Линейные преобразования евклидовых пространств

В базисе $e$ с матрицей Грама $\Gamma$ преобразование $\mathrm{A}$ имеет матрицу $A$.

Пусть преобразование А вещественного линейного пространства $\mathcal{L}$ в некотором базисе e имеет симметричную матрицу. Докажите, что оно диагонализуемо.

Найдите все линейные преобразования, которые являются как ортогональными, так и самосопряженными.

Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования $n$-мерного пространства, если у его характеристического многочлена

Найдите матрицу перехода $S \kappa$ ортонормированному базису из собственных векторов преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей $A$, и напишите матрицу $A^{\prime }$ преобразования в найденном базисе,

Ортогональное преобразование, заданное матрицей

в ортонормированном базисе, разложите в произведение двух вращений во взаимно перпендикулярных двумерных подпространствах.

Найдите сингулярное разложение матрицы

Получите полярное разложение преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей

Какие сингулярные числа у квадратной матрицы $A$ порядка $n$, если $\operatorname {Rg} A=1$ ?

Пусть $\alpha , \beta$ и $\gamma$ — максимальные сингулярные числа квадратных матриц, $A, B$ и $A B$ соответственно. Докажите, что $\gamma \leqslant \alpha \beta$.

Докажите, что все корни характеристического многочлена ортогонального преобразования по модулю равны единице.