| _{\infty }.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.24

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой, для которого $\mu (X) < \infty$ . Пусть $1 < p < \infty$ . Предположим, что $\{ f_k\}$ — последовательность в $L^p(X)$ такая, что $\sup_k \left\| f_k\right\|_{p} < \infty$ и $\lim_{n \to \infty } f_k(x)$ существует для $\mu$ -п.в. $x$ . Докажите, что

\lim _{k \to \infty } \left\| f_k - f\right\| _{1} = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.25

Приведите пример производной на $[0,1]$ , не интегрируемой по Лебегу.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.26

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Пусть $f_n$ — последовательность измеримых функций с $f_1 \in L^1(\mu )$ и обладающая свойством

\mu (\{ x \in X : \left|f_n(x)\right| > \lambda \} ) \leq \mu (\{ x \in X : \left|f_1(x)\right| > \lambda \} )

для всех $n$ и всех $\lambda > 0$ . Докажите, что

\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \int _X \Bigl(\max _{j \leq n} \left|f_j\right|\Bigr) \, d\mu = 0.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.27

Пусть $g : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ неотрицательна и $\int_{\mathbb {R}^n} g(y) \, dy = 1$ , пусть $g_{\varepsilon }(x) = \varepsilon^{-n} g(x/\varepsilon )$ при $\varepsilon > 0$ , и определим

(g_{\varepsilon } * f)(x) = \int _{\mathbb {R}^n} g_{\varepsilon }(y) f(x-y) \, dy.

Если $f : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ непрерывна и ограничена, покажите, что $f_{\varepsilon } \to f$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно на компактных подмножествах $\mathbb {R}^n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.3.28

(a)(b)

Зафиксируем $p \geq 1$ . Примем без доказательства, что множество непрерывных функций с компактным носителем плотно в $L^p(\mathbb {R}^n)$ . Пусть $f \in L^p(\mathbb {R}^n)$ , и для $t \in \mathbb {R}^n$ пусть $f_t(x) = f(x+t)$ — сдвиг функции $f$ на $t$ . Покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

отображение $t \mapsto f_t$ непрерывно из $\mathbb {R}^n$ в $L^p(\mathbb {R}^n)$ , и

(b)

$g_{\varepsilon } * f \to f$ в $L^p$ при $\varepsilon \to 0$ .

Задача 4.3.29

(a)(b)

Эта задача касается интегрирования по Лебегу функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$ . Для таких функций тривиальная форма неравенства Гёльдера утверждает, что если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in L^1(\mathbb {R})$ , то

\int _{\mathbb {R}} fg \leq \left\| f\right\| _{\infty } \left\| g\right\| _{1}. \tag {*}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что для каждой $g \in L^1(\mathbb {R})$ найдётся $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ такая, что $\left\| f\right\|_{\infty } = 1$ и в (*) достигается равенство.

(b)

Докажите, что для каждой $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и каждого $\varepsilon > 0$ найдётся $g \in L^1(\mathbb {R})$ с $\left\| g\right\|_{1} = 1$ такая, что

\int _{\mathbb {R}} fg > \left\| f\right\| _{\infty } - \varepsilon .

4.4 · Дифференцирование[21/100%]

Задача 4.4.1

Пусть $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ и $g : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb {R}$ удовлетворяют неравенству

f(y) - f(x) \leq g(y,x)(y-x) \qquad \text{(для всех } x, y \in (0,1)\text{).} \tag {*}

Предположим также, что $g$ не убывает по каждой переменной, то есть $u \leq x$ , $v \leq y \implies g(u,v) \leq g(x,y)$ . Покажите, что $\lim_{y \to x} g(x,y) = \phi (x)$ существует всюду, кроме счётного множества, и что при $0 < x < y < 1$ выполняется

f(y) - f(x) = \int _x^y \phi (t) \, dt.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.2

(a)(b)

Докажите, что функция $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ липшицева, то есть

\left|f(x)-f(y)\right| \leq M\left|x-y\right|

для всех $x, y \in [0,1]$ , тогда и только тогда, когда существует последовательность непрерывно дифференцируемых функций $f_n : [0,1] \to \mathbb {R}$ таких, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\left|f_n'(x)\right| \leq M$ для всех $x \in [0,1]$ ;

(b)

$f_n(x) \to f(x)$ для всех $x \in [0,1]$ .

