Интеграл

Докажите или опровергните, что композиция любых двух интегрируемых по Лебегу функций с компактным носителем $f, g : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ по-прежнему интегрируема.

Пусть $f \in L^1(0,1)$. Предположим, что для любого $x \in (0,1)$ и любого $\varepsilon > 0$ найдётся открытый интервал $J_x \subset (0,1)$ такой, что

Докажите, что для любого открытого интервала $I \subset (0,1)$

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) < \infty$. Покажите, что измеримая функция $f : X \to [0,\infty )$ интегрируема (то есть $\int_X f \, d\mu < \infty$) тогда и только тогда, когда ряд

сходится.

Пусть $E$ — банахово пространство, $(X, \pi , \mu )$ — вероятностное пространство, и $f : X \to E$ такова, что $g \circ f$ является $\mu$-интегрируемой для каждого $g \in E'$.

Определим

Верно ли, что $L \in E''$? Обоснуйте свой ответ.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) < \infty$, и пусть $f$ и $g$ — вещественнозначные измеримые функции такие, что

Покажите, что либо (a) $f = g$ п.в., либо (b) существует $E \in \mathcal{M}$ такое, что

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, и $S$ — замкнутое множество в $\mathbb {C}$. Предположим, что

всякий раз, когда $E \in \mathcal{M}$ и $\mu (E) > 0$. Покажите, что множество $\{ x \in X \mid f(x) \notin S\}$ имеет меру $0$.

Пусть $f : [0,1] \to (0,\infty )$ и $0 < \alpha < 1$. Покажите, что

где $\inf$ берётся по всем измеримым $E \subset [0,1]$ с $m(E) \geq \alpha$.

Пусть $\{ f_n\}$ — последовательность вещественнозначных функций из $L^1(\mathbb {R})$, и предположим, что для некоторой $f \in L^1(\mathbb {R})$

Докажите, что $f_n \to f$ почти всюду относительно меры Лебега.

Пусть $\mu$ — конечная мера на $\mathbb {R}$, и определим

Покажите, что $f(x)$ конечна почти всюду относительно меры Лебега на $\mathbb {R}$.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с положительной мерой, $f_n : X \to [0,\infty ]$ — последовательность интегрируемых функций, и $f : X \to [0,\infty ]$ — интегрируемая функция. Предположим, что $f_n \to f$ п.в. $[\mu ]$, и что

Докажите, что

Пусть $\mu$ — $\sigma$-конечная положительная мера на $\sigma$-алгебре $\mathcal{M}$ во множестве $X$.

Пусть $m$ обозначает меру Лебега на $[0,1]$, и пусть $(f_n)$ — последовательность в $L^1(m)$, а $h$ — неотрицательный элемент $L^1(m)$. Предположим, что

Пусть $\{ f_n\}$ — последовательность неотрицательных измеримых функций из $L^p(\mathbb {R})$ при некотором $1 \leq p < \infty$. Покажите, что $f_n \to f$ $(L^p)$ тогда и только тогда, когда $f_n^p \to f^p$ $(L^1)$.

Пусть $1 \leq p < \infty$. Все части относятся к мере Лебега на $\mathbb {R}$.

Предположим, $f_n$ — последовательность измеримых функций на $[0,1]$ с $f_n \to 0$ п.в. на $[0,1]$ и $\int_0^1 f_n^2 \, dm \leq 1$ для всех $n$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — вероятностное пространство (пространство с положительной мерой, причём $\mu (X) = 1$). Покажите, что если $f$ — интегрируемая функция со значениями в $[1, \infty )$, то

Пусть $\{ a_n\}_{n \geq 2}$ — последовательность вещественных чисел с $\left|a_n\right| \leq \log n$. Рассмотрим

Пусть $S$ — ограниченное измеримое по Лебегу множество в $\mathbb {R}$, и пусть $\{ c_n\}$ — последовательность в $\mathbb {R}$. Покажите, что

где $\lambda$ — мера Лебега.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой и $f \in L(\mu )$. Вычислите

Предположим, что $f$ — измеримая вещественнозначная функция на $\mathbb {R}$, такая что $t \mapsto e^{tx} f(t)$ принадлежит $L^1(\mathbb {R})$ для всех $x \in (-1,1)$. Определим функцию

для всех $x \in (-1,1)$. Докажите, что $\varphi$ дифференцируема на $(-1,1)$.

Вычислите

обосновывая любую перестановку пределов, которую вы используете.

Пусть $(X, \mathcal{A}, \mu )$ — вероятностное пространство и $f : X \to [1,\infty )$ — измеримая функция. Докажите или опровергните:

Для $i = 1,2$ пусть $X_i = \mathbb {N}$, пусть $\mathcal{M}_i = 2^{\mathbb {N}}$ ($\sigma$-алгебры всех подмножеств $\mathbb {N}$), и пусть $\mu_i$ — считающая мера. Для функции $f : X_1 \times X_2 \to \mathbb {R}$, определённой как

вычислите повторные интегралы

Как согласовать ваши ответы с теоремой Фубини?

Пусть $(\Omega , \mu )$ — произвольное пространство с мерой. Для $f \in L^1(\Omega , \mu )$ и для $\lambda > 0$ определим

и

Покажите, что функции $\varphi$ и $\psi$ борелевски измеримы и что

Пусть $f \in L^2(0,1)$. Положим

Покажите, что

для каждого $h$, $0 < h < 1$, где $c$ — положительное число, не зависящее от $f$.

