Банк задач по математике

Задача 10.1

Покажите, что если условия (i) и (iii) в определении меры выполнены, и если $\mu (A)<\infty$ для некоторого $A \in \mathscr {F}$ , то условие (ii) выполнено.

?

Задача 10.2

На $\sigma$ -алгебре всех подмножеств $\Omega =\left\{ 1,2, \ldots \right\}$ положим $\mu (A)=\Sigma_{k \in A^{2}} 2^{-k}$ , если $A$ конечно, и $\mu (A)=\infty$ в противном случае. Является ли $\mu$ конечно аддитивной? Счётно аддитивной?

?

Задача 10.3

(a)(b)

?

(a)

В связи с теоремой 10.2(ii) покажите, что если $A_{n} \downarrow A$ и $\mu \left(A_{k}\right)<\infty$ для некоторого $k$ , то $\mu \left(A_{n}\right) \downarrow \mu (A)$ .

(b)

Найдите пример, в котором $A_{n} \downarrow A, \mu \left(A_{n}\right) \equiv \infty$ и $A=\varnothing$ .

Задача 10.4

Естественным обобщением (4.9) является

\begin{align} \mu \left(\lim \inf _{n} A_{n}\right) & \leq \lim \inf _{n} \mu \left(A_{n}\right) \tag {10.6}\\ & \leq \lim \sup _{n} \mu \left(A_{n}\right) \leq \mu \left(\lim \sup _{n} A_{n}\right). \end{align}

Покажите, что левое неравенство выполняется всегда. Покажите, что правое неравенство выполняется, если $\mu \left(U_{k \geq n} A_{k}\right)<\infty$ для некоторого $n$ , но может нарушаться в противном случае.

?

Задача 10.5

3.10 Пространство с мерой $(\Omega , \mathscr {F}, \mu )$ называется полным, если из $A \subset B, B \in \mathscr {F}$ и $\mu (B)=0$ следует, что $A \in \mathscr {F}$ — определение точно такое же, как и в вероятностном случае. Используя идеи задачи 3.10, постройте полное пространство с мерой $\left(\Omega , \mathscr {F}^{+}, \mu^{+}\right)$ , такое что $\mathscr {F} \subset \mathscr {F}^{+}$ , а $\mu$ и $\mu^{+}$ совпадают на $\mathscr {F}$ .

?

Задача 10.6

(a)(b)

Условие теоремы 10.2(iv) по существу характеризует $\sigma$ -конечность.

?

(a)

Предположим, что $\left(\Omega , \mathscr {F}_{,} \mu \right)$ не имеет «бесконечных атомов» в том смысле, что для любого $A$ из $\mathscr {F}$ , если $\mu (A)=\infty$ , то в $\mathscr {F}$ найдётся такое $B$ , что $B \subset A$ и $0<\mu (B)<\infty$ . Покажите, что если $\mathscr {F}$ не содержит несчётного дизъюнктного семейства множеств положительной меры, то $\mu$ является $\sigma$ -конечной. (Используйте лемму Цорна.)

(b)

Покажите на примере, что это неверно без условия отсутствия «бесконечных атомов».

Задача 10.7

Пример 10.5 показывает, что теорема 10.3 не выполняется без условия $\sigma$ -конечности. Постройте другие примеры такого рода.

?

Общие меры