Задача 4.4.3

(a)(b)

Пусть $\{ f_n\}$ — последовательность абсолютно непрерывных вещественнозначных функций на $[0,1]$ таких, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty } f_n(x)$ сходится при каждом $x \in [0,1]$ .

(b)

$\int_0^1 \left(\sum_{n=1}^{\infty } \left|f_n'(t)\right|\right) dt < +\infty$ .

Покажите, что $f$ абсолютно непрерывна на $[0,1]$ .

Задача 4.4.4

Предположим, что $f \in AC(I)$ для любого $I \subset \mathbb {R}$ . Если и $f$ , и $f'$ принадлежат $L^1(\mathbb {R})$ , покажите, что (i) $\int_{\mathbb {R}} f' = 0$ , (ii) $f(x) \to 0$ при $\left|x\right| \to \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.5

Пусть $\{ f_n\} \subset AC([0,1])$ , $f_n(0) = 0$ для каждого $n$ . Если $\{ f_n'\}$ фундаментальна в $L^1$ , покажите, что существует $f \in AC([0,1])$ такая, что $f_n \to f$ равномерно на $[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.6

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Предположим, что $f \in AC(I)$ и $f' \in L^{\infty }(I)$ . Покажите, что $f$ липшицева.

(b)

Покажите, что следующие два утверждения эквивалентны.

$f : I \to \mathbb {R}$ липшицева.
$\varepsilon > 0 \implies \exists \delta = \delta (\varepsilon ) > 0$ такое, что для $\{ I_j = [a_j,b_j]\} \subset I$
$\sum _j \left|I_j\right| < \delta \implies \sum _j \left|f(b_j) - f(a_j)\right| < \varepsilon .$

Задача 4.4.7

(a)(b)

Пусть $G_n$ , $n = 1, 2, \ldots$ — открытые подмножества $[0,1]$ такие, что

G_1 \supset G_2 \supset \cdots , \qquad \left|G_n\right| < \frac{1}{2^n}.

Пусть

f(x) = \sum _{n \geq 1} \left|G_n \cap [0,x]\right|.

Покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$f \in AC([0,1])$ .

(b)

$\left|f(x') - f(x'')\right| \leq M\left|x'-x''\right|$ , $x', x'' \in [0,1]$ тогда и только тогда, когда существует $n_0$ такое, что $G_n = \emptyset$ , $n \geq n_0$ .

Задача 4.4.8

(a)(b)

При каких значениях $a$'' и $b$ '' функция

f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0, \\ \left|x\right|^a \sin \left|x\right|^b, & x \neq 0 \end{cases}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

имеет ограниченную вариацию на $(-1,1)$ ;

(b)

дифференцируема в точке `` $0$ ''?

Задача 4.4.9

(a)(b)

Докажите или опровергните

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $f$ — вещественная функция на $[0,2\pi ]$ , удовлетворяющая $\left|f(x)-f(y)\right| \leq \left|x-y\right|$ для всех $x, y \in [0,2\pi ]$ и $f'(x) = 0$ п.в. на $[0,2\pi ]$ . Тогда $f$ обязана быть постоянной.

(b)

Пусть $f$ — вещественнозначная функция ограниченной вариации на $[0,2\pi ]$ с $f'(x) = 0$ п.в. Тогда $f$ обязана быть постоянной.

Задача 4.4.10

(a)(b)(c)

Пусть $f, g \in L^1(\mathbb {R})$ . Покажите, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

\lim _{h \to 0} \frac{1}{h} \int _t^{t+h} f(x) \, dx = f(t), \quad \text{п.в.}

(b)

если

\lim _{h \to 0} \frac{1}{h} \int _a^{a+h} f(x) \, dx = c,

то

\lim _{h \to 0} \int _a^{a+t} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \, dx = f(a+t) - c \quad \text{п.в.}

(c)

если

\lim _{h \to 0} \int _{\mathbb {R}} \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - g(x) \right| dx = 0

то существуют константы $a, c$ такие, что

f(a+t) = \int _a^{a+t} g(x) \, dx + c \quad \text{п.в.}

Можете ли вы заключить, что $f'(x) = g(x)$ п.в.? Сформулируйте явно теоремы, которые вы используете.

