Глава VII

Евклидовы и унитарные пространства

[32/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

VII.1 · Евклидовы пространства[7/100%]

Задача VII.1.1

(а)(б)(в)

Проверьте, что в пространстве многочленов степени $\leqslant 2$ скалярное произведение можно определить формулой

(p, q)=\int _{-1}^{1} p(t) q(t) d t

(а)

Составьте матрицу Грама базиса 1, $t, t^{2}$ .

(б)

С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, $(t-1)$ , $(t-1)^{2}$ .

(в)

Найдите угол между многочленами $t^{2}+1$ и $t+1$ .

Задача VII.1.2

Подпространство евклидова пространства задано в ортонормированном базисе уравнением $\xi^{1}+\xi^{2}+\xi^{3}+\xi^{4}=0$ . Найдите ортонормированный базис в этом подпространстве.

Задача VII.1.3

(а)(б)

Пусть $\operatorname {dim} \mathcal{E}=4$ и $\mathcal{E}^{\prime } \subseteq \mathcal{E}$ задано в ортонормированном базисе системой

\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}=0, \xi _{2}+\xi _{3}+\xi _{4}=0 .

Найдите:

(а)

базис в $\mathcal{E}^{\prime \perp }$

(б)

ортогональную проекцию на $\mathcal{E}^{\prime }$ вектора а с координатами $\mathbf{a}=\| 1,2,3,4\|^{T}$ .

Задача VII.1.4

(а)(б)

Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине.

(а)

Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы?

(б)

Докажите, что такие матрицы существуют, если $n=2^{k}$ , где $k$ — натуральное число.

Задача VII.1.5

(а)(б)

Найдите $Q R$ -разложение матрицы

(а)

$A=\left\| \begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right\|$

(б)

$B=\left\| \begin{array}{rrr}1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right\|$ .

Задача VII.1.6

Докажите, что $Q R$ -разложение матрицы единственно.

Задача VII.1.7

$B$ четырехмерном евклидовом пространстве трехмерный параллелепипед построен на векторах, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы $\| 1,1,-1,0\|^{T}$ , $\| 1,1,1,-1\|^{T}$ и $\| 1,1,1,1\|^{T}$ . Найдите объем параллелеnuneda.

VII.2 · Линейные преобразования евклидовых пространств[11/100%]

Задача VII.2.1

(а)(б)(в)

В базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ преобразование $\mathrm{A}$ имеет матрицу $A$ .

(а)

Найдите матрицу сопряженного преобразования. Найдите собственные подпространства

(б)

преобразования A

(в)

преобразования $\mathrm{A}^{*}$

A=\left\| \begin{array}{rr} -1 & -2 \\ 3 & 4 \end{array}\right\| , \quad \Gamma =\left\| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\| .

Задача VII.2.2

Пусть преобразование А вещественного линейного пространства $\mathcal{L}$ в некотором базисе e имеет симметричную матрицу. Докажите, что оно диагонализуемо.

Задача VII.2.3

Найдите все линейные преобразования, которые являются как ортогональными, так и самосопряженными.

Задача VII.2.4

(а)(б)

Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования $n$ -мерного пространства, если у его характеристического многочлена

(а)

нет кратных корней

(б)

есть кратные

корни? Возможен ли неортогональный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования?

Задача VII.2.5

Найдите матрицу перехода $S \kappa$ ортонормированному базису из собственных векторов преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей $A$ , и напишите матрицу $A^{\prime }$ преобразования в найденном базисе,

A=\left\| \begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right\| .

Задача VII.2.6

Ортогональное преобразование, заданное матрицей

\left\| \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right\|

в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух вращений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах.

Задача VII.2.7

Найдите сингулярное разложение матрицы

A=\left\| \begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 8 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right\| .

Задача VII.2.8

(а)(б)

Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей

(а)

$A=\left\| \begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right\|$

(б)

$B=\left\| \begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ 0 & \sqrt{2}\end{array}\right\|$ .

