VII.1

Евклидовы пространства

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача VII.1.1

Проверьте, что в пространстве многочленов степени ⩽2\leqslant 2 скалярное произведение можно определить формулой

(p,q)=∫−11p(t)q(t)dt (p, q)=\int _{-1}^{1} p(t) q(t) d t
?
(а)

Составьте матрицу Грама базиса 1, t,t2t, t^{2}.

(б)

С помощью матрицы перехода найдите матрицу Грама базиса 1, (t−1)(t-1), (t−1)2(t-1)^{2}.

(в)

Найдите угол между многочленами t2+1t^{2}+1 и t+1t+1.

Задача VII.1.2

Подпространство евклидова пространства задано в ортонормированном базисе уравнением ξ1+ξ2+ξ3+ξ4=0\xi^{1}+\xi^{2}+\xi^{3}+\xi^{4}=0. Найдите ортонормированный базис в этом подпространстве.

?
Задача VII.1.3

Пусть dim⁡E=4\operatorname {dim} \mathcal{E}=4 и E′⊆E\mathcal{E}^{\prime } \subseteq \mathcal{E} задано в ортонормированном базисе системой

ξ1+ξ2+ξ3=0,ξ2+ξ3+ξ4=0. \xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}=0, \xi _{2}+\xi _{3}+\xi _{4}=0 .

Найдите:

?
(а)

базис в E′⊥\mathcal{E}^{\prime \perp }

(б)

ортогональную проекцию на E′\mathcal{E}^{\prime } вектора а с координатами a=∥1,2,3,4∥T\mathbf{a}=\| 1,2,3,4\|^{T}.

Задача VII.1.4

Допустим, что все элементы ортогональной матрицы порядка п равны между собой по абсолютной величине.

?
(а)

Чему равна абсолютная величина элемента такой матрицы?

(б)

Докажите, что такие матрицы существуют, если n=2kn=2^{k}, где kk — натуральное число.

Задача VII.1.5

Найдите QRQ R-разложение матрицы

?
(а)

A=∥1123∥A=\left\| \begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 3\end{array}\right\|

(б)

B=∥13124−311−1∥B=\left\| \begin{array}{rrr}1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right\|.

Задача VII.1.6

Докажите, что QRQ R-разложение матрицы единственно.

?
Задача VII.1.7

BB четырехмерном евклидовом пространстве трехмерный параллелепипед построен на векторах, имеющих в ортонормированном базисе координатные столбцы ∥1,1,−1,0∥T\| 1,1,-1,0\|^{T}, ∥1,1,1,−1∥T\| 1,1,1,-1\|^{T} и ∥1,1,1,1∥T\| 1,1,1,1\|^{T}. Найдите объем параллелеnuneda.

?