Задача 4.4.11

(a)(b)

Пусть $F : (a,b) \to \mathbb {R}$ измерима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что следующие два утверждения эквивалентны

Существует $f \in L^2(a,b)$ такая, что
$F(x) = \int _a^x f \, dm \qquad (m \text{ — мера Лебега});$
Существует $M > 0$ такое, что
$\sum _k \frac{\left|F(x_k)-F(x_{k-1})\right|^2}{x_k-x_{k-1}} \leq M$
для любого конечного разбиения $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ отрезка $(a,b)$ .

(b)

Покажите, что наименьшая константа $M$ в (ii) равна $\left\| f\right\|_{2}^2$ .

Задача 4.4.12

Пусть $X = [0,1]$ , $\mathcal{M}$ — $\sigma$ -алгебра борелевских подмножеств $X$ . Пусть $\alpha (t) = t^2$ , $\beta (t) = t^3$ , и определим меры $\mu$ и $\phi$ на $\mathcal{M}$ формулами

\mu (E) = \int _E d\alpha \qquad \text{и} \qquad \phi (E) = \int _E d\beta .

Существует ли $\dfrac {d\mu }{d\phi }$ ? Существует ли $\dfrac {d\phi }{d\mu }$ ? Вычислите значения существующих производных Радона--Никодима. Обоснуйте.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.13

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$ , а $\mu$ и $\nu$ — борелевские меры на $\mathbb {R}$ , определённые формулами:

\mu (A) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} \lambda \bigl((n,2n) \cap A\bigr),

\nu (A) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{3^n} \lambda \left(\left(n, \frac{3}{2}n\right) \cap A\right).

Верно ли, что $\mu \ll \nu$ или $\nu \ll \mu$ ? Найдите соответствующие производные, если они существуют.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.14

Пусть $\mu$ — мера Лебега на $[0,\infty ]$ . Определим

\mu _1(E) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^3} \int _{E \cap [n,n+1)} x \, d\mu ,

\mu _2(E) = \int _{E \cap [1,\infty )} \frac{1}{x^2} \, d\mu

для любого измеримого по Лебегу подмножества $E$ множества $[0,\infty ]$ . Верно ли, что $\mu_1 \ll \mu_2$ и/или $\mu_2 \ll \mu_1$ ? Если да, найдите соответствующие производные.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.15

(a)(b)

Пусть $\phi : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — ограниченная непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной, и пусть $g \in L(\mathbb {R})$ . Определим

f(t) = \int \phi (tg(x)) \, dx, \qquad t \in \mathbb {R}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Какое дополнительное предположение о $\phi$ обеспечит корректность определения $f$ ? (То есть, что $\phi (tg(\cdot )) \in L(\mathbb {R})$ для всех $t \in \mathbb {R}$ ).

(b)

При дополнительном предположении из (a) покажите, что $f$ дифференцируема, то есть $f'(t)$ существует для всех $t \in \mathbb {R}$ .

Задача 4.4.16

Пусть $\{ f_k\}$ — последовательность неубывающих функций, определённых на $(0,1)$ , обладающая тем свойством, что $\lim_{k \to \infty } f_k(x) = x$ для почти всех $x \in (0,1)$ . Докажите, что $\lim_{k \to \infty } f_k'(x) = 1$ для почти всех $x \in (0,1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.17

Опишите функцию, которая имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$ , но не монотонна ни на каком подынтервале $[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.18

Пусть $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ строго возрастает и

g(x) = \lim _{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \qquad 0 < x < 1.

