Мера

Покажите, что если условия (i) и (iii) в определении меры выполнены, и если $\mu (A)<\infty$ для некоторого $A \in \mathscr {F}$, то условие (ii) выполнено.

На $\sigma$-алгебре всех подмножеств $\Omega =\left\{ 1,2, \ldots \right\}$ положим $\mu (A)=\Sigma_{k \in A^{2}} 2^{-k}$, если $A$ конечно, и $\mu (A)=\infty$ в противном случае. Является ли $\mu$ конечно аддитивной? Счётно аддитивной?

Естественным обобщением (4.9) является

Покажите, что левое неравенство выполняется всегда. Покажите, что правое неравенство выполняется, если $\mu \left(U_{k \geq n} A_{k}\right)<\infty$ для некоторого $n$, но может нарушаться в противном случае.

3.10 Пространство с мерой $(\Omega , \mathscr {F}, \mu )$ называется полным, если из $A \subset B, B \in \mathscr {F}$ и $\mu (B)=0$ следует, что $A \in \mathscr {F}$ — определение точно такое же, как и в вероятностном случае. Используя идеи задачи 3.10, постройте полное пространство с мерой $\left(\Omega , \mathscr {F}^{+}, \mu^{+}\right)$, такое что $\mathscr {F} \subset \mathscr {F}^{+}$, а $\mu$ и $\mu^{+}$совпадают на $\mathscr {F}$.

Условие теоремы 10.2(iv) по существу характеризует $\sigma$-конечность.

Пример 10.5 показывает, что теорема 10.3 не выполняется без условия $\sigma$-конечности. Постройте другие примеры такого рода.

Доказательство теоремы 3.1, очевидно, применимо, если вероятностную меру заменить конечной мерой, поскольку это лишь вопрос перемасштабирования. Возьмём в качестве отправной точки тот факт, что конечная мера на поле однозначно продолжается на порождённую $\sigma$-алгебру. Следующими шагами докажите теорему 11.2, то есть снимите предположение о конечности.

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная и конечно аддитивная функция множества на полукольце $\mathscr {A}$.

Покажите, что теорема 11.4(ii) может не выполняться, если $\mu (B)=\infty$.

Эта и задачи $11.5,16.12,17.12,17.13$ и 17.14 ведут к доказательствам теорем представления Даниэля–Стоуна и Рисса.

Пусть $\Lambda$ — вещественный линейный функционал на векторной решётке $\mathscr {L}$ (конечных) вещественных функций на пространстве $\Omega$. Это означает, что если $f$ и $g$ лежат в $\mathscr {L}$, то в $\mathscr {L}$ лежат и $f \vee g$, и $f \wedge g$ (со значениями $\max \left\{ f(\omega ), g(\omega )\right\}$ и $\min \left\{ f(\omega ), g(\omega )\right\}$ ), а также $\alpha f+\beta g$, причём $\Lambda (\alpha f+\beta g)=\alpha \Lambda (f)+\beta \Lambda (g)$. Дополнительно предположим о $\mathscr {L}$, что $f \in \mathscr {L}$ влечёт $f \wedge l \in \mathscr {L}$ (где 1 обозначает функцию, тождественно равную 1). Дополнительно предположим о $\Lambda$, что она положительна в том смысле, что $f \geq 0$ (поточечно) влечёт $\Lambda (f) \geq 0$, и непрерывна сверху в 0 в том смысле, что $f_{n} \downarrow 0$ (поточечно) влечёт $\Lambda \left(f_{n}\right) \rightarrow 0$.