Задача VII.2.9

Какие сингулярные числа у квадратной матрицы $A$ порядка $n$ , если $\operatorname {Rg} A=1$ ?

Задача VII.2.10

Пусть $\alpha , \beta$ и $\gamma$ — максимальные сингулярные числа квадратных матриц, $A, B$ и $A B$ соответственно. Докажите, что $\gamma \leqslant \alpha \beta$ .

Задача VII.2.11

Докажите, что все корни характеристического многочлена ортогонального преобразования по модулю равны единице.

VII.3 · Функции на евклидовых пространствах[9/100%]

Задача VII.3.1

В пространстве многочленов степени $\leqslant 3$ скалярное произведение зададим так же, как в задаче 1 § 1. Линейная функция f ставит в соответствие многочлену $p(t)$ его свободный член $p(0)$ . Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.

Задача VII.3.2

Линейное преобразование А присоединено к билинейной функции b. К какой билинейной функции присоединено его сопряженное преобразование A*?

Задача VII.3.3

В базисе e билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если $\Gamma$ — матрица Грама базиса е:

B=\left\| \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\| , \quad \Gamma =\left\| \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\| .

Задача VII.3.4

Докажите, что значение квадратичной формы $\mathrm{k}(x)$ на векторе $x$ длины 1 заключено между наименьшим и наибольшим собственными значениями ее присоединенного преобразования и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.

Задача VII.3.5

Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочленом

3\left(\xi ^{1}\right)^{2}+3\left(\xi ^{2}\right)^{2}+3\left(\xi ^{3}\right)^{2}-2 \xi ^{1} \xi ^{2}-2 \xi ^{1} \xi ^{3}-2 \xi ^{2} \xi ^{3} .

Найдите матрицу перехода $\kappa$ ортонормированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и ее вид в этом базисе.

Задача VII.3.6

Пусть k и h - квадратичные формы и h положительно определена. Существует ли базис, в котором k имеет канонический вид, $a \mathrm{~ h}$ — диагональный?

Задача VII.3.7

(а)(б)

Приведите пример двух квадратичных форм, которые

(а)

не приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе

(б)

приводятся к диагональному виду в одном и том же базисе, но ни одна из них не является ни положительно определенной, ни отрицательно определенной.

Задача VII.3.8

Найдите матрицу перехода к базису, в котором квадратичные формы $\mathrm{k}(x)=\left(\xi^{1}\right)^{2}-2 \xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$ и $\mathrm{h}(x)=17\left(\xi^{1}\right)^{2}+8 \xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$ обе имеют диагональный вид, а также их вид в этом базисе.

Задача VII.3.9

Докажите, что для того, чтобы для двух непропорциональных квадратичных форм в двумерном пространстве существовал базис, в котором они обе имеют диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы среди их линейных комбинаций нашлась положительно определенная форма. Насколько здесь существенно предположение о размерности пространства?

VII.4 · Понятие об унитарных пространствах[5/100%]

Задача VII.4.1

(а)(б)

В двумерном унитарном пространстве дан ортонормированный базис и векторы $a$ и $b$ , координаты которых в этом базисе соответственно $1+i, 1-i u-i, 2-2 i$ .

(а)

Найдите их длины, а также косинусы углов между $a$ и $b$ и между в и $a$ .

(б)

Ортогонализуйте эту пару векторов.

Задача VII.4.2

Напишите какую-нибудь невещественную эрмитову матрицу и какую-нибудь невещественную унитарную матрицу порядка 3.

Задача VII.4.3

Докажите, что корни характеристического уравнения вещественной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1.

Задача VII.4.4

Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе для преобразования A, заданного в ортонормированном базисе матрицей

\left\| \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \end{array}\right\| .

Является ли преобразование самосопряженным, унитарным?

Задача VII.4.5

Найдите ортонормированный базис из собственных векторов унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей

A=\left\| \begin{array}{cr} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right\| .