Докажите, что если $A = \{ x \in (0,1) : g(x) < 1\}$ , то $m^*(A) \leq 2f(1) - 2f(0)$ , где $m^*$ обозначает внешнюю меру Лебега $m$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.19

Найдите все функции $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ ограниченной вариации, удовлетворяющие

f(x) = 1 - \bigvee _0^x(f), \qquad \forall x \in [0,1],

\int _0^1 f = \frac{1}{3}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.20

Пусть $c(x)$ — функция Кантора на $[0,1]$ (то есть $c(x)$ — непрерывная неубывающая функция, равная $\frac{1}{2}$ на $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$ , равная $\frac{1}{4}$ на $[\frac{1}{9},\frac{2}{9}]$ , равная $\frac{3}{4}$ на $[\frac{7}{9},\frac{8}{9}]$ и т.д.) Ясно, что $c'(x) = 0$ для $x \in (0,1)$ , $x \notin C$ , где $C$ — канторово множество, дополнение к объединению $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ , $(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$ , $(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$ и всех остальных средних третей. Существуют ли $x \in (0,1) \cap C$ такие, что $c'(x)$ существует и конечна? Докажите свой ответ.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.4.21

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что если $f$ — непрерывная функция на $[0,1]$ такая, что $f'(x) = 0$ для всех, кроме, быть может, конечного числа $x$ , то $f$ — постоянная функция, то есть $f(x) = f(y)$ , $x, y \in [0,1]$ .

(b)

Докажите, что если $g$ — непрерывная функция на $[0,1]$ , удовлетворяющая $g(s) \leq g(t)$ при $s \leq t$ , такая, что $g'(x) = 0$ для всех, кроме, быть может, счётного числа $x$ , то $g$ — постоянная функция.

4.5 · Разные задачи[22/100%]

Задача 4.5.1

Пусть $S \subset \mathbb {R}$ — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что $\left|s_1+\cdots +s_n\right| \leq 1$ для любого конечного подмножества $\{ s_1,\ldots ,s_n\} \subset S$ . Покажите, что $S$ счётно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.2

Пусть $\{ I_{\alpha }\}$ , $\alpha \in \Gamma$ , — семейство замкнутых интервалов в $\mathbb {R}$ . Покажите, что

\bigcup _{\alpha \in \Gamma } I_{\alpha } \setminus \bigcup _{\alpha \in \Gamma } I_{\alpha }^0

счётно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.3

Покажите, что любое бесконечное семейство непустых, попарно непересекающихся, открытых множеств в сепарабельном метрическом пространстве $X$ счётно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.4

Докажите, что для почти всех $x \in [0,2\pi ]$

\varlimsup _{n \to \infty } \sin (nx) = 1.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.5

Пусть $f \in C(I)$ . Покажите, что существует последовательность многочленов $\{ p_n\}$ такая, что $p_n \to f$ равномерно на $I$ и $p_1(x) \leq p_2(x) \leq \cdots$ для каждого $x \in I$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.6

Пусть $f \in C([0,1])$ . Покажите, что существует последовательность нечётных многочленов $p_n(x)$ с $p_n \to f$ равномерно на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f(0) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.7

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что отображение $I : C[0,1] \to C[0,1]$

(If)(x) = e^x + \frac{1}{2} \int _0^{x^2} f(t) \, dt

является сжимающим отображением на $C[0,1]$ с sup-нормой.

(b)

Покажите, что существует единственная гладкая функция $f$ на $[0,1]$ , удовлетворяющая условиям:

\frac{d}{dx} f(x) = e^x + xf(x^2),

f(0) = 1.

Задача 4.5.8

(a)(b)(c)

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ограничена и равномерно непрерывна, и $\{ K_n\}$ , $n = 1, 2, 3, \ldots$ , $K_n \in L^1$ таковы, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\left\| K_n\right\|_{1} \leq M < \infty$ , $n = 1,2,3,\ldots$

(b)

$\int K_n \to 1$ при $n \to \infty$ .

(c)

$\int_{\{ x : \left|x\right| > h\} } \left|K_n\right| \to 0$ при $n \to \infty$ для всех $h > 0$ .

Покажите, что $K_n * f \to f$ равномерно.

Задача 4.5.9

(a)(b)(c)

Пусть $f : \mathbb {R} \to (-\infty ,\infty )$ полунепрерывна сверху, и определим $m : \mathbb {R} \to [-\infty ,\infty )$ формулой $m(x) = \varliminf_{y \to x} f(y)$ . Пусть $S = \{ x \mid f(x) - m(x) \geq 1\}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $S$ замкнуто.

(b)

Покажите: если $I$ — открытый интервал, содержащийся в $S$ , то $m(x) = -\infty$ на $I$ .

(c)

Покажите, что $S$ нигде не плотно.