Предположим, что $\mu$ — мера на $\mathscr {R}^{1}$, конечная на ограниченных множествах и инвариантная относительно сдвигов: $\mu (A+x)=\mu (A)$. Покажите, что $\mu (A)=\alpha \lambda (A)$ для некоторого $\alpha \geq 0$. Обобщите на $R^{k}$

Предположим, что $A \in \mathscr {R}^{1}, \lambda (A)>0$ и $0<\theta <1$. Покажите, что существует ограниченный открытый интервал $I$, такой что $\lambda (A \cap I) \geq \theta \lambda (I)$. Указание: покажите, что можно считать $\lambda (A)$ конечной, и выберите открытое $G$, такое что $A \subset G$ и $\lambda (A) \geq \theta \lambda (G)$. Теперь $G=\bigcup_{n} I_{n}$ для дизъюнктных открытых интервалов $I_{n}$ [A12], и $\Sigma_{n} \lambda \left(A \cap I_{n}\right) \geq \theta \sum_{n} \lambda \left(I_{n}\right)$; используйте некоторое $I_{n}$.

$\uparrow$ Если $A \in \mathscr {R}^{1}$ и $\lambda (A)>0$, то начало координат является внутренней точкой множества разностей $D(A)=[x-y: x, y \in A]$. Указание. Выберите ограниченный открытый интервал $I$, как в задаче 12.2, для $\theta =\frac{3}{4}$. Предположим, что $\left|z\right|<\lambda (I) / 2$; поскольку $A \cap I$ и $(A \cap I)+z$ содержатся в интервале длины меньше $3 \lambda (I) / 2$ и, следовательно, не могут быть дизъюнктны, $z \in D(A)$.

↑ Следующая конструкция приводит к подмножеству $H$ единичного интервала, неизмеримому в крайнем смысле, что его внутренняя и внешняя меры Лебега равны 0 и $1: \lambda_{*}(H)=0$ и $\lambda^{*}(H)=1$ (см. (3.9) и (3.10)). Доведите детали до конца. Идеи те же, что и в построении неизмеримого множества в конце раздела 3. Удобно будет работать в $G=[0,1)$; пусть $\oplus$ и $\Theta$ обозначают сложение и вычитание по модулю 1 в $G$, которая является группой с единицей 0.

$\uparrow$ Приведённая здесь конструкция даёт множества $H_{n}$, такие что $H_{n} \uparrow G$ и $\lambda_{*}\left(H_{n}\right)=0$. Если $J_{n}=G-H_{n}$, то $J_{n} \downarrow \varnothing$ и $\lambda^{*}\left(J_{n}\right)=1$.

Предположим, что $\mu$ неотрицательна и конечно аддитивна на $\mathscr {R}^{k}$ и что $\mu \left(R^{k}\right)<\infty$. Предположим далее, что $\mu (A)=\sup \mu (K)$, где $K$ пробегает компактные подмножества $A$. Покажите, что $\mu$ счётно аддитивна (сравните с теоремой 12.3(ii).)

Предположим, что $\mu$ — мера на $\mathscr {R}^{k}$, такая что ограниченные множества имеют конечную меру. Для заданного $A$ покажите, что существуют $F_{\sigma }$-множество $U$ (счётное объединение замкнутых множеств) и $G_{\delta }$-множество $V$ (счётное пересечение открытых множеств), такие что $U \subset A \subset V$ и $\mu (V-U)=0$.

$2.19 \uparrow$ Предположим, что $\mu$ — неатомическая вероятностная мера на $\left(R^{k}, \mathscr {R}^{k}\right)$ и что $\mu (A)>0$. Покажите, что существует несчётное компактное множество $K$, такое что $K \subset A$ и $\mu (K)=0$.

Минимальным замкнутым носителем меры $\mu$ на $\mathscr {R}^{k}$ называется замкнутое множество $C_{\mu }$, такое что $C_{\mu } \subset C$ для замкнутого $C$ тогда и только тогда, когда $C$ является носителем $\mu$. Докажите его существование и единственность. Охарактеризуйте точки $C_{\mu }$ как те $x$, для которых $\mu (U)>0$ для любой окрестности $U$ точки $x$. Если $k=1$ и $\mu$ и функция $F(x)$ связаны соотношением (12.5), то условие имеет вид $F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )$ для всех $\epsilon$; в этом случае $x$ называется точкой возрастания $F$.

