Измеримость и мера

Пусть $S \subset [0,1]$ — множество, определённое следующим свойством: $x \in S$ тогда и только тогда, когда в десятичном представлении числа $x$ первое появление цифры $2$ предшествует первому появлению цифры $3$. Докажите, что $S$ измеримо по Лебегу, и найдите его меру.

Определим $S^1 = \mathbb {R} / \mathbb {Z}$ с естественной мерой Лебега. Рассмотрим на $S^1$ отношение эквивалентности $[x] \sim [y] \iff x - y \in \mathbb {Q}$ для $x, y \in \mathbb {R}$, где $[\cdot ]$ обозначает класс в $S^1$. Для каждого $\xi \in S^1/\! \sim$ выберем представителя $\bar{\xi } \in S^1$ и пусть $E \subset S^1$ — множество этих точек, т.е.

Покажите, что $E$ не измеримо.

Пусть $X$ — множество и $\mathcal{D} \subset \mathcal{P}(X)$, причём $\mathcal{D}$ замкнуто относительно конечного пересечения. Обозначим через $\mathcal{R}$ кольцо, порождённое $\mathcal{D}$. Далее пусть $\pi$ — наименьшая система, $\mathcal{D} \subset \pi \subset \mathcal{P}(X)$, такая что $\pi$ замкнута относительно следующих операций:

1. конечных дизъюнктных объединений;

2. разностей $A \setminus B$, $B \subset A$. Докажите, что $\pi = \mathcal{R}$.

Пусть $\mu^*$ — внешняя мера Лебега на $\mathbb {R}$ и $A, B$ — подмножества $\mathbb {R}$ такие, что

Докажите или опровергните, что

Для $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ пусть $E \subset \{ x \mid f'(x) \text{ существует}\}$. Если $m(E) = 0$, покажите, что $m(f(E)) = 0$.

Предположим, что $A \subset \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу и

для любых $a, b \in \mathbb {R}$, $a < b$. Докажите, что $m(A) = 0$.

Выберем $0 < \lambda < 1$ и построим канторово множество $K_\lambda$ следующим образом: удалим из $[0,1]$ его среднюю часть длины $\lambda$; остаются два интервала $I_1$ и $I_2$. Удалим из каждого из них их средние части длин $\lambda \left|I_1\right|$, $\lambda \left|I_2\right|$ и т.д., продолжая этот процесс бесконечно. Останется множество $K_\lambda$. Докажите, что множество $K_\lambda$ имеет лебегову меру нуль.

Предположим, что $\mu$ — положительная борелевская мера на $\mathbb {R}$ такая, что (i) $\mu ([0,1]) = 1$ и (ii) $\mu (E) = \mu (x+E)$ для любого борелевского множества $E$ из $\mathbb {R}$ и любого $x \in \mathbb {R}$. Следует ли отсюда, что $\mu$ — мера Лебега? Обоснуйте ответ.

Пусть $\mathcal{U}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств множества $X$, и $\mu_n : \mathcal{U} \to \mathbb {R}$ — знакопеременные меры такие, что $\mu (E) = \lim_{n \to \infty } \mu_n(E)$ существует для каждого $E \in \mathcal{U}$. Докажите, что $\mu$ — знакопеременная мера.

Пусть $\lambda$ — мера Лебега на $\mathbb {R}$. Покажите, что для любого измеримого по Лебегу множества $E \subset \mathbb {R}$ с $\lambda (E) = 1$ найдётся измеримое по Лебегу множество $A \subset E$ с $\lambda (A) = \frac{1}{2}$.

Пусть $\mu$ — комплексная борелевская мера на $[0, \infty )$. Покажите, что если

для всех $n = 0, 1, 2, \ldots$, то $\mu = 0$.

Пусть $A \subset [0,1]$ — измеримое множество положительной меры. Покажите, что существуют две точки $x' \neq x''$ в $A$ такие, что $x' - x''$ рационально.

Пусть $E = \left\{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{x_n}{3^n} \mid x_n = 0 \text{ или } 1\right\}$. Докажите, что $E$ измеримо по Лебегу и имеет лебегову меру $0$. Также покажите, что $E + E = [0,1]$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^+$ измерима, и пусть $\varepsilon > 0$. Покажите, что существует измеримая $g : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^+$ такая, что (i) $\left\| f-g\right\|_{\infty } < \varepsilon$, (ii) для каждого $r \in \mathbb {R}$, $\left|\{ x \mid g(x) = r\} \right| = 0$.

Пусть $f$ — функция на $[0,1]$, определённая следующим образом: $f(x) = 0$, если $x$ — точка канторова троичного множества, и $f(x) = 3^{-p}$, если $x$ принадлежит одному из дополнительных интервалов длины $3^{-p}$.

Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ с $m(E) < \infty$, и пусть

Покажите, что

Пусть $A \subset \mathbb {R}$ — множество положительной лебеговой меры. Докажите, что

непрерывна в точке $x = 1$. Используя этот результат, докажите, что существует $\varepsilon > 0$ такое, что для любого $m \in \mathbb {R}$ с $\left|m - 1\right| < \varepsilon$, прямая $y = mx$ имеет непустое пересечение с $A \times A$.

Пусть $\mu$ — счётно-аддитивная мера на множестве $S$ с $\mu (S) < +\infty$, не имеющая атомов, т.е. если $A$ — измеримое множество с $\mu (A) > 0$, то найдётся измеримое множество $B \subset A$ такое, что $0 < \mu (B) < \mu (A)$. Докажите, что множество значений $\mu$ есть замкнутый отрезок $[0, \mu (S)]$.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово пространство. Рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathcal{B}$, порождённую компактными $G_\delta$-множествами. Покажите, что любая положительная мера $\mu$ на $\mathcal{B}$, конечная на компактных множествах, автоматически регулярна.

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная борелевская мера на $\mathbb {R}^n$. Пусть

Предположим, что $f(r)$ конечна для всех $r > 0$ и

Докажите, что $\mu$ тождественно равна $0$.

Пусть $\mu$ — конечная борелевская мера, определённая на $\mathbb {R}^n$, и определим функцию $f$ на $\mathbb {R}^n$ формулой $f(x) = \mu (B(x,1))$, где $B(x,1)$ обозначает открытый шар с центром $x$ радиуса $1$. Докажите, что $f$ достигает минимума на каждом компактном подмножестве $\mathbb {R}^n$.

Пусть $E$ — множество всех чисел из $[0,1]$, которые можно записать в виде десятичного разложения без цифры семь. Так,

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}^n$ — функция такая, что для всех $x, y \in \mathbb {R}$

Покажите, что если $E \subset \mathbb {R}$ — измеримое множество с $m_1(E) = 0$, то $m_n(f(E)) = 0$.

Пусть $f : \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ — произвольная функция, обладающая тем свойством, что для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся открытое множество $U$ с $\lambda (U) < \varepsilon$ такое, что $f$ непрерывна на $\mathbb {R}^n \setminus U$ (в относительной топологии). Докажите, что $f$ измерима.

Пусть $A \subset \mathbb {R}$ — измеримое по Лебегу множество и пусть $rA = \{ rx \mid x \in A\}$, где $r$ — действительное число. Предположим, что $rA = A$ для каждого ненулевого рационального числа $r$. Докажите, что либо $A$, либо $\mathbb {R} \setminus A$ имеет лебегову меру нуль.

Пусть $\mu$ — $\sigma$-конечная мера на измеримом пространстве $(X, \mathfrak {m})$. Докажите, что существует вероятностная мера $\nu$ на $(X, \mathfrak {m})$ ($\nu (X) = 1$) такая, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$, и $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.

Приведите пример подмножества первой категории в $[0,1]$, имеющего лебегову меру $1$.

Пусть $(X, \mathfrak {X}, \mu )$ — измеримое пространство, и предположим, что $(f_n : X \to \mathbb {C})$ — последовательность измеримых функций, обладающая тем свойством, что для всех $n \geq 1$ и всех $\lambda > 0$,

где $c$ — константа, не зависящая от $n$. Пусть $n_k = 2^k$. Докажите, что

Пусть $f \in L^1[0,1]$ и пусть $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$. Если $E$ — измеримое подмножество $[0,1]$, покажите, что (i) $g(E) = \{ y : \exists x \in E \text{ такое, что } y = g(x)\}$ измеримо, (ii) $m(g(E)) \leq \int_E \left|f(t)\right| \, dt$.

Пусть дана функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {Z}$; покажите, что $\{ x : f \text{ не непрерывна в } x\}$ — борелевское множество.

Пусть $A$ и $B$ — (не обязательно измеримые по Лебегу) подмножества $\mathbb {R}$, и пусть $\left|\cdot \right|_e$ обозначает внешнюю меру Лебега. Докажите, что если $\left|A\right|_e = 1$, $\left|B\right|_e = 1$ и $\left|A \cup B\right|_e = 2$, то $\left|A \cap B\right|_e = 0$.

Пусть $f$ — ограниченная измеримая по Лебегу функция на $\mathbb {R}$. Положим

где $\left|\cdot \right|$ — мера Лебега (т.е. $g(x)$ равно существенному супремуму $f$ на $(x, x+1)$). Докажите, что $\varliminf_{x \to 0} g(x) \geq g(0)$.

Покажите, что если $E \subset \mathbb {R}$ и $\left|\cdot \right|_e$ обозначает внешнюю меру, то

Также докажите, что если $O_i$, $i \geq 1$, — открытые подмножества $\mathbb {R}$, удовлетворяющие $\bigcup_{i=1}^{\infty } O_i = \mathbb {R}$, то

Если $\nu$ и $\mu$ — меры на измеримом пространстве $(X, \mathcal{M})$, будем говорить, что $\nu \leq \mu$, если $\nu (A) \leq \mu (A)$ для всех $A \in \mathcal{M}$. Предположим, что $(\nu_n)$ — последовательность мер на $(X, \mathcal{M})$ такая, что $\nu_1 \leq \nu_2 \leq \cdots$. Определим $\nu (A) = \lim_{n \to \infty } \nu_n(A)$, $A \in \mathcal{M}$.

Определим $f : [0,1] \to \mathbb {R}$ следующим образом: если $x \in [0,1]$ имеет десятичное разложение $x = 0.a_1a_2a_3\cdots$, то $f(x) = \max_k a_k$. Докажите, что функция $f$ измерима.

Пусть $m$ и $\mu$ — соответственно мера Лебега и считающая мера на борелевской $\sigma$-алгебре на $[0,1]$.