Измеримые функции и отображения

Функции часто определяются по частям (например, пусть $f(x)$ равно $x^{3}$ или $x^{-1}$ при $x \geq 0$ или $x<0$), и следующий результат показывает, что функция измерима, если измеримы её части.

Рассмотрим измеримые пространства $(\Omega , \mathscr {F})$ и $(\Omega^{\prime }, \mathscr {F}^{\prime })$ и отображение $T \quad \Omega \rightarrow \Omega^{\prime }$. Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — счётное покрытие $\Omega$ множествами из $\mathscr {F}$. Рассмотрим $\sigma$-алгебру $\mathscr {F}_{n}=\left[A: A \subset A_{n}, A \in \mathscr {F}\right]$ в $A_{n}$ и сужение $T_{n}$ отображения $T$ на $A_{n}$. Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {F} / \mathscr {F}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда $T_{n}$ измеримо $\mathscr {F}_{n} / \mathscr {F}^{\prime }$ для каждого $n$.

$\uparrow$ Предположим, что $f: \Omega \rightarrow R^{1}$. Покажите, что $f$ измерима $T^{-1} \mathscr {F}^{\prime }$ тогда и только тогда, когда существует отображение $\varphi : \Omega^{\prime } \rightarrow R^{1}$, такое что $\varphi$ измеримо $\mathscr {F}^{\prime }$ и $f=\varphi T$. Указание: сначала рассмотрите простые функции, а затем воспользуйтесь теоремой 13.5.

↑ Свяжите результат задачи 13.3 с теоремой 5.1(ii).

Покажите для вещественных функций $f$ и $g$, что $f(\omega )+g(\omega )<x$ тогда и только тогда, когда существуют рациональные $r$ и $s$, такие что $r+s<x, f(\omega )<r$ и $g(\omega )<s$. Докажите непосредственно, что $f+g$ измерима $\mathscr {F}$, если измеримы $f$ и $g$.

Пусть $\mathscr {F}$ — $\sigma$-алгебра в $R^{1}$. Покажите, что $\mathscr {R}^{1} \subset \mathscr {F}$ тогда и только тогда, когда каждая непрерывная функция измерима $\mathscr {F}$. Таким образом, $\mathscr {R}^{1}$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой измеримы все непрерывные функции.

Рассмотрим на $R^{!}$наименьший класс $\mathscr {X}$ (то есть пересечение всех классов) вещественных функций, содержащий все непрерывные функции и замкнутый относительно поточечных предельных переходов. Элементы $\mathscr {X}$ называются функциями Бэра. Покажите, что функции Бэра и борелевские функции на $R^{1}$ — это одно и то же.

Вещественная функция $f$ на прямой называется полунепрерывной сверху в точке $x$, если для каждого $\epsilon$ найдётся такое $\delta$, что из $\left|x-y\right|<\delta$ следует $f(y)<f(x)+\epsilon$. Покажите, что если $f$ полунепрерывна сверху всюду, то она измерима.

${ }^{\dagger }$ Но см. задачу 13.14.

Предположим, что $f_{n}$ и $f$ — конечнозначные, $\mathscr {F}$-измеримые функции, такие что $f_{n}(\omega ) \rightarrow f(\omega )$ для $\omega \in A$, где $\mu (A)<\infty$ ( $\mu$ — мера на $\mathscr {F}$ ). Докажите теорему Егорова: для каждого $\epsilon$ существует подмножество $B$ множества $A$, такое что $\mu (B)<\epsilon$ и $f_{n}(\omega ) \rightarrow f(\omega )$ равномерно на $A-B$. Указание: пусть $B_{n}^{(k)}$ — множество тех $\omega$ в $A$, для которых $\left|f(\omega )-f_{i}(\omega )\right|>k^{-1}$ при некотором $i \geq n$. Покажите, что $B_{n}^{(k)} \downarrow / \varnothing$ при $n \uparrow \infty$, выберите $n_{k}$ так, чтобы $\mu \left(B_{n_{k}}^{(k)}\right)<\epsilon / 2^{k}$, и положим $B=\bigcup_{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}^{(k)}$.

