Меры в евклидовом пространстве

Предположим, что $\mu$ — мера на $\mathscr {R}^{1}$, конечная на ограниченных множествах и инвариантная относительно сдвигов: $\mu (A+x)=\mu (A)$. Покажите, что $\mu (A)=\alpha \lambda (A)$ для некоторого $\alpha \geq 0$. Обобщите на $R^{k}$

Предположим, что $A \in \mathscr {R}^{1}, \lambda (A)>0$ и $0<\theta <1$. Покажите, что существует ограниченный открытый интервал $I$, такой что $\lambda (A \cap I) \geq \theta \lambda (I)$. Указание: покажите, что можно считать $\lambda (A)$ конечной, и выберите открытое $G$, такое что $A \subset G$ и $\lambda (A) \geq \theta \lambda (G)$. Теперь $G=\bigcup_{n} I_{n}$ для дизъюнктных открытых интервалов $I_{n}$ [A12], и $\Sigma_{n} \lambda \left(A \cap I_{n}\right) \geq \theta \sum_{n} \lambda \left(I_{n}\right)$; используйте некоторое $I_{n}$.

$\uparrow$ Если $A \in \mathscr {R}^{1}$ и $\lambda (A)>0$, то начало координат является внутренней точкой множества разностей $D(A)=[x-y: x, y \in A]$. Указание. Выберите ограниченный открытый интервал $I$, как в задаче 12.2, для $\theta =\frac{3}{4}$. Предположим, что $\left|z\right|<\lambda (I) / 2$; поскольку $A \cap I$ и $(A \cap I)+z$ содержатся в интервале длины меньше $3 \lambda (I) / 2$ и, следовательно, не могут быть дизъюнктны, $z \in D(A)$.

↑ Следующая конструкция приводит к подмножеству $H$ единичного интервала, неизмеримому в крайнем смысле, что его внутренняя и внешняя меры Лебега равны 0 и $1: \lambda_{*}(H)=0$ и $\lambda^{*}(H)=1$ (см. (3.9) и (3.10)). Доведите детали до конца. Идеи те же, что и в построении неизмеримого множества в конце раздела 3. Удобно будет работать в $G=[0,1)$; пусть $\oplus$ и $\Theta$ обозначают сложение и вычитание по модулю 1 в $G$, которая является группой с единицей 0.

$\uparrow$ Приведённая здесь конструкция даёт множества $H_{n}$, такие что $H_{n} \uparrow G$ и $\lambda_{*}\left(H_{n}\right)=0$. Если $J_{n}=G-H_{n}$, то $J_{n} \downarrow \varnothing$ и $\lambda^{*}\left(J_{n}\right)=1$.

Предположим, что $\mu$ неотрицательна и конечно аддитивна на $\mathscr {R}^{k}$ и что $\mu \left(R^{k}\right)<\infty$. Предположим далее, что $\mu (A)=\sup \mu (K)$, где $K$ пробегает компактные подмножества $A$. Покажите, что $\mu$ счётно аддитивна (сравните с теоремой 12.3(ii).)

Предположим, что $\mu$ — мера на $\mathscr {R}^{k}$, такая что ограниченные множества имеют конечную меру. Для заданного $A$ покажите, что существуют $F_{\sigma }$-множество $U$ (счётное объединение замкнутых множеств) и $G_{\delta }$-множество $V$ (счётное пересечение открытых множеств), такие что $U \subset A \subset V$ и $\mu (V-U)=0$.

$2.19 \uparrow$ Предположим, что $\mu$ — неатомическая вероятностная мера на $\left(R^{k}, \mathscr {R}^{k}\right)$ и что $\mu (A)>0$. Покажите, что существует несчётное компактное множество $K$, такое что $K \subset A$ и $\mu (K)=0$.

Минимальным замкнутым носителем меры $\mu$ на $\mathscr {R}^{k}$ называется замкнутое множество $C_{\mu }$, такое что $C_{\mu } \subset C$ для замкнутого $C$ тогда и только тогда, когда $C$ является носителем $\mu$. Докажите его существование и единственность. Охарактеризуйте точки $C_{\mu }$ как те $x$, для которых $\mu (U)>0$ для любой окрестности $U$ точки $x$. Если $k=1$ и $\mu$ и функция $F(x)$ связаны соотношением (12.5), то условие имеет вид $F(x-\epsilon )<F(x+\epsilon )$ для всех $\epsilon$; в этом случае $x$ называется точкой возрастания $F$.

Незначительный интерес представляет собой $k$-мерный аналог (12.4). Пусть $I_{i}$ есть ( $0, t$ ] при $t \geq 0$ и $(t, 0]$ при $t \leq 0$, и пусть $A_{x}=I_{x_{1}} \times \cdots \times I_{x_{k}}$. Пусть $\varphi (x)$ равно +1 или -1 в зависимости от того, чётно или нечётно число $i, 1 \leq i \leq k$, для которых $x_{i}<0$. Покажите, что если $F(x)=\varphi (x) \mu \left(A_{x}\right)$, то (12.12) выполняется для ограниченных прямоугольников $A$.

Назовём $F$ вырожденной, если она является функцией некоторых $k-1$ координат, причём в случае $k=1$ требование состоит в том, что $F$ постоянна. Покажите, что $\Delta_{A} F=0$ для любого ограниченного прямоугольника тогда и только тогда, когда $F$ — конечная сумма вырожденных функций; (12.12) определяет $F$ с точностью до прибавления функции такого рода.

Пусть $G$ — неубывающая, непрерывная справа функция на прямой, и положим $F(x, y)=\min \left\{ G(x), y\right\}$. Покажите, что $F$ удовлетворяет условиям теоремы 12.5, что кривая $C=\left[(x, G(x)): x \in R^{\prime }\right]$ является носителем соответствующей меры и что $\lambda_{2}(C)=0$.

Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ — неубывающие, непрерывные справа функции на прямой, и положим $F\left(x_{1}, x_{2}\right)=F_{1}\left(x_{1}\right) F_{2}\left(x_{2}\right)$. Покажите, что $F$ удовлетворяет условиям теоремы 12.5. Пусть $\mu , \mu_{1}, \mu_{2}$ — меры, соответствующие $F, F_{1}, F_{2}$, и докажите, что $\mu \left(A_{1} \times A_{2}\right)=\mu_{1}\left(A_{1}\right) \mu_{2}\left(A_{2}\right)$ для интервалов $A_{1}$ и $A_{2}$. Эта $\mu$ является произведением $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$; произведения изучаются в общей обстановке в разделе 18.