Функции на евклидовых пространствах

В пространстве многочленов степени $\leqslant 3$ скалярное произведение зададим так же, как в задаче 1 § 1. Линейная функция f ставит в соответствие многочлену $p(t)$ его свободный член $p(0)$. Найдите вектор (многочлен), присоединенный к этой линейной функции.

Линейное преобразование А присоединено к билинейной функции b. К какой билинейной функции присоединено его сопряженное преобразование A*?

В базисе e билинейная функция имеет матрицу В. Найдите матрицу ее присоединенного преобразования, если $\Gamma$ — матрица Грама базиса е:

Докажите, что значение квадратичной формы $\mathrm{k}(x)$ на векторе $x$ длины 1 заключено между наименьшим и наибольшим собственными значениями ее присоединенного преобразования и эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах.

Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе многочленом

Найдите матрицу перехода $\kappa$ ортонормированному базису, в котором она имеет диагональный вид, и ее вид в этом базисе.

Пусть k и h - квадратичные формы и h положительно определена. Существует ли базис, в котором k имеет канонический вид, $a \mathrm{~ h}$ — диагональный?

Приведите пример двух квадратичных форм, которые

Найдите матрицу перехода к базису, в котором квадратичные формы $\mathrm{k}(x)=\left(\xi^{1}\right)^{2}-2 \xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$ и $\mathrm{h}(x)=17\left(\xi^{1}\right)^{2}+8 \xi^{1} \xi^{2}+\left(\xi^{2}\right)^{2}$ обе имеют диагональный вид, а также их вид в этом базисе.

Докажите, что для того, чтобы для двух непропорциональных квадратичных форм в двумерном пространстве существовал базис, в котором они обе имеют диагональный вид, необходимо и достаточно, чтобы среди их линейных комбинаций нашлась положительно определенная форма. Насколько здесь существенно предположение о размерности пространства?