Пространство интегрируемых функций

Пусть $X$ — пространство с положительной мерой полной меры $1$. Покажите, что для любой измеримой функции $f$ на $X$ со значениями в $[0,\infty )$

является неубывающей функцией от $p \in (1,\infty )$. При каких условиях $I(p)$ строго возрастает как функция от $p$?

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — фиксированное пространство с мерой, пусть $\{ p_i\}_{i=1}^{n}$ — положительные числа такие, что $p_i > 1$, $i = 1, \ldots , n$, $p > 1$ и

Если для $i \in \{ 1, \ldots , n\}$ выполнено $f_i \in L^{p_i}(\mu )$, обязательно ли

Обоснуйте.

Пусть $X = \{ a,b,c\}$, пусть $\mathcal{M}$ — $\sigma$-алгебра всех подмножеств $X$, и пусть $\mu$ — мера, определённая равенствами $\mu (\{ a\} ) = 0$, $\mu (\{ b\} ) = 1$ и $\mu (\{ c\} ) = \infty$. Каковы размерности векторных пространств $L^1(\mu )$, $L^2(\mu )$ и $L^{\infty }(\mu )$? Обоснуйте свои ответы.

Пусть $f, g \in L^2([0,1])$,

Покажите, что

Пусть $f$ — неотрицательная функция из $L^p(\mathbb {R})$ при некотором $1 \leq p < \infty$, и пусть $r+s = p$, $r > 0$, $s > 0$. Также пусть $f_h(x) = f(x+h)$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}_+$ измерима, и пусть $0 < r < \infty$. Покажите, что для любого интервала $I$

Пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на $(0,1)$. Докажите, что

где

Пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция на $[0,1]$, удовлетворяющая

Определите те значения $p$, $1 \leq p < \infty$, для которых $f \in L^p$, и найдите наименьшее значение $p$, при котором $f$ может не принадлежать $L^p$.

С мерой Лебега на $[0,1]$ докажите, что

не компактно в $L^1[0,1]$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство $L^2(0,2\pi )$ со скалярным произведением, определённым равенством

Рассмотрим элементы $u_n \in \mathcal{H}$, $n = 1, 2, \ldots$, заданные формулой $u_n(x) = \sin (nx)$ для $x \in (0,2\pi )$. Покажите, что

Пусть $H^1$ — пространство Соболева на единичном интервале $[0,1]$, т.е. гильбертово пространство, состоящее из функций $f \in L^2[0,1]$, для которых

где

— коэффициенты Фурье функции $f$. Покажите, что существует постоянная $C > 0$ такая, что $\left\| f\right\|_{\infty } \leq C\left\| f\right\|_{H^1}$.

Пусть $f$ — периодическая функция на $\mathbb {R}$ с периодом $2\pi$, такая что $f|_{[0,2\pi ]}$ принадлежит $L^2(0,2\pi )$. Предположим, что

Для каждого $h \in \mathbb {R}$ определим функцию $f_h$ равенством $f_h(x) = f(x-h)$.

Пусть $f_n(x)$ — ортонормированное семейство функций в гильбертовом пространстве $L^2(0,1)$. Докажите, что

для всех $x \in [0,1]$, и что это неравенство точное (обращается в равенство) тогда и только тогда, когда $\{ f_n \mid n = 1, \ldots \}$ порождает плотное подпространство в $L^2(0,1)$.

Если $f$ — функция на $\mathbb {R}$, пусть $f_t$ — сдвиг $f_t(x) = f(t+x)$. Докажите, что если $f$ квадратично интегрируема относительно меры Лебега, то

Тригонометрическим многочленом называется функция $p$ на $\mathbb {R}$ вида

при некоторых $c_n \in \mathbb {C}$, $N \geq 0$. Предположим, что $f$ непрерывна и $2\pi$-периодична на $\mathbb {R}$, и пусть

Покажите, что для каждого $\varepsilon > 0$ существует тригонометрический многочлен

такой, что

и

Докажите или опровергните следующие утверждения:

Пусть $\{ f_n\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $L^p([0,1])$ (с мерой Лебега), а $\{ g_n\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $L^q([0,1])$, где $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Если $\lim_{n \to \infty } f_n = f$ в $L^p$ и $\lim_{n \to \infty } g_n = g$ в $L^q$, верно ли, что $f_n g_n \to fg$ по мере? Обоснуйте.

