VII.4

Понятие об унитарных пространствах

[5/100%]
Показать
LaTeX
Задача VII.4.1

В двумерном унитарном пространстве дан ортонормированный базис и векторы aa и bb, координаты которых в этом базисе соответственно 1+i,1−iu−i,2−2i1+i, 1-i u-i, 2-2 i.

?
(а)

Найдите их длины, а также косинусы углов между aa и bb и между в и aa.

(б)

Ортогонализуйте эту пару векторов.

Задача VII.4.2

Напишите какую-нибудь невещественную эрмитову матрицу и какую-нибудь невещественную унитарную матрицу порядка 3.

?
Задача VII.4.3

Докажите, что корни характеристического уравнения вещественной ортогональной матрицы (в том числе и комплексные) по модулю равны 1.

?
Задача VII.4.4

Найдите ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу преобразования в этом базисе для преобразования A, заданного в ортонормированном базисе матрицей

∥0i−i0∥. \left\| \begin{array}{cc} 0 & i \\ -i & 0 \end{array}\right\| .

Является ли преобразование самосопряженным, унитарным?

?
Задача VII.4.5

Найдите ортонормированный базис из собственных векторов унитарного преобразования, заданного в ортонормированном базисе матрицей

A=∥cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ∥. A=\left\| \begin{array}{cr} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right\| .
?