Задача 4.5.10

Докажите, что любое метрическое пространство гомеоморфно ограниченному метрическому пространству.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.11

(a)(b)

Пусть $M$ — метрическое пространство с функцией расстояния $d$ , и пусть $A : M \to M$ — не увеличивающее расстояние периодическое отображение порядка $3$ , т.е.

A \circ A \circ A = \operatorname {Id} \qquad \text{и} \qquad d(Ax,Ay) \leq d(x,y).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $A$ — непрерывная биективная изометрия.

(b)

Приведите пример полного метрического пространства $M$ и изометрии $A$ на $M$ , периодической порядка $3$ , имеющей ровно две неподвижные точки.

Задача 4.5.12

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и пусть $f : H \to \mathbb {R}$ — непрерывная выпуклая функция такая, что $f(x_n) \to \infty$ всякий раз, когда $\left\| x_n\right\| \to \infty$ . Докажите, что $f$ достигает минимума.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.13

$A$ — подмножество $L^1(\mathbb {R})$ , состоящее из всех функций $f$ , удовлетворяющих $\left|f(x)\right| \leq 1$ п.в.на $\mathbb {R}$ . Докажите, что $A$ замкнуто в нормированной топологии $L^1(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.14

(a)(b)

Пусть $A$ — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве $H$ . Напомним, что сопряжённый оператор $A^*$ — это единственный ограниченный линейный оператор на $H$ такой, что $(Ax,y) = (x,A^*y)$ для всех $x, y \in H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

(b)

Покажите, что $AA^* - A^*A$ не может быть тождественным оператором на $H$ . (Можете воспользоваться (a) для доказательства этого.)

Задача 4.5.15

Предположим, что $A, B \subset \mathbb {R}$ измеримы по Лебегу, с $m(A) > 0$ , $m(B) > 0$ . Покажите, что

A+B = \{ x \in \mathbb {R} \mid x = a+b, a \in A, b \in B\}

содержит интервал положительной меры Лебега.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.16

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово топологическое пространство, и пусть $\mu$ — конечная регулярная борелевская мера на $X$ . Верно ли, что если $f : X \to \mathbb {R}$ является $\mu$ -измеримой, то существует последовательность $\{ f_n\}_{n=1}^{\infty }$ непрерывных вещественнозначных функций такая, что $\lim_{n \to \infty } f_n = f$ п.в. $[\mu ]$ ? Обоснуйте.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.17

Рассмотрим полное метрическое пространство $(X,d)$ и последовательность $F_1 \supset F_2 \supset \cdots$ непустых замкнутых подмножеств $X$ . Предположим, что для каждого $n$ множество $F_n$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса $1/n$ . Для каждого $n$ выберем точку $x_n \in F_n$ . Докажите, что последовательность $(x_n)_{n=1}^{\infty }$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.18

Пусть $u : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ произвольна, и $\chi (x) = \inf_{\left|x-y\right|<1} u(y)$ . Покажите, что $\chi$ полунепрерывна сверху.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.19

Пусть $X$ — банахово пространство, и $Y$ — замкнутое подпространство $X$ . Покажите, что любая крайняя точка $g$ единичного шара сопряжённого пространства $Y^*$ продолжается до крайней точки единичного шара $X^*$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.20

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что $\operatorname {span}\{ x^{2n} : n \geq 0\}$ плотно по норме в $C[0,1]$ .

(b)

Выведите, что замыкание по норме $\operatorname {span}\{ x^{2n+1} \mid n \geq 0\}$ есть $\{ f \in C[0,1] : f(0) = 0\}$ .

Задача 4.5.21

Пусть $f \in L^1[0,1]$ , $E_n \subset [0,1]$ — измеримые подмножества, и

g_n(x) = \int _0^x \chi _{E_n}(t) f(t) \, dt.

Докажите, что существуют $\{ n_k\}$ и непрерывная функция $g(x)$ на $[0,1]$ такие, что $g_{n_k}(x)$ сходится равномерно к $g(x)$ на $[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 4.5.22

Докажите или опровергните: если $K$ и $M$ — метрические пространства, $f : K \times M \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция, и $K$ компактно, то функция $g : M \to \mathbb {R}$ , определённая формулой

g(x) = \max \{ f(k,x) \mid k \in K\}

непрерывна.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику