Разные задачи

Пусть $S \subset \mathbb {R}$ — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что $\left|s_1+\cdots +s_n\right| \leq 1$ для любого конечного подмножества $\{ s_1,\ldots ,s_n\} \subset S$. Покажите, что $S$ счётно.

Пусть $\{ I_{\alpha }\}$, $\alpha \in \Gamma$, — семейство замкнутых интервалов в $\mathbb {R}$. Покажите, что

счётно.

Покажите, что любое бесконечное семейство непустых, попарно непересекающихся, открытых множеств в сепарабельном метрическом пространстве $X$ счётно.

Докажите, что для почти всех $x \in [0,2\pi ]$

Пусть $f \in C(I)$. Покажите, что существует последовательность многочленов $\{ p_n\}$ такая, что $p_n \to f$ равномерно на $I$ и $p_1(x) \leq p_2(x) \leq \cdots$ для каждого $x \in I$.

Пусть $f \in C([0,1])$. Покажите, что существует последовательность нечётных многочленов $p_n(x)$ с $p_n \to f$ равномерно на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $f(0) = 0$.

Пусть $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ограничена и равномерно непрерывна, и $\{ K_n\}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$, $K_n \in L^1$ таковы, что

Пусть $f : \mathbb {R} \to (-\infty ,\infty )$ полунепрерывна сверху, и определим $m : \mathbb {R} \to [-\infty ,\infty )$ формулой $m(x) = \varliminf_{y \to x} f(y)$. Пусть $S = \{ x \mid f(x) - m(x) \geq 1\}$.

Докажите, что любое метрическое пространство гомеоморфно ограниченному метрическому пространству.

Пусть $M$ — метрическое пространство с функцией расстояния $d$, и пусть $A : M \to M$ — не увеличивающее расстояние периодическое отображение порядка $3$, т.е.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и пусть $f : H \to \mathbb {R}$ — непрерывная выпуклая функция такая, что $f(x_n) \to \infty$ всякий раз, когда $\left\| x_n\right\| \to \infty$. Докажите, что $f$ достигает минимума.

$A$ — подмножество $L^1(\mathbb {R})$, состоящее из всех функций $f$, удовлетворяющих $\left|f(x)\right| \leq 1$ п.в.на $\mathbb {R}$. Докажите, что $A$ замкнуто в нормированной топологии $L^1(\mathbb {R})$.

Пусть $A$ — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Напомним, что сопряжённый оператор $A^*$ — это единственный ограниченный линейный оператор на $H$ такой, что $(Ax,y) = (x,A^*y)$ для всех $x, y \in H$.

Предположим, что $A, B \subset \mathbb {R}$ измеримы по Лебегу, с $m(A) > 0$, $m(B) > 0$. Покажите, что

содержит интервал положительной меры Лебега.

Пусть $X$ — компактное хаусдорфово топологическое пространство, и пусть $\mu$ — конечная регулярная борелевская мера на $X$. Верно ли, что если $f : X \to \mathbb {R}$ является $\mu$-измеримой, то существует последовательность $\{ f_n\}_{n=1}^{\infty }$ непрерывных вещественнозначных функций такая, что $\lim_{n \to \infty } f_n = f$ п.в.$[\mu ]$? Обоснуйте.

Рассмотрим полное метрическое пространство $(X,d)$ и последовательность $F_1 \supset F_2 \supset \cdots$ непустых замкнутых подмножеств $X$. Предположим, что для каждого $n$ множество $F_n$ можно покрыть конечным числом шаров радиуса $1/n$. Для каждого $n$ выберем точку $x_n \in F_n$. Докажите, что последовательность $(x_n)_{n=1}^{\infty }$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $u : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ произвольна, и $\chi (x) = \inf_{\left|x-y\right|<1} u(y)$. Покажите, что $\chi$ полунепрерывна сверху.

Пусть $X$ — банахово пространство, и $Y$ — замкнутое подпространство $X$. Покажите, что любая крайняя точка $g$ единичного шара сопряжённого пространства $Y^*$ продолжается до крайней точки единичного шара $X^*$.

Пусть $f \in L^1[0,1]$, $E_n \subset [0,1]$ — измеримые подмножества, и

Докажите, что существуют $\{ n_k\}$ и непрерывная функция $g(x)$ на $[0,1]$ такие, что $g_{n_k}(x)$ сходится равномерно к $g(x)$ на $[0,1]$.

Докажите или опровергните: если $K$ и $M$ — метрические пространства, $f : K \times M \to \mathbb {R}$ — непрерывная функция, и $K$ компактно, то функция $g : M \to \mathbb {R}$, определённая формулой

непрерывна.