Незначительный интерес представляет собой $k$-мерный аналог (12.4). Пусть $I_{i}$ есть ( $0, t$ ] при $t \geq 0$ и $(t, 0]$ при $t \leq 0$, и пусть $A_{x}=I_{x_{1}} \times \cdots \times I_{x_{k}}$. Пусть $\varphi (x)$ равно +1 или -1 в зависимости от того, чётно или нечётно число $i, 1 \leq i \leq k$, для которых $x_{i}<0$. Покажите, что если $F(x)=\varphi (x) \mu \left(A_{x}\right)$, то (12.12) выполняется для ограниченных прямоугольников $A$.

Назовём $F$ вырожденной, если она является функцией некоторых $k-1$ координат, причём в случае $k=1$ требование состоит в том, что $F$ постоянна. Покажите, что $\Delta_{A} F=0$ для любого ограниченного прямоугольника тогда и только тогда, когда $F$ — конечная сумма вырожденных функций; (12.12) определяет $F$ с точностью до прибавления функции такого рода.

Пусть $G$ — неубывающая, непрерывная справа функция на прямой, и положим $F(x, y)=\min \left\{ G(x), y\right\}$. Покажите, что $F$ удовлетворяет условиям теоремы 12.5, что кривая $C=\left[(x, G(x)): x \in R^{\prime }\right]$ является носителем соответствующей меры и что $\lambda_{2}(C)=0$.

Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ — неубывающие, непрерывные справа функции на прямой, и положим $F\left(x_{1}, x_{2}\right)=F_{1}\left(x_{1}\right) F_{2}\left(x_{2}\right)$. Покажите, что $F$ удовлетворяет условиям теоремы 12.5. Пусть $\mu , \mu_{1}, \mu_{2}$ — меры, соответствующие $F, F_{1}, F_{2}$, и докажите, что $\mu \left(A_{1} \times A_{2}\right)=\mu_{1}\left(A_{1}\right) \mu_{2}\left(A_{2}\right)$ для интервалов $A_{1}$ и $A_{2}$. Эта $\mu$ является произведением $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$; произведения изучаются в общей обстановке в разделе 18.

Функции часто определяются по частям (например, пусть $f(x)$ равно $x^{3}$ или $x^{-1}$ при $x \geq 0$ или $x<0$), и следующий результат показывает, что функция измерима, если измеримы её части.

Рассмотрим измеримые пространства $(\Omega , \mathscr {F})$ и $(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime })$ и отображение $T \quad \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$. Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — счётное покрытие $\Omega$ множествами из $\mathscr {F}$. Рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathscr {F}_{n}=\left[A: A \subset A_{n}, A \in \mathscr {F}\right]$ в $A_{n}$ и сужение $T_{n}$ отображения $T$ на $A_{n}$. Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {F} / \mathscr {F}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $T_{n}$ измеримо $\mathscr {F}_{n} / \mathscr {F}^{\prime }$ для каждого $n$.

$\uparrow$ Предположим, что $f: \Omega \rightarrow R^{1}$. Покажите, что $f$ измерима $T^{-1} \mathscr {F}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда существует отображение $\varphi : \Omega^{\prime } \rightarrow R^{1}$, такое что $\varphi$ измеримо $\mathscr {F}^{\prime }$ и $f=\varphi T$. Указание: сначала рассмотрите простые функции, а затем воспользуйтесь теоремой 13.5.

↑ Свяжите результат задачи 13.3 с теоремой 5.1(ii).

Покажите для вещественных функций $f$ и $g$, что $f(\omega )+g(\omega )<x$ тогда и только тогда, когда существуют рациональные $r$ и $s$, такие что $r+s<x, f(\omega )<r$ и $g(\omega )<s$. Докажите непосредственно, что $f+g$ измерима $\mathscr {F}$, если измеримы $f$ и $g$.