$\uparrow$ Покажите, что теорема Егорова неверна без предположения $\mu (A)<\infty$.

$2.9 \uparrow$ Покажите, что если $f$ измерима $\sigma (\mathscr {A})$, то существует счётный подкласс $\mathscr {A}_{f}$ класса $\mathscr {A}$, такой что $f$ измерима $\sigma \left(\mathscr {A}_{f}\right)$.

Круговая мера Лебега. Пусть $C$ — единичная окружность на комплексной плоскости, и определим $T:[0,1) \rightarrow \mathcal{C}$ формулой $T \omega =e^{2 \pi i \omega }$. Пусть $\mathscr {B}$ состоит из борелевских подмножеств $[0, i)$, а $\lambda$ — мера Лебега на $\mathscr {B}$. Покажите, что $\mathscr {b}=\left[A: T^{-1} A \in \mathscr {B}\right]$ состоит из тех множеств в $\mathscr {R}^{2}$ (отождествляя $R^{2}$ с комплексной плоскостью), которые содержатся в $C$. Покажите, что $\mathscr {C}$ порождается дугами $C$. Круговая мера Лебега определяется как $\mu =\lambda T^{-1}$. Покажите, что $\mu$ инвариантна относительно вращений: $\mu [\theta z: z \in A]= \mu (A)$ для $A \in \mathscr {C}$ и $\theta \in C$.

$\uparrow$ Предположим, что круговая мера Лебега множества $A$ удовлетворяет $\mu (A)>1-n^{-1}$, а $B$ содержит не более $n$ точек. Покажите, что некоторое вращение переводит $B$ в $A$, то есть $\theta B \subset A$ для некоторого $\theta$ из $C$.

Покажите на примере, что $\sigma$-конечность $\mu$ не влечёт $\sigma$-конечности $\mu T^{-1}$.

Рассмотрим меру Лебега $\lambda$, ограниченную на класс $\mathscr {B}$ борелевских множеств в ( 0,1 ]. Для фиксированной перестановки $n_{1}, n_{2}, \ldots$ натуральных чисел, если $x$ имеет двоичное разложение $x_{1} x_{2} \ldots$, положим $T x=. x_{n_{1}} x_{n_{2}} \ldots$. Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {B} / \mathscr {B}$ и что $\lambda T^{-1}=\lambda$.

Пусть $H_{k}$ — объединение интервалов $\left((i-1) / 2^{k}, i / 2^{k}\right]$ при чётных $i$, $1 \leq i \leq 2^{k}$. Покажите, что если $0<f(\omega ) \leq 1$ для всех $\omega$ и $A_{k}=f^{-1}\left(H_{k}\right)$, то $f(\omega )= \sum_{k=1}^{\infty } I_{A_{k}}(\omega ) / 2^{k}$ — бесконечная линейная комбинация индикаторов.

Пусть $S=\left\{ 0,1\right\}$, и определим отображение $T$ из пространства последовательностей $S^{\infty }$ в $[0,1]$ формулой $T \omega =\sum_{k=1}^{\infty } a_{k}(\omega ) / 2^{k}$. Определим отображение $U$ из $[0,1]$ в $S^{\infty }$ формулой $U x=\left(d_{1}(x), d_{2}(x), \ldots \right)$, где $d_{k}(x)$ — цифры непериодического двоичного разложения $x$ (и $d_{k}(0) \equiv 0$ ). Покажите, что $T$ измеримо $\mathscr {C} / \mathscr {B}$ и что $U$ измеримо $\mathscr {B} / \mathscr {C}$. Пусть $P$ — мера, задаваемая формулой (2.21) при $p_{0}=p_{1}=\frac{1}{2}$. Опишите $P T^{-1}$ и $\lambda U^{-1}$.