Линии и поверхности второго порядка

Привести к каноническому виду уравнение

Приведите к каноническому виду уравнение

Какого класса линию может определять уравнение второго порядка, если его левая часть раскладывается в произведение линейных многочленов?

При каком необходимом и достаточном условии на его коэффициенты уравнение второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением окружности?

Система координат удовлетворяет условиям $\left|\mathbf{e}_{1}\right|=\left|\mathbf{e}_{2}\right|=5,\left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right)=7$. Какая линия определяется в этой системе координат уравнением $x^{2}+y^{2}=1$ ?

Докажите, что сумма коэффициентов $A+C$ в общем уравнении второго порядка не меняется при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой такой же системе.

Докажите, что вершины гиперболы и точки пересечения ее асимптот с директрисами лежат на одной окружности.

Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины $u$ и $v$. Докажите, что сумма $1 / u+1 / v$ постоянна.

Выведите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось — луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую данному фокусу.

На плоскости нарисованы эллипс и парабола вместе с их осями симметрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и директрисы? Тот же вопрос относительно гиперболы, у которой нарисованы асимптоты. (Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала § 3.)

Пусть $u$ и $v$ — длины двух взаимно перпендикулярных радиусов эллипса. Найдите сумму $1 / u^{2}+1 / v^{2}$.

Найдите кратчайшее расстояние от параболы $y^{2}=12 x$ до прямой $x-y+7=0$.

Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами гиперболы, делится пополам точкой касания.

В уравнение касательной к эллипсу в канонической системе координат вместо координат точки касания $x_{0}$ и $y_{0}$ подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая?

Из точки на директрисе проведены две касательные $\kappa$ параболе. Докажите, что они взаимно перпендикулярны и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус.

Линия описана около параллелограмма, если его вершины лежат на линии, а остальные точки на ней не лежат. Докажите, что такая линия второго порядка обязательно центральная, и центр ее совпадает с центром параллелограмма.

На плоскости нарисованы эллипс, гипербола и парабола. Как с помощью циркуля и линейки построить их оси симметрии и асимптоты гиперболья?

Докажите, что сумма квадратов длин хорд, лежащих на сопряженных диаметрах эллипса, постоянна.

Не приводя уравнение к каноническому виду, найдите центр и асимптоты гиперболь

Не приводя уравнение к каноническому виду, скажите, как называется линия с уравнением

Как разложить на множители левую часть уравнения из задачи 5?

Напишите уравнение касательной к линии $x^{2}-2 x y+3 y^{2}=3$ в точке $M_{0}(0,1)$.

Определите, к какому классу линий второго порядка относится линия с уравнением

в декартовой системе координат.

Докажите, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью, которая целиком на ней не лежит, есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Сколько общих точек могут иметь прямая и поверхность второго порядка?

Найдите уравнение и определите вид поверхности, получаемой вращением вокруг оси аппликат прямой линии:

Докажите, что прямолинейные образующие гиперболического параболоида, принадлежащие одному семейству, все параллельны некоторой плоскости.

На гиперболическом параболоиде с уравнением

лежат параболь: $y=0, x^{2}=2 a^{2} z$ и $x=0, y^{2}=-2 b^{2} z$. Пусть точки $A_{1}$ и $B_{1}$ на первой параболе и точки $A_{2}$ и $B_{2}$ на второй все находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $z=0$.

Докажите, что прямые $A_{1} B_{2}, A_{1} A_{2}, B_{1} A_{2}$ и $B_{1} B_{2}$ являются прямолинейными образующими.

Найдите проекцию линии пересечения двуполостного гиперболоида $-x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ и конуса $5 x^{2}-3 y^{2}+4 z^{2}=0$ на плоскость $z=0$.

Докажите, что никакая плоскость не пересекает эллиптический параболоид по гиперболе.