Пусть $\mathscr {F}$ — $\sigma$-алгебра в $R^{1}$. Покажите, что $\mathscr {R}^{1} \subset \mathscr {F}$ тогда и только тогда, когда каждая непрерывная функция измерима $\mathscr {F}$. Таким образом, $\mathscr {R}^{1}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой измеримы все непрерывные функции.

Рассмотрим на $R^{!}$наименьший класс $\mathscr {X}$ (то есть пересечение всех классов) вещественных функций, содержащий все непрерывные функции и замкнутый относительно поточечных предельных переходов. Элементы $\mathscr {X}$ называются функциями Бэра. Покажите, что функции Бэра и борелевские функции на $R^{1}$ — это одно и то же.

Вещественная функция $f$ на прямой называется полунепрерывной сверху в точке $x$, если для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$, что из $\left|x-y\right|<\delta$ следует $f(y)<f(x)+\epsilon$. Покажите, что если $f$ полунепрерывна сверху всюду, то она измерима.

${ }^{\dagger }$ Но см. задачу 13.14.

Предположим, что $f_{n}$ и $f$ — конечнозначные, $\mathscr {F}$-измеримые функции, такие что $f_{n}(\omega ) \rightarrow f(\omega )$ для $\omega \in A$, где $\mu (A)<\infty$ ( $\mu$ — мера на $\mathscr {F}$ ). Докажите теорему Егорова: для каждого $\epsilon$ существует подмножество $B$ множества $A$, такое что $\mu (B)<\epsilon$ и $f_{n}(\omega ) \rightarrow f(\omega )$ равномерно на $A-B$. Указание: пусть $B_{n}^{(k)}$ — множество тех $\omega$ в $A$, для которых $\left|f(\omega )-f_{i}(\omega )\right|>k^{-1}$ при некотором $i \geq n$. Покажите, что $B_{n}^{(k)} \downarrow / \varnothing$ при $n \uparrow \infty$, выберите $n_{k}$ так, чтобы $\mu \left(B_{n_{k}}^{(k)}\right)<\epsilon / 2^{k}$, и положим $B=\bigcup_{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}^{(k)}$.

$\uparrow$ Покажите, что теорема Егорова неверна без предположения $\mu (A)<\infty$.

$2.9 \uparrow$ Покажите, что если $f$ измерима $\sigma (\mathscr {A})$, то существует счётный подкласс $\mathscr {A}_{f}$ класса $\mathscr {A}$, такой что $f$ измерима $\sigma \left(\mathscr {A}_{f}\right)$.

Круговая мера Лебега. Пусть $C$ — единичная окружность на комплексной плоскости, и определим $T:[0,1) \rightarrow \mathcal{C}$ формулой $T \omega =e^{2 \pi i \omega }$. Пусть $\mathscr {B}$ состоит из борелевских подмножеств $[0, i)$, а $\lambda$ — мера Лебега на $\mathscr {B}$. Покажите, что $\mathscr {b}=\left[A: T^{-1} A \in \mathscr {B}\right]$ состоит из тех множеств в $\mathscr {R}^{2}$ (отождествляя $R^{2}$ с комплексной плоскостью), которые содержатся в $C$. Покажите, что $\mathscr {C}$ порождается дугами $C$. Круговая мера Лебега определяется как $\mu =\lambda T^{-1}$. Покажите, что $\mu$ инвариантна относительно вращений: $\mu [\theta z: z \in A]= \mu (A)$ для $A \in \mathscr {C}$ и $\theta \in C$.

$\uparrow$ Предположим, что круговая мера Лебега множества $A$ удовлетворяет $\mu (A)>1-n^{-1}$, а $B$ содержит не более $n$ точек. Покажите, что некоторое вращение переводит $B$ в $A$, то есть $\theta B \subset A$ для некоторого $\theta$ из $C$.

Покажите на примере, что $\sigma$-конечность $\mu$ не влечёт $\sigma$-конечности $\mu T^{-1}$.

Рассмотрим меру Лебега $\lambda$, ограниченную на класс $\mathscr {B}$ борелевских множеств в ( 0,1 ]. Для фиксированной перестановки $n_{1}, n_{2}, \ldots$ натуральных чисел, если $x$ имеет двоичное разложение $x_{1} x_{2} \ldots$, положим $T x=. x_{n_{1}} x_{n_{2}} \ldots$. Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {B} / \mathscr {B}$ и что $\lambda T^{-1}=\lambda$.

Пусть $H_{k}$ — объединение интервалов $\left((i-1) / 2^{k}, i / 2^{k}\right]$ при чётных $i$, $1 \leq i \leq 2^{k}$. Покажите, что если $0<f(\omega ) \leq 1$ для всех $\omega$ и $A_{k}=f^{-1}\left(H_{k}\right)$, то $f(\omega )= \sum_{k=1}^{\infty } I_{A_{k}}(\omega ) / 2^{k}$ — бесконечная линейная комбинация индикаторов.

Пусть $S=\left\{ 0,1\right\}$, и определим отображение $T$ из пространства последовательностей $S^{\infty }$ в $[0,1]$ формулой $T \omega =\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}(\omega ) / 2^{k}$. Определим отображение $U$ из $[0,1]$ в $S^{\infty }$ формулой $U x=\left(d_{1}(x), d_{2}(x), \ldots \right)$, где $d_{k}(x)$ — цифры непериодического двоичного разложения $x$ (и $d_{k}(0) \equiv 0$ ). Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {C} / \mathscr {B}$ и что $U$ измеримо $\mathscr {B} / \mathscr {C}$. Пусть $P$ — мера, задаваемая формулой (2.21) при $p_{0}=p_{1}=\frac{1}{2}$. Опишите $P T^{-1}$ и $\lambda U^{-1}$.

Общая неубывающая функция $F$ имеет не более чем счётное множество точек разрыва. Докажите это, рассмотрев открытые интервалы

— каждый непустой из них содержит рациональное число.

Для функций распределения $F$ второе доказательство теоремы 14.1 показывает, как построить меру $\mu$ на $(R^{1}, \mathscr {R}^{1})$, такую что $\mu (a, b]=F(b)-F(a)$.

↑ Пусть $C$ — множество точек непрерывности $F$.

Расстоянием Лёви $d(F, G)$ между двумя функциями распределения называется инфимум тех $\epsilon$, для которых $G(x-\epsilon )-\epsilon \leq F(x) \leq G(x+\epsilon )+\epsilon$ для всех $x$. Проверьте, что это метрика на множестве функций распределения. Покажите, что необходимым и достаточным условием $F_{n} \Rightarrow F$ является $d\left(F_{n}, F\right) \rightarrow 0$.

12.3 ↑ Борелевская функция, удовлетворяющая уравнению Коши [A20], автоматически ограничена на некотором интервале и, следовательно, удовлетворяет $f(x)=x f(1)$. Указание: возьмите $K$ достаточно большим, чтобы $\lambda [x: x>s,\left|f(x)\right| \leq K]>0$. Примените задачу 12.3 и заключите, что $f$ ограничена на некотором интервале справа от 0.

↑ Рассмотрим множества $S$ вещественных чисел, линейно независимых над полем рациональных чисел в том смысле, что $n_{1} x_{1}+\cdots +n_{k} x_{k}=0$ для различных точек $x_{i}$ из $S$ и целых $n_{i}$ (положительных или отрицательных) невозможно, если только не $n_{i} \equiv 0$.

Покажите, что (14.24) и (14.25) всюду бесконечно дифференцируемы, хотя и не аналитичны.