Пусть $f, g \in L^1([0,1])$, и предположим, что $f(x)g(y) = f(y)g(x)$ для всех $x, y \in [0,1]$. Покажите, что

где

и $dA$ обозначает плоскую меру Лебега.

Приведите пример функции первого класса Бэра, не интегрируемой по Риману. Объясните, почему такая функция обязана быть интегрируемой по Лебегу.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, $f : \Omega \to \mathbb {R}$ измерима. Предположим, что существует $c \in \mathbb {R}$ такое, что для всех $X \subset \Omega$ конечной меры выполняется $\left|\int_X f \, d\mu \right| \leq c$. Докажите, что $f \in L^1(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$.

Пусть $(X, \mathcal{M}, \mu )$ — пространство с мерой. Две функции $f, g : X \to \mathbb {R}$ называются сонаправленными (комонотонными), если

для каждой пары $(x,y) \in X \times X$. Если $\mu (X) = 1$ и $f, g \in L^1(\mu )$ сонаправлены, покажите, что

Пусть $f : \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$, $\mathbb {R}^+ = \{ x \in \mathbb {R} : x > 0\}$. Предположим, что $f \in L^1(\mathbb {R}^+)$ удовлетворяет

с $c$, не зависящим от $x$. Покажите, что $f(x) = 0$ для каждого $x \in \mathbb {R}^+$.

Покажите, что следующий предел существует

Интегрируемая по Лебегу функция $f : \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ обладает свойством, что

для всех измеримых по Лебегу множеств $E \subset \mathbb {R}$ с $m(E) = \pi$. Докажите или опровергните, что $f = 0$ п.в.

Докажите, что следующий предел существует

и найдите его, обосновывая все свои шаги.

Пусть $(X, \mathcal{X}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $f_k : X \to \mathbb {R}$ — последовательность измеримых на нём функций, удовлетворяющих

где $c$ — конечная константа, не зависящая от $k$, и

Для каждого $n = 1, 2, \ldots$ положим $g_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$. Докажите, что

для всех $\alpha > 3/2$.

Пусть $(S, \Omega , m)$ — пространство с мерой, удовлетворяющее $m(S) < \infty$. Пусть $f : S \to \mathbb {R}$ — измеримая функция, удовлетворяющая $\left|f\right| \leq 1$. Докажите, что либо $\lim_{n \to \infty } \int_S (1 + f + f^2 + \cdots + f^n) \, dm$ существует, либо этот предел равен $+\infty$.

Если $\{ r_k\}$ обозначает рациональные числа в $[0,1]$, а $\{ a_k\}$ удовлетворяет $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_k\right| < \infty$, докажите, что $\sum_{k=1}^{\infty } \dfrac {a_k}{\left|x-r_k\right|^{1/2}}$ сходится абсолютно п.в. $[0,1]$.

Докажите, что ряд

суммируем, и найдите его сумму.

Пусть $\{ a_{n,k} \mid n, k = 1, 2, \ldots \} \subset \mathbb {R}$ с $\left|a_{n,k}\right| \leq 1$ для $n, k \geq 1$. Предположим, что для каждого $n$ $\lim_{k \to \infty } a_{n,k} = 0$. Пусть $p > 1$. Покажите, что $\lim_{k \to \infty } \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {a_{n,k}}{n^p} = 0$.

Докажите, что если $f$ и $g$ — положительные непрерывные функции на $(-\infty , +\infty )$, периодические с периодом $1$, то

Даны функции $\{ f_n : [0,1] \to [-1,1]\}$ такие, что $\lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(x) \, dx = 0$ для всех $0 \leq a < b \leq 1$, покажите, что

Пусть $f$ — интегрируемая по Лебегу функция на $\mathbb {R}^2$, то есть $\int_{\mathbb {R}^2} \left|f(x)\right| \, dx < \infty$. Предположим, что $\int_B f(x) \, dx = 0$ для всех подмножеств-квадратов $B \subset \mathbb {R}^2$. Докажите, что $f(x) = 0$ почти всюду.

Пусть $f \in L^1[0,1]$ и $\varepsilon > 0$. Докажите существование компактного множества $K$ и многочлена $p$ таких, что мера Лебега $K$ превышает $1 - \varepsilon$ и

Предположим, что $f_n \leq g_n \leq h_n$ — вещественнозначные интегрируемые по Лебегу функции, сходящиеся почти всюду к интегрируемым по Лебегу функциям $f, g$ и $h$ соответственно. Предположим, что $\lim_{n \to \infty } \int f_n(x) \, dx = \int f(x) \, dx$ и $\lim_{n \to \infty } \int h_n(x) \, dx = \int h(x) \, dx$. Докажите, что $\lim_{n \to \infty } \int g_n(x) \, dx = \int g(x) \, dx$.

Пусть $f_n : [0,1] \to [0,\infty )$ интегрируемы по Лебегу при $n = 1, 2, \ldots$. Предположим, что

Пусть $g(x) = \sup \{ f_n(x) : n \geq 1\}$. Докажите, что $\int_0^1 g(x) \, dx = \infty$.

Пусть $\lambda$ — мера Лебега, а $\mu$ — считающая мера, обе рассматриваемые как борелевские меры на $I = [0,1]$. Пусть $\Delta = \{ (x,x) \mid x \in I\}$ — диагональ $I \times I$.