Пусть $X$ — пространство с мерой $\mu$, и предположим, что $\mu (X) < \infty$. Пусть

(Здесь, как обычно, две измеримые комплексные функции эквивалентны, если они совпадают п.в.) Для $f \in S$ определим

Покажите, что $d(f,g) = \rho (f-g)$ — метрика на $S$, и что $f_n \to f$ в этой метрике тогда и только тогда, когда $f_n \to f$ по мере.

Пусть $g$ — измеримая функция такая, что $\int_{\mathbb {R}} \left|fg\right| < \infty$ для каждой $f \in L^p(\mathbb {R})$ (при фиксированном $p \geq 1$). Докажите, что существует постоянная $M$ такая, что

для всех $f \in L^p(\mathbb {R})$.

Пусть $S^1$ обозначает единичную окружность (множество комплексных чисел с модулем один, или вещественные числа по модулю $2\pi$). Свёртка двух функций на $S^1$ определяется как

Предположим, что $f$ — элемент $L^2(S^1)$ со свойством, что её коэффициент Фурье

отличен от нуля для всех $n \in \mathbb {Z}$. Покажите, что линейное пространство $\{ f * k \mid k \in L^2(S^1)\}$ плотно в $L^2(S^1)$.

Для функций $f, g \in L^2(\mathbb {R})$ определим свёртку $f*g$ формулой

где интеграл берётся относительно меры Лебега.

Если $f \in L^1(\mathbb {R})$, определим

Докажите, что для любой $f \in L^1(\mathbb {R})$ $\hat{f}(\xi ) \to 0$ при $\left|\xi \right| \to \infty$.

Пусть $f : [0,1] \to [0,\infty )$ — существенно ограниченная функция, $\left\| f\right\|_{\infty } > 0$. Покажите, что

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой, для которого $\mu (X) < \infty$. Пусть $1 < p < \infty$. Предположим, что $\{ f_k\}$ — последовательность в $L^p(X)$ такая, что $\sup_k \left\| f_k\right\|_{p} < \infty$ и $\lim_{n \to \infty } f_k(x)$ существует для $\mu$-п.в. $x$. Докажите, что

Приведите пример производной на $[0,1]$, не интегрируемой по Лебегу.

Пусть $(X, \mathcal{F}, \mu )$ — пространство с конечной мерой. Пусть $f_n$ — последовательность измеримых функций с $f_1 \in L^1(\mu )$ и обладающая свойством

для всех $n$ и всех $\lambda > 0$. Докажите, что

Пусть $g : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ неотрицательна и $\int_{\mathbb {R}^n} g(y) \, dy = 1$, пусть $g_{\varepsilon }(x) = \varepsilon^{-n} g(x/\varepsilon )$ при $\varepsilon > 0$, и определим

Если $f : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ непрерывна и ограничена, покажите, что $f_{\varepsilon } \to f$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно на компактных подмножествах $\mathbb {R}^n$.

Зафиксируем $p \geq 1$. Примем без доказательства, что множество непрерывных функций с компактным носителем плотно в $L^p(\mathbb {R}^n)$. Пусть $f \in L^p(\mathbb {R}^n)$, и для $t \in \mathbb {R}^n$ пусть $f_t(x) = f(x+t)$ — сдвиг функции $f$ на $t$. Покажите, что

Эта задача касается интегрирования по Лебегу функций из $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$. Для таких функций тривиальная форма неравенства Гёльдера утверждает, что если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in L^1(\mathbb {R})$, то