Банк задач по математике

Задача 11.1

(a)(b)(c)

Доказательство теоремы 3.1, очевидно, применимо, если вероятностную меру заменить конечной мерой, поскольку это лишь вопрос перемасштабирования. Возьмём в качестве отправной точки тот факт, что конечная мера на поле однозначно продолжается на порождённую $\sigma$ -алгебру. Следующими шагами докажите теорему 11.2, то есть снимите предположение о конечности.

?

(a)

Пусть $\mu$ — мера (не обязательно даже $\sigma$ -конечная) на поле $\mathscr {F}_{0}$ , и пусть $\mathscr {F}=\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$ . Если $A$ — непустое множество из $\mathscr {F}_{0}$ и $\mu (A)<\infty$ , ограничьте $\mu$ до конечной меры $\mu_{A}$ на поле $\mathscr {F}_{0} \cap A$ и продолжите $\mu_{A}$ до конечной меры $\hat{\mu }_{A}$ на $\sigma$ -алгебре $\mathscr {F} \cap A$ , порождённой в $A$ множеством $\mathscr {F}_{0} \cap A$ .

(b)

Предположим, что $E \in \mathscr {F}$ . Если существуют дизъюнктные $\mathscr {F}_{0}$ -множества $A_{n}$ , такие что $E \subset \cup_{n} A_{n}$ и $\mu \left(A_{n}\right)<\infty$ , положим $\hat{\mu }(E)=\sum_{n} \hat{\mu }_{A_{n}}\left(E \cap A_{n}\right)$ и докажите непротиворечивость. В противном случае положим $\hat{\mu }(E)=\infty$ .

(c)

Покажите, что $\hat{\mu }$ является мерой на $\mathscr {F}$ и совпадает с $\mu$ на $\mathscr {F}_{0}$ .

Задача 11.2

(a)(b)

Предположим, что $\mu$ — неотрицательная и конечно аддитивная функция множества на полукольце $\mathscr {A}$ .

?

(a)

Используя леммы 1 и 2, без обращения к теореме 11.3, покажите, что $\mu$ счётно субаддитивна тогда и только тогда, когда она счётно аддитивна.

(b)

Найдите пример, где $\mu$ не является счётно субаддитивной.

Задача 11.3

Покажите, что теорема 11.4(ii) может не выполняться, если $\mu (B)=\infty$ .

?

Задача 11.4

(a)(b)

Эта и задачи $11.5,16.12,17.12,17.13$ и 17.14 ведут к доказательствам теорем представления Даниэля–Стоуна и Рисса.

Пусть $\Lambda$ — вещественный линейный функционал на векторной решётке $\mathscr {L}$ (конечных) вещественных функций на пространстве $\Omega$ . Это означает, что если $f$ и $g$ лежат в $\mathscr {L}$ , то в $\mathscr {L}$ лежат и $f \vee g$ , и $f \wedge g$ (со значениями $\max \left\{ f(\omega ), g(\omega )\right\}$ и $\min \left\{ f(\omega ), g(\omega )\right\}$ ), а также $\alpha f+\beta g$ , причём $\Lambda (\alpha f+\beta g)=\alpha \Lambda (f)+\beta \Lambda (g)$ . Дополнительно предположим о $\mathscr {L}$ , что $f \in \mathscr {L}$ влечёт $f \wedge l \in \mathscr {L}$ (где 1 обозначает функцию, тождественно равную 1). Дополнительно предположим о $\Lambda$ , что она положительна в том смысле, что $f \geq 0$ (поточечно) влечёт $\Lambda (f) \geq 0$ , и непрерывна сверху в 0 в том смысле, что $f_{n} \downarrow 0$ (поточечно) влечёт $\Lambda \left(f_{n}\right) \rightarrow 0$ .

?

(a)

Если $f \leq g(f, g \in \mathscr {L})$ , определим в $\Omega \times R^{1}$ «интервал»

(f, g]=[(\omega , t): f(\omega )<t \leq g(\omega )]. \tag {115}

Покажите, что эти множества образуют полукольцо $\mathscr {A}_{0}$ .

(b)

Определим функцию множества $\nu_{0}$ на $\mathscr {A}_{0}$ формулой

\nu _{0}(f, g]=\Lambda (g-f). \tag {11.6}

Покажите, что $\nu_{0}$ конечно аддитивна и счётно субаддитивна на $\mathscr {L}_{0}$ .

Задача 11.5

(a)(b)(c)

?

(a)

$\uparrow$ Предположим $f \in \mathscr {L}$ и пусть $f_{n}=(n(f-f \wedge 1)) \wedge 1$ . Покажите, что из $f(\omega ) \leq 1$ следует $f_{n}(\omega )=0$ для всех $n$ , а из $f(\omega )>1$ следует $f_{n}(\omega )=1$ для всех достаточно больших $n$ . Заключите, что при $x>0$

\left(0, x f_{n}\right] \uparrow [\omega . f(\omega )>1] \times (0, x]. \tag {11.7}

(b)

Пусть $\mathscr {F}$ — наименьшая $\sigma$ -алгебра, относительно которой измерима каждая $f$ из $\mathscr {L}$ : $\mathscr {F}=\sigma \left[f^{-1} H: f \in \mathscr {L}, H \in \mathscr {R}^{1}\right]$ . Пусть $\mathscr {F}_{0}$ — класс тех $A$ из $\mathscr {F}$ , для которых $A \times (0,1] \in \sigma \left(\mathscr {A}_{0}\right)$ . Покажите, что $\mathscr {F}_{0}$ — полукольцо и что $\mathscr {F}=\sigma \left(\mathscr {F}_{0}\right)$ .

(c)

Пусть $\nu$ — продолжение $\nu_{0}$ (см. (11.6)) на $\sigma \left(\mathscr {A}_{0}\right)$ , и для $A \in \mathscr {F}_{0}$ определим $\mu_{0}(A)=\nu (A \times (0,1])$ . Покажите, что $\mu_{0}$ конечно аддитивна и счётно субаддитивна на полукольце $\mathscr {F}_{0}$ .